向量与三角的综合应用

向量与三角将数和形紧密的结合在一起.近几年高考中，向量经常与三角函数进行综合，常以解答题的形式出现，题目新颖，考查向量与三角函数的综合应用，值得同学们注意.以向量为背景，化归为三角函数题这类题目出现的频率较高，题目难度中等，经常考查的知识点有向量的平行与垂直、向量的数量积、线性运算结合三角形中的边角关系进行求解.本文用实例说明如何解决向量与三角的综合应用问题，以期对同学们有所帮助.

一、向量与三角函数求值综合

例1 已知向量m=（3sinx4，1），n=（cosx4，cos2x4）.m·n=1，求cos（2π3-x）的值.

分析：由向量数量积的运算转化成三角函数式，化简求值.

解：（1）m·n=3sinx4cosx4+cos2x4

=32sinx2+1+cosx22=sin（x2+π6）+12，

∵m·n=1，∴sin（x2+π6）=12.

cos（x+π3）=1-2sin2（x2+π6）=12，

cos（2π3-x）=-cos（x+π3）=-12.

变式训练：已知角A，B，C是△ABC三边a，b，c所对的角，m=（-cosA2，sinA2），n=（cosA2，sinA2），a=23，且m·n=12.

（1）若△ABC的面积S=3，求b+c的值；

（2）求b+c的取值范围.

解法一：（1）由m=（-cosA2，sinA2），

n=（cosA2，sinA2），且m·n=12，

得-cos2A2+sin2A2=12，∴cosA2=12.

又∵A∈（0，π），∴A=2π3.

因为S△ABC=12bcsinA=3，所以bc=4.

由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos2π3=b2+c2+bc.

所以16=（b+c）2，即b+c=4.

（2）由正弦定理得

bsinB=csinC=asinA=23sin2π3=4.

且B+C=π3，

所以b+c=4sinB+4sinC=4sinB+4sin（π3-B）=4sin（B+π3）.

因为0

所以32

故b+c的取值范围是（23，4].

解法二：由解法一

a2=b2+c2+bc=（b+c）2-bc，

∴（b+c）2-12=bc≤（b+c2）2，

∴b+c≤4，

又∵b+c>23，

∴23

二、向量与三角函数的最值（范围）综合

例2 设向量a=（4cosα，sinα），b=（sinβ，4cosβ），c=（cosβ，-4sinβ）.

（1）若a与b-2c垂直，求tan（α+β）的值；

（2）求|b+c|的最大值；

（3）若tanαtanβ=16，求证：a∥b.

解题思路：（1）利用向量的垂直关系，将向量间的关系转化成三角函数式，化简求值；（2）根据向量模的定义，将求模问题转化为求三角函数的最值问题；（3）转化成证明与向量平行等价的三角函数式.

解：（1）由a与b-2c垂直，得a·（b-2c）=0，

即4sin（α+β）-8cos（α+β）=0，

∴tan（α+β）=2.

（2）|b+c|2=（b+c）2=b2+c2+2b·c

=sin2β+16cos2β+cos2β+16sin2β+2（sinβcosβ-16sinβcosβ）

=17-30sinβcosβ

=17-15sin2β，最大值为32.

所以|b+c|的最大值为42.

（3）证明：由tanαtanβ=16，

得sinαsinβ=16cosαcosβ.

即4cosα·4cosβ-sinαsinβ=0，故a∥b.

例3 已知向量α=（3sinωx，cosωx），β=（cosωx，cosωx），记函数f（x）=α·β，已知f（x）的周期为π.

（1）求正数ω的值；

（2）当x表示△ABC的内角B的度数，且△ABC三内角A、B、C满sin2B=sinA·sinC，试求f（x）的值域.

解：（1）f（x）=3sinωxcosωx+cos2ωx

=32sin2ωx+1+cos2ωx2

=sin（2ωx+π6）+12，

因T=π=2π2ω得ω=1.

（2）由（1）得f（x）=sin（2x+π6）+12，

由sin2B=sinA·sinC，得b2=ac，

又b2=a2+c2-2accosB，∴cosB=a2+c2-b22ac≥2ac-ac2ac=12，

∴0

三、向量与解三角形综合

例4 设点O是△ABC的三边中垂线的交点，且AC2-2AC+AB2=0，则BC·AO的范围是.

分析：本题考查向量的运算，二次函数在给定区间上的值域.

取BC的中点D，

则BC·AO=BC·（AD+DO）=BC·AD=（AC-AB）·12（AB+AC）=12（b2-c2），

又由已知知：b2-2b+c2=0，得c2=-b2+2b，且0

∴BC·AO=b2-b=（b-12）2-14∈[-14，2），即BC·AO的范围是[-14，2）.

变式训练：已知三角形ABC中，AB=6，AC=4，O是三角形的外心，求AO·BC的值.

解：取BC的中点M，连接AM，则

AO·BC=（AM+MO）·BC=AM·BC=12（AB+AC）·（AC-AB）=12（AC2-AB2）=-10.

例5 已知a、b是两个不共线的向量，且a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ）.

（1）求证：a+b与a-b垂直；

（2）若α∈（-π4，π4），β=π4，且|a+b|=165，求sinα.

解：（1）∵a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），

∴|a|=|b|=1，

又∵（a+b）·（a-b）=a2-b2=|a|2-|b|2=0，

∴（a+b）⊥（a-b）.

（2）|a+b|2=（a+b）2=|a|2+|b|2+2a·b=2+2a·b=165，∴a·b=35，

又a·b=cosαcosβ+sinαsinβ=35，

∴cos（α-β）=35，

∵α∈（-π4，π4），∴-π2<α-β<0，

∴sin（α-β）=-45，

sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）·cosβ+cos（α-β）·sinβ

=-45×22+35×22=-210.

四、向量与三角函数的图象与性质综合

例6 设a=（3sinx，cosx），b=（cosx，cosx），记f（x）=a·b.

（1）写出函数f（x）的最小正周期；

（2）试用“五点法”画出函数f（x）在一个周期内的简图，并指出该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

（3）若x∈[-π6，π3]时，函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，试求出函数g（x）的最大值并指出x取何值时，函数g（x）取得最大值.

解：（1）∵f（x）=3sinxcosx+cos2x

=32sin2x+1+cos2x2=sin（2x+π6）+12，

∴函数f（x）的周期T=2π2=π.

（2）列表

x-π12π6512π23π1112π

2x+π60π2π32π2π

y123212-1212

描点连线得函数f（x）在一个周期内的简图为

将函数y=sinx的图象依次进行下列变换：

①把函数y=sinx的图象向左平移π6，得到函数y=sin（x+π6）的图象；

②把函数y=sin（x+π6）的图象上各点横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x+π6）的图象；

③把函数y=sin（2x+π6）的图象图象向上平移12个单位，得到函数y=sin（2x+π6）+12的图象.

注：平移方法不止一种

（3）∵-π6≤x≤π3，∴-π6≤2x+π6≤5π6，

∴-12≤sin（2x+π6）≤1.当且仅当x=-π6时，sin（2x+π2）=-12，

此时，函数f（x）=sin（2x+π6）+12取得最小值0，g（x）=f（x）+m取最小值2.

即-12+12+m=2，解得m=2，

所以，函数g（x）=sin（2x+π6）+52，当x=π6时，取得最大值72，

即g（x）max=72.

通过以上实例我们可以看到解向量与三角的综合应用常用方法是：（1）将向量间的关系转化成三角关系式；（2）化简三角函数式；（3）求三角函数式的值或分析三角函数式的性质；（4）明确结论；（5）反思回顾，查看关键点、易错点和规范解答.要防范的错误是：（1）化简向量的相关运算时一定要看清楚向量的起点和终点，弄清向量夹角与三角形的哪个内角有联系；（2）要根据合适的三角恒等变换选择恰当的求模方式，不要避简就繁；（3）将向量的关系转化成三角形中的边角关系时要注意方向.

（作者：陈红梅，如皋市薛窑中学）