两个不等式名称的考证

俞求是

1 “基本不等式”的名称问题

一个概念或方法的命名是一件重要的事.万物始于无名.命名就是指运用各种方法把人或物指定一个便于识别区分的名称.所以，命名是一件重要的事.勾股定理的命名就曾经在我国数学教育界认真地讨论过，最后确定为现在的名称，这个名称比较好地反映了中外数学发展历史的实际情况.

关于“基本不等式”的名称，目前《普通高中数学课程标准（实验）》规定把不等式：a+b2≥ab称为“基本不等式”.当然，作为国家文件进行规定，对一个不等式进行命名当然是可以的.不过，从教学研究的角度来看，从名称的使用角度看，虽然这个不等式确实已经很基本了，但如果作比较，却还有更基本的不等式，如|x|≥0，x2≥0，a2+b2≥2ab等.由于这些原因，这个不等式的名称问题应该还可以商榷、讨论.如果给以上不等式进行命名，能够使听众立刻明白所指的不等式是哪个，考虑到与此基本结论相关的一般形式不等式普遍称为算术平均-几何平均不等式（一般简称均值不等式），以上不等式称为“基本（或二元）算术平均-几何平均不等式”，简称“基本（或二元）均值不等式”是比较准确的名称.实际上，由于一般形式的均值不等式包括了各个具体均值不等式，大多数情况下，在应用中直接称均值不等式也并不会引起混淆，从逻辑上说这样称呼也是严格的.例如，东北师范大学朱显海教授在《中学数学导论·代数2》（人民教育出版社1992年7月第1版，第34页）就直接称以上不等式为几何平均-算术平均不等式，并指出可以推广到一般形式.其他一些《中学数学教学辞典》也一般称以上不等式为平均不等式，有的指出是基本不等式之一.由高等教育出版社出版《数学手册》编写组编的《数学手册》也没有用基本不等式的名称.

基本不等式的名称并不通用.有一本讲不等式的课外读物《不等式启蒙》（辽宁教育出版社1985年8月第1版）的内容提要中提到有“基本不等式”这一词，是这样说的：“本书是为高中学生和中学数学教师写的课外读物.书中提出了八个基本不等式，即算术-几何平均不等式、荷尔德不等式、闵可夫斯基不等式、杨格不等式、贝努里不等式、哥西不等式、几何-调和不等式和幂平均不等式.并详细讨论了它们之间的关系.”这里说的基本不等式有8个.另外见到一些早年的数学手册则把不等式的基本性质称做基本不等式.所以基本不等式的名称要统一并不容易.实际上，一个事物算不算基本，在不同的场合，不同的人员眼里，其标准是不同的.既然意见这样不好统一，是否就不要用这个名称.一个名称，

如果很多年后，人们仍然不会混淆，那么这个名称就是合适的.可以作一个调查，问毕业已经若干年的高中毕业生，让他们回答“请你写出在高中数学课中所学的有一个叫做‘基本不等式的结论”，相信能够得到对于这个问题有价值的一些参考信息.

实际上，在我国以前的中学数学教科书，对于以上算术平均和几何平均之间关系的不等式，一直只给出结论，没有称其为基本不等式，这应该不是偶然现象.随机查阅一些关于不等式的著作，如严镇军的《不等式》（人民教育出版社出版1990年3月）、张弛的《不等式》（上海教育出版社1963年12月第1版，1979年5月第7次印刷）等书，都没有用“基本不等式”这个名称.

作教材比较，以上不等式的命名，目前几个版本的高中数学课程标准实验教科书并不一致，也说明以上的命名确实值得讨论，《人教B版》称这个不等式为“基本不等式或平均值不等式”.《北师大版》在这一节的标题是“平均值不等式”，但在此不等式给出之后，并没有给以命名.《湖南教育版》则把这个不等式和另外一个不等式合称“基本不等式”.

徐利治教授和王兴华教授的《数学分析的方法及例题选讲（修订版）》（高等教育出版社）称其为“平均值定理”：若干个正数的几何平均值必不大于它们的算术平均值.一个不等式形式的数学结论用文字语言表述得非常简明.

综合以上情况，对于这个不等式的命名，建议在《教学参考书》中指出这个不等式一些常用的命名方式，采用比较灵活的方式，以不引起混淆为宜.

2 是“三角不等式”还是“三角形不等式”

目前，在各个不同版的《不等式选讲》中对形如：

的一种类型的不等式的名称还不统一.

称其为三角不等式的有：人教A版，人教B版；称其为三角形不等式的有：苏教版，另外，北师大版在习题中涉及这个不等式，但不涉及名称；湘教版在“阅读与思考”中涉及此不等式，其中出现两种不同的名称.

参考另外一些数学教学著作：

王岳庭、周焕山、李长明著《初等数学研究学习指导书》、严镇军著《不等式》称三角形不等式；

由高等教育出版社出版，《数学手册》编写组编的《数学手册》第22页指出：闵可夫斯基不等式的特例之一就是三角形不等式.

由文丽译，E.贝肯巴赫和R.贝尔曼著，北京大学出版社出版的美国新数学丛书之一《不等式入门》（第73页）有专门的一节“三角形不等式”.

张福生、赵国礼著《解不等式》指出：未知数含于三角函数中的不等式称为三角不等式；

郑启明、谢庭藩、张奠宙、赵振威等主编《中学数学教学辞典》（P242）指出，含有三角函数的不等式称为三角不等式.

根据上面的分析知，数学界和数学教育界一般根据其本身的特点，称上述不等式为三角形不等式，而称其为三角不等式就与《三角学》中的一些不等式混淆起来了.

所以，笔者认为，在课程标准和教材修订中应该对这个不等式的名称作修订，修订为三角形不等式.

另外，在不引起混淆的前提下（如在日常课堂教学口语中），简称其为三角不等式也不失为一种省力、省时的选择.而在书面表达中还是以严守规范为妥.