关于胡克定律和弹簧问题的分析

王飞

高中物理教材中弹簧模型是一个重要的模型，在中学阶段，凡涉及的弹簧都不考虑其质量，称之为“轻弹簧”，是一种常见的理想化物理模型.弹簧在弹性限度内遵从胡克定律，弹簧发生弹性形变时，弹力的大小F跟弹簧伸长（或缩短）的长度x成正比，即：F=kx，式中k叫做弹簧的劲度系数，单位是牛顿每米，符号是N/m.

关于胡克定律的理解要注意以下几点：

1.胡克定律的成立是有条件的，弹簧要发生“弹性形变”，即在弹性限度内才适用.

2.表达式中的x是弹簧的形变量，是弹簧伸长（或缩短）的长度，而不是弹簧的原长，也不是弹簧形变后的长度.

3.表达式中的劲度系数k，反映了弹簧的“软”“硬”程度，其大小与弹簧的材料、形状、长度有关.

4.由于弹簧的形变量x常以“cm”为单位，而劲度系数k又往往以“N/m”为单位，在应用公式时要注意将各物理量的单位统一.

5.胡克定律的另一种表达形式：设劲度系数为k的弹簧，在形变量为X1、x2时产生的弹力分别为F1、F2，则根据胡克定律F=kx，有，两式相减，有，即△F=k△x.上式表明：弹簧发生弹性形变时，弹力的变化△F与弹簧长度的变化△x成正比.

弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力.当题目中出现弹簧时，要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应.在题目中一般应从弹簧的形变分析人手，先确定弹簧原长位置、现长位置，找出形变量x与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，以此来分析计算物体运动状态的可能变化，

例1 如图1所示，四个完全相同的弹簧都处于水平位置，它们的右端受到大小皆为F的拉力作用，而左端的情况各不相同：①中弹簧的左端固定在墙上，②中弹簧的左端受大小也为F的拉力作用，③中弹簧的左端拴一小物块，物块在光滑的桌面上滑动，④中弹簧的左端拴一小物块，物块在有摩擦的桌面上滑动.若认为弹簧的质量都为零，以依次表示四个弹簧的伸长量，则有（）

解析 无论弹簧的左端情况怎样，轻弹簧的两端拉力总相等.设弹簧两端拉力分别为F、F，则F-F=ma，轻弹簧的质量为0，因此ma=0，即F=F.且此拉力等于弹簧的弹力，则根据胡克定律得到四个弹簧应该是，所以四个弹簧一样长.所以选择D选项.

例2 如图2示，两木块的质量分别为m1和m2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2，上面木块压在上面的弹簧上（但不拴接），整个系统处于平衡状态.现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧，在这过程中下面木块移动的距离为（）

解析 题中空间距离的变化，要通过弹簧形变量的计算求出.注意缓慢上提，说明整个系统处于一动态平衡过程，直至m1离开上面的弹簧.开始时，下面的弹簧被压缩，比原长短，而m.刚离开上面的弹簧，下面的弹簧仍被压缩，比原长短，因而m2移动的距离，所以选C.

例3 量得一只弹簧测力计3N和5N两刻线之间的距离为2.5㎝，求：

（1）这只弹簧测力计所用弹簧的劲度系数：

（2）这只弹簧测力计3N刻线与零刻线之间的距离.

解析 （1）根据

（2）由.得

点拨 F=kx是胡克定律的数学表达式，F与x的关系还可以用图象来描述，横轴为白变量x，纵轴为因变量F，其图象是一条过原点的直线，如图3所示，图象上各点的坐标（x，F）反映弹簧的一个工作状态，所以这一条直线是弹簧所有状态的集合，直线的斜率反映了弹簧的劲度系数，从图象还可以看到：F与x对应，△F与△x对应，弹簧的劲度系数可用计算，也可用计算，这样使胡克定律的应用变得更加灵活.

例4 如图4所示为一轻质弹簧的长度和弹力大小的关系图象，根据图象判断，下列结论正确的是（）

A.弹簧的劲度系数为1N/m

B.弹簧的劲度系数为100N/m

C.弹簧的原长为6cm

D.弹簧伸长0.2m时，弹力的大小为4N

y解析 图线与横轴交点为弹簧原长，即原长为6cm；劲度系数为直线斜率；弹簧伸长0.2m时，弹力F=kx=100×0.2N=20N.所以选项B、C正确.

例5 如图5所示，光滑斜面倾角为θ=30°，一个重20N的物体在斜面上静止不动.轻质弹簧原长为10cm，现在的长度为6cm.

（1）求弹簧的劲度系数；

（2）若斜面粗糙，将这个物体沿斜面上移6 cru（弹簧与物体相连），物体仍静止于斜面上，求物体受到的摩擦力的大小和方向.

解析 （1）对物体受力分析，受到重力、支持力、弹簧的弹力F，则有：mgsinθ=F，此时F=kx联立代人数据得：k=250N/m

（2）物体上移，则摩擦力方向沿斜面向上，此时重力的分力加上弹簧的弹力等于物体受到沿斜面向上的摩擦力.有：F_f=mgsinθ+F此时F=kx₂=5N，代人上式得F_f=15N，方向沿斜面向上.