换个角度来理解“微元法”

葛永平

在推导匀变速直线运动的位移公式x=

时，很多同学感到课堂上讲的不易听懂，课本上写的不易看懂.其实这是一种非常正常的现象，因为运用微元法解决复杂问题的过程是一种完全陌生的思维方式，对同学们的能力要求很高，初次运用微元法确实很难一下就理解和掌握.不过，如果换一个角度来分析这个问题，也许微元法就变得浅显易懂了.下面我们就来试一试这种方法吧.

问题：设质点做初速度v₀=10m/s、加速度a=1m/s²的匀加速直线运动，在t=10s时速度达到v₁=20m/s，如图1所示，求物体在这10s内的位移大小.

第一步：如图2所示，设有两个匀速直线运动的速度分别为v_a=10m/s和v_b=20m/s，根据匀速直线运动的位移公式可知在t=10s内它们的位移分别为x_a=100m和x_b=200m.由于匀加速直线运动的速度始终介于v_a和v_b之间，因此将匀加速直线运动的位移x与两这个匀速直线运动的位移相比较，可以得到：200m>x>100 m.

这时我们仅仅得到了一个可能的范围，且范围大小为

，这个范围很大很不精确，显然这远不是我们所要的结果，

第二步：把时间分为10等分，那么每个等分就是

.若我们将整个运动分割为十个部分来分别计算每一段的位移，然后相加不是也能求出10s内的位移吗？那么这个相加的结果又是怎样的呢？设匀加速直线运动在第Is内、第2s内、第3s内…第10s内的位移分别为

，则10s内的总位移

综合以上计算可知：（11+12+13+…+20）m>x>（10+11+12+…+19）m，对两个数列求和即得：155m>x>145 m.

这时我们得到的仍然是一个可能的范围，但范围被大大缩小（只有10m，即原来的1/10）了.显然这比结论①精确多了，但离目标差距尚远. 假如进一步把时间细分为100等分，那么每个等分就是

t=0.1s.设匀加速直线运

综合以上分析可得：150.5m>x>149.5 m

这个范围被缩小到只有1m（即原来的1/100），这又精确多了.在有些精度要求不高的计算中，此结论的精确度也许足够了，但公式的推导是不允许有丝毫误差的.

第三步：若把时间进行n等分，也就是把运动过程分割成n个部分，逐个地与相应的匀速运动进行计算比较，再累计n个部分的总和，就可以得到一个不确定的范围.根据上面的计算可知：当n增大（即

减小）时，结果的不确定范围就会缩小，我们与确定的目标值就会接近.当n一∞（即 —0，也就是取微元）时，不确定的范围就会趋近于某个确定的数值（极限）-150m.这个数值就是课本中的那个“梯形的面积”，于是也就推出了位移公式.

总结以上分析，可以发现这种方法可以归结为三大步骤：①近似计算——把匀变速运动与匀速运动比较，利用匀速运动的公式得到一个可能的范围.②减小误差——分割求和，把可能的范围缩小.③消除误差——无限细分（取微元）再求和得到一个极限——准确结果.因为有着微分、累积、求极限的特点，这种方法也被称为极限法或微积分法.

练习：设质点在一直线上的运动速度按v=t²的规律变化（图4），求质点在第1s内的位移.已知l²+2²+3²+…+n²=

.

物理学习的基础是大量的自然现象和事实，主要内容是由此提炼总结的概念和规律，而在提炼总结时的思想方法才是真正的核心，“微元法”就是那种核心内容.它的精妙之处在于用简单的规律可以处理复杂的问题、用初等的方法能够启动高级的思维、在深入浅出之中蕴含着博大精深.本文所用的数值计算，能更直观地显示出分析的思路，是解决问题的基础和前提，但不是最终解决手段.计算的目的只是为了找到缩小不确定范围的途径——“分割求和”，而随着分割的无线细化，计算量会无限增大，因此不可能通过计算完全消除误差，得到准确结果.最终解决问题要依靠推理分析，利用思维方法的强大力量，这种力量可以极大地拓展我们处理问题的领域和能力。endprint