函数的应用知识点解读及高考题型分析

王立超

一、知识点解读

1.函数的零点

（1）函数零点的定义：对于函数y=f（x），我们把使f（x）=O的实数r叫做函数y=f（x）的零点。（2）几个等价关系：方程f（x）=0有实数根<=>函数y=f（x）的图像与z轴有交点<=>函数y=f（x）有零点。（3）函数零点的判断（零点存在性定理）：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）<0.那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=O，这个c也就是方程f（x）=0的根。

2.二次方程的实根分布及条件

（l）方程f（x）=0的两根中一根比r大，另一根比r小<=>a·f（r）（检验）或（检验），检验另一根在（p，q）内。（5）方程f（x）=0两根中的一根小于p，另一根大于

3.二分法求方程的近似解

（l）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。（2）给定精确度ε，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证，给定精确度②求区间（a，b）的中点c。③计算，则c就是函数的零点；若，则令b=c（此时零点则令此时零点。④判断是否达到精确度e，即若，则得到零点近似值a（或b）；否则重复②③④。

4.常见的函数模型

（l）一次函数模型：为常数.k≠o）。（2）反比例函数模型：常数，k≠O）。（3）二次函数模型：为常数，a≠0）。（4）指数函数模型：为常数，（5）对数函教模型：为常数，。（6）幂函数模型：为常数，a≠0，n≠1）。（7）分段函数模型：这个模型实际是以上两种或多种模型的综合，因此应用上分广泛。（8）函数模型。

5.几类不同增长的函数模型及其增长差异

分别作出函数在第一象限的图像，如图1所示。

函数刚开始增长得最快，随后增长的速度越来越慢；

函数刚开始增长得较慢，随后增长的速度越来越快；

函数增长的速度也是越来越快，但越来越不如增长得快。

函数和的图像有两个交点（2，4）和（4，16）。

当x∈（2，4）时，，当x∈（0，2）U（4，+∞时，。所以当x>4时，

一般地，在区间（O，+∞）上，尽管函数和都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上。随着x的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于（n>O）的增长速度，而的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个x。，使得当x>x。时，就有。这一结论充分体现了指数函数的爆炸式增长。

二、高考题型分析

1.函数零点所在区间的判断

判断函数f（x）的零点所在的区间，依据零点存在性定理将区间端点的值代入验证，此法只适用于变号零点。值得说明的是零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件。不易判断时也可以画图观察。

例1 已知函数在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）。

A.（0，1）

B.（1，2）

C.（2，4）

D.（4，+∞）

解：由题意知函数f（x）在（O，+∞）上为减函数。

由零点存在性定理，可知函数f（x）在区间（2，4）上必存在零点。

应选C。

跟踪练习1：对于函数，若，则函数f（x）在区间（a，b）内（）。

A.一定有零点

B.一定没有零点

C.可能有两个零点

D.至多有一个零点

提示：判断二次函数的零点，也可结合其图像进行判断。

由二次函数的图像可知，若a，b在二次函数的两个零点外侧，则有，所以函数f（x）在区间（a，6）内可能有两个零点，应选C。

2.二分法的应用

二分法只适用于变号零点，二分法是求方程的根的近似值的一种方法。

记忆口诀：定区间，找中点，中值计算两边看，同号去，异号算，零点落在异号间。周而复始怎么办？精确度上来判断。

例2 设函数f（x）的零点为的零点为，若，则函数f（x）的解析式为（）。

解：先确定选项A、B、C、D中的零点为x1，再利用二分法可求得。

选项A中，x1=l；选项B中，x2=O；选项C中，选项D中，

因为g（1）=4+2-2>0，g（O）=1-2<0，，所以，应选D。

跟踪练习2：函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，得数据如表1所示，那么方程f（x）=O的一个最接近的近似根为（）。

A.1.2

B.l.3

C.1.4

D.1.5

提示：由表1找出最大的零点区间即可。

由零点存在性定理知，最接近的近似根为1.4。应选C。

3.方程实根分布问题

研究一元二次方程的区间根，一般情况下需要从以下三个方面考虑：（l）一元二次方程根的判别式；（2）对应二次函数区间端点函数值的正负；（3）对应二次函数图像的对称轴与区间端点的位置关系。

例3 若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y=f（x）的图像上，②P，Q关于原点对称，则称（P，Q）是函数y=f（x）的一个“伙伴点组”（点组（P，Q）与（Q，P）看作同一个“伙伴点组”）。已知函数有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是______。