对高中数学新课程“螺旋式上升”理念的理解与思考

王国学��

与以往的教材很不同，新课程设计和教材编排都体现了“螺旋式上升”的原则，一个模块的知识分散在几本书中，“螺旋式上升”地呈现出数学的重要概念、定理与思想方法.在具体的教学过程中，我们对“螺旋式上升”内容的处理很不顺手.本文将分析理解新课程“螺旋式上升”的展现方式，并思考使我们教学更加流畅的方法.

1 从课程内容的安排上体现“螺旋式上升”

新课程在内容的安排上体现了“螺旋式上升”的原则，例如：

（1）函数方面：在《数学1》（函数的概念与基本初等函数），《数学4》（三角函数），《数学5》（数列），《数学22》（导数及其应用）都分阶段，分层次逐步深入学习函数内容.

（2）概率方面：《数学3》（随机事件的概率），《数学23》（随机变量及其分布）.

（3）立体几何方面：《数学2》（空间几何体，点、直线、平面之间的位置关系），《数学21》（空间向量与立体几何）.

（4）解析几何方面：《数学2》（直线与方程，圆与方程），《数学21》（圆锥曲线与方程）.

（5）向量方面：《数学4》（平面向量），《选修21》（空间向量与立体几何）.

（6）不等式方面：《数学5》（不等式），《选修45》（不等式选讲）.

（7）三角方面：《数学4》（三角函数），《数学5》（解三角形）.

（8）数学归纳法方面：《数学22》（推理与证明），《数学45》（数学归纳法证明不等式）.

（9）回归分析方面：《数学3》第二章第三节：变量间的相关关系，《数学23》第三章：统计案例.

（10）算法框图方面：主要内容在《数学3》中出现，但算法思想贯穿整套教材.

2 从课本的例题及习题中体现“螺旋式上升”

教材在例题及习题的安排上也体现了“螺旋式上升”，相同或相近的题目或例题在不同模块中出现，意图一是巩固对本章节知识的理解和运用，二是加强前后知识的理解，突出数学知识与方法的纵向联系和对其数学本质的理解.

Ⅰ.（1）《数学4》第108页习题2.4 B组第3题.证明：对于任意a，b，c，d∈R，恒有不等式（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）.

（2）《数学45》第32页定理1.（二维形式的柯西不等式）对于任意a，b，c，d∈R，则（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），当且仅当ad=bc时，等号成立.

柯西不等式在不同模块中出现，在《数学4》中主要是加深学生对向量数量积的理解运用.在《数学45》中课本用多种方法对柯西不等式进行了证明，其中也就包括了用向量的数量积来证明，既加深了学生对柯西不等式的理解，又联系了前面所学的平面向量知识，同时一题多解，也能锻炼学生的发散性思维，可谓一举三得.

Ⅱ.（1）《数学1》第48页“指数函数”问题2：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的

规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.根据此规律，人们获

得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系P=（12）t5730.

（2）《数学1》第59页习题2.1第9题：当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分

之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了.若死亡生物组织内的碳14经过9个“半衰期”后，用一般的放射性探测器能测到碳14吗？

（3）《数学1》第67页例6：生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓

女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代.

（4）《数学5》第54页习题2.4 B组第2题：放射性元素在t=0时的原子核总数为N0，经

过一年原子核总数衰变为N0q，常数q称为年衰变率.考古学中常利用死亡的生物体中碳14元素稳定持续衰变现象测定遗址的年代.已知碳14的半衰期为5730年，那么，①碳14的年衰变率是多少（精确到0.16）？②某动物标本中碳14的含量为正常大气中碳14含量的60%（即衰变了40%），该动物大约在距今多少年前死亡？

（1）和（2）都是出现在《数学1》的指数函数这一节，分别出现在开篇引题及课后习题中，前后呼应，合起来就是一道比较简单的指数函数应用题.（3）出现在《数学1》的对数函数这一节，是一道对数函数的简单应用题，一是对对数函数模型的应用，二是对前面两道题的再一次回顾，三是体现了指数与对数运算是互为逆运算.（4）是出现在《数学5》数列这一章“等比数列”这一节，是一道等比数列的应用题，目的一是可以培养学生的应用意识，二是可以结合前面的函数应用的例题，使学生体会及了解“数列”是一种特殊的函数，培养学生用函数的思想方法去解决数列问题的意识.

Ⅲ.求方程的近似解

（1）《数学1》第89页“用二分法求方程的近似解”.

（2）《数学1》第93页：信息技术应用——借助信息技术求方程的近似解.

（3）《数学3》第4页例2：写出用“二分法”求方程x2-2=0（x>0）的近似解的算法.

（4）《数学3》第17页：画出程序框图：表示用“二分法”求方程x2-2=0（x>0）的近似解

的算法.

（5）《数学22》第20页“探究与发现——牛顿法（用导数方法求方程的近似解）”.

学生在初中就已初步接触近似计算，在高中进一步学习求方程的近似解，重点及难点有两个，一是求近似解的方法，二是求近似解的原理.《数学22》第21页让学生比较求方程近似解的方法，符合高中生现有的认知水平.另外，《数学3》第二章第三节的“变量间的相关关系”及《数学23》第三章的“统计案例”也是属于这一类型的内容，体现了从简单到难，从不变到变的一个过程.

从对课本习题的比较分析可知，教材对例题及习题的编写也尽可能地体现着螺旋式上升的原则，就是要通过在不同的章节和内容中加以应用，不断加深理解，进而逐渐掌握，这样的习题设置加强了前后所学知识的联系，体现了整体性.

3 “螺旋式上升”内容的处理方式

在具体教学过程中，我们对“螺旋式上升”内容的衔接教学很不顺手，主要体现在：一是对于一个模块的知识教学不能“一泻千里”，只能“挤牙膏”，每每让人感到意犹未尽；二是由于时效性的影响，学生从学完同一内容的前期基础知识“螺旋”到该模块进阶内容的学习时，已经将前期所学忘得差不多，由此造成对进阶内容学习有较大陌生感的现象；三是因学生对前期基础内容的遗忘，导致教师在新内容的教学过程中需要不断地放慢脚步加以提点，增加了教学进度和教学时间的矛盾，且学生的学习效果也大打折扣.

那么对于体现“螺旋式上升”教学理念的新教材及教学模式给教师带来的以上困惑，教师在实际教学过程中该怎样处理以上矛盾，使我们的教学更加流畅，提升学生的学习效果？

3.1 认清“螺旋式上升”的特点及其优越性

“螺旋式上升”教学的目的是优化知识结构，使学生循序渐进地掌握知识，提升能力.“螺旋式上升”不是简单的将同一模块的知识分在不同的学时或学期讲授，而是需要注重知识结构的内在联系，加强知识的层次性，使学生对知识的掌握步步为营、层层递进、逐步加深.作为老师要充分认清数学学习的螺旋式上升的特点，这样才能保证“螺旋式上升”教学的有效性.

3.2 钻研教材，准确定位

教师应认真阅读、理解、体会整套新课程教材，对新课标中螺旋式上升的知识脉络进行准确的把握和定位，才能在教学中胸有成竹，哪些需要事先作些铺垫，哪些需要稍作补充，哪些不需要在第一阶段就一定要求让学生掌握，可以逐步深入，在以后慢慢理解.例如《一元二次不等式的解法》这一内容的完整章节是放在必修5中的，但事实上在必修1《集合》一章中必定会遇到解一元二次不等式甚至是绝对值不等式的问题，所以在必修1中，只需要简单地介绍一元二次不等式的解法，要求学生只要会解简单的一元二次不等式即可.在必修5中再具体地分析二次函数图象、一元二次方程的根和一元二次不等式解集的关系.以“滚雪球”的方式积累学生的知识量，让学生有较大的空间去理解和接受.

3.3 加强针对性复习

“螺旋式上升”教学过程中，在讲某一知识的进阶内容时，学生经常忘记之前学习的基础内容，通常需要教师引导着再复习一遍，如果忽略了学生对于前期知识复习的需求，则会导致学生在学习新知识时难于理解，学习效率降低.若在进行新内容教学之前，先引领学生复习相关的前期内容，温故知新，逐步加深拓展，使学生对知识的掌握逐步牢固，逐步深刻，就真正做到了“螺旋式上升”！

总之，学无止境，教亦无止境.教师只有不断地钻研教材，才会逐步领悟新课程的理念和编者的意图.才能根据学生的具体情况作出更适合本班学生的螺旋式上升的教学安排，做到全盘统筹，循序渐进，才能取得更好的教学效果.

作者简介 王国学，男，湖北十堰人，1984年4月生，中学数学一级教师，发表论文8篇.