小学数学运算教学中“算理”与“算法”的有效结合

吴建新

计算教学在小学数学教学占有很大的比例，是实施素质教育的重要环节。曾经有些教师认为计算教学只要让学生把法则背下来反复练习即可，似乎不必花时间去研究计算法则背后计算的道理。在这里我不得不重提算理、法则的内涵以及二者的关系，算理是四则运算的理论依据，它是由数学概念、运算定律、运算性质等构成的，运算法则是四则运算的基本程序和方法。 运算是基于法则进行的，而法则又要满足一定的道理，所以算理为法则提供了理论依据，法则又使算理可操作化。这里我以三年级《分桃子》一课来谈谈怎样在计算教学中实现“算法”与“算理”的有效结合。

一、找准新旧知识的切入点——找到算理的源头活水

教学中既要重视法则的教学，还要使学生理解法则背后的道理，使学生不仅知其然，而且还知其所以然，在理解算理的基础上掌握运算法则。而找准新旧知识的切入点就是找到了走进新知的桥梁，更找到了新知所含算理的源头活水。在教学设计中我们要遵循这一教学规律，去了解内容前后的联系，了解学生的思维水平，学情分析是教学设计系统中“影响学习系统最终设计”的重要因素之一。找准了新旧知识的切入点就像敲开了学生学习新知的思维大门，这样才能轻松地完成学生对新知的建构过程，达到教学最终的彼岸。

【课例】

“分桃子”一课，其内容是一位数除两位数（三位数）商是两位数的除法，是在学生已经掌握百以内一位数除两位数的口算和两、三位数乘一位数的基础上进行教学的。学生对除法竖式的写法只初步学过一步，而且时间相隔了半年，对除法竖式似乎早已淡忘已久，所以这一节除法的竖式计算对学生来说是一个难点，也是后面继续学习商是两位数的基础。教学中应如何突破让学生去理解两步竖式中每一步的算理呢？课前应设计必要的一步除法竖式练习，如竖式计算：9÷3= 48÷6=。并追问得到的商“8”为什么写在个位而不写在十位上？

从每一步的所来，及时了解学生的思维水平，唤起学生的旧知，让学生重新回顾所需的旧知识以及其中的计算原理，给学生的思维搭上一座连接新知的桥梁，让学生找到算理的源头活水。

二、抓住操作与算理的融合点——感知算法的建构过程

我们知道计算是枯燥的，如果没有一定的运算原理做支撑，法则的框架最终会支离破碎。所以在计算教学中我们不仅要让学生知道该怎么计算，而且还应该让学生明白为什么要这样计算，帮助学生在心中了解算法的理论依据，并将“算理”与“算法”有效结合、紧密联系。如何做到这样完美的效果呢？心理学研究表明，儿童的认识规律是“感知——表象——概括”，只有在真真切切的动手操作中慢慢感知、逐步体验才更能符合孩子们的这一认知规律。动手操作可以充分调动学生的各种感官，并使这些感官参与到数学教学活动中去，在操作中感知大量直观形象的事物，获得感性知识，形成知识的表象，并诱发学生积极探索，从事物的表象中概括出事物的本质特征，从而形成科学的概念。

《分桃子》这节课我们可将学生的动手操作——分小棒、口算算理——先算什么再算什么、与竖式算理——先除哪一位再除哪一位进行三者结合、紧密结合、前后对应、由浅入深、环环相扣、顺理成章、最后让“算理”与“算法”完美结合。

【课例】

第一步：

例一中48除以2，学生根据已有知识，有动手分小棒的，也有直接口算的，并汇报是先把40平均分成2份得20，再把8平均分成2份得4，两次分得的合起来就是24个桃子。【因为前面已学习过商是两位数的口算除法，学生做起来很轻松】

第二步：

老师顺势问学生：“以前我们算除法时能一次分完的，在竖式中就一步完成，今天48÷2=24 分两次分好，那这道竖式该怎么写呢？看着你分桃的过程想一想，看怎样写才能体现出你分2步分完的道理。

第三步：

学生看着分小棒的过程独立探索48除以2的笔算竖式。并展示不同写法。

第四步：

比较哪一种写法更符合你分小棒的两步过程？并看着分桃过程说说你竖式中每一步的表示什么意思。

以分小棒的直观过程为依托，学生明白先分4个十得到2个十，把2写在十位，再把8搬下来除以2得到4个一，把4写在个位上。学生逐步构建商是两位数的笔算除法的知识结构，并在与旧知的区别中辨识新知的关键之处在哪里。在動手操作和课件观察中学生将知识表像逐步内化，形成清晰的算理。

特别是48除以3第二个例题中，引导学生紧密结合学生分小棒的操作过程，探索要分两次除而且必须从十位除起，十位上落下的1表示一个十，与个位的8合成了18个桃子再平均分给3个猴子，得到6个桃子，写在个位上这一完整的计算原理。

课标指出：让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型，并进行解释与应用的过程。在教学中合理安排动手操作正是这种有意义的学习数学和获得数学知识的方法和手段。“纸上得来终觉浅，绝知此事须躬行”，为此，我们必须倡导数学学习的实践性，在体验中学习知识，通过动手操作使之再学习、再探索、再提高，这不失之为理解算理、建构算法的好方法。

当然我们还得注意动手操作不是单纯的行为活动，更重要的是在活动中要有思维的活动，去思考、去想象、去推理、去解释、去总结……在这样的手脑共同协作下，使思维能力得到发展，使动手能力得到提高。操作过后还应该安排学生汇报的环节，也就是让学生说说自己操作的过程和方法，说说自己得到的结论和启示，在复述思维过程和动手过程中，使知识内化，并起到对语言能力的训练。

三、瞄准学生思维的闪光点——内化算理形成算法

课堂是一个充满活力的生命整体，处处蕴含着矛盾和精彩。课堂教学中既需要预设，也需要生成，而生成的随机性和不可预计性有时会让老师措手不及。所以我们老师必须要有一双慧眼来瞄准学生思维的闪光点，抓住时机与学生的思维达成一致并及时与学生对话。当学生遇到思维瓶颈时老师及时疏通引导、帮助鼓励，让学生从模糊到清晰，逐渐内化算理形成算法。

【课例】

片断一：

在除法竖式教学中，学生有说把8“搬”下来，有说把8“落”下来，老师就抓住了这个“搬”和“落”字做文章，紧紧地瞄准这两个字探问学生：“为什么要“搬”下来或“落”下来呀？谁知道其中的原因呢？“学生纷纷讲明自己内心的想法——

这样既加深了算理的理解又强调了格式的书写，真是妙！

片断二：

在试一试的练习中，老师故意把几个错的典型的孩子喊到前面演板，抓住学生思维认识中仍存在的知识障碍，让大家指出这些学生计算中的错误在哪里，并讨论为什么会出这样的错误，应该注意哪些等。让学生好好过了一下当医生找毛病的瘾，“治愈”了学生知识中存在的问题。这无疑是帮助学生对知识进一步的巩固和理解，学生的主体地位更是淋漓尽致的展现，同时增加了学生的参与兴趣，进行了有效建构，提高计算教学的有效性。

打造高效课堂是我们一致追求的终点目标，计算教学要想实现这一目标，最首要就是弄清“算理”与“算法”的依存关系并将其二者有效结合，建构学生的完整合理的知识体系。