数字技术支持下的数学笔记

梁勇

【摘 要】在数学学习过程中，学生以数学笔记为载体，连结日常生活，外显数学思维，融合多学科知识与技能。新技术的融入为数学笔记提供了新的创作视角，实现了个性化学习，促进了学习共同体的形成。这些都在有力地支持学生进行理解性数学学习。

【关键词】数学笔记；新技术；理解性数学学习；综合素养；学习共同体

【中图分类号】G40-057 【文献标识码】A

【论文编号】1671-7384（2015）10-0051-04

尽管人们依然在争论学生应该学什么样的数学，但对于学生应该如何学习数学这个问题却持有相同的观点，那就是：学生应当理解性地学习数学的关键性知识和技能。

基于脑科学的学习科学研究表明，学生孤立地学习数学知识和技能无法达到理解，因为理解产生于学生与周围环境中的材料、同伴和起支持作用的成人的互动过程。笔者在多年的数学教学实践中发现，数字技术支持下的数学笔记（以下简称为数学笔记）能够有效地帮助学生（尤其是小学低年级学生）进行理解性数学学习。

数学笔记，是指学生在数学学习过程中采用绘画、手工、摄影等美术形式编制个性化创意数学作品（如图1），并运用社会化语音技术对数学作品进行独立描述或解释，用以表达对数学概念和原理的认知、理解和应用，然后发布于社会化交流平台，与同伴及成人进行及时分享和交流并获得相应反馈。

图1 《我为数字穿新衣》

数学笔记连结日常生活，构建数学知识

从学校向日常环境的迁移是学校教育的最终目的，但在数学学习的初始时段，反方向的迁移同样有利于学生对数学知识的理解。首先，学龄学生在进入学校时已经拥有了大量来自于日常生活的自然数学经验和非正式数学知识。其次，当学习发生在有意义的和熟悉的情景之中，学生能够更有效地进行数学学习。因此，学校里的结构化数学学习应当充分挖掘和利用学生熟悉的生活情景和已有的数学知识，并结合学生与生俱来的好奇心和求知欲，培养学生学习并应用数学概念和技能的兴趣。

一年级的学生在制作《生活中的数字》（如图2）时，通常会采用绘画或拍照的方式来呈现自己的发现，诸如自家的门牌号码、父母手机的面板、邻居家汽车的牌照、面值不同的人民币、商场里商品的价格、车站显示牌上的时间……我们的周围环境到处都充满了数字，但学生有关数字的经验大部分来自于自然和非正式活动。因此，当学生“以数学的名义”重新观察和记录这些习以为常的数字时，他们仍然兴奋不已。

图2 《生活中的数字》

新技术的加入无疑给数学笔记提供了新的视角，增添了丰富的创意元素。阅读《建筑中的图形》之后，孩子们开始了图形发现之旅，他们先利用iPad在学校、社区拍摄照片，然后在“圈点”里圈出各种图形，标注名称，建构起对图形的认知，并初步感受部分与整体的关系（如图3）。

图3 《平面图形》

在此过程中，学生开始转变观察生活的视角，即运用数学的视角，对早已熟悉的环境进行重新观察和探索，从而获得数学经验，主动建构数学知识，同时体验和发现数学就在自己的周围、眼前甚至身上。事实上，周围的事物原本就已经存在，学生只是换了个角度去观察，就能发现一个奇异的数学世界。数学笔记，正是在学生自身不断发展的数学理解与正式的数学知识之间架起的一座桥梁。

数学笔记物化数学思维，外显数学理解

1. 数学笔记呈现理解水平

数学学习活动基本上是数学思维活动。但是，如何在实际数学教学过程中观察、理解和评估学生内隐的数学思维？这需要我们引导和帮助学生准确而有效地暴露其数学思维，即运用恰当的符号表征数学知识。数学笔记作为数学符号表征的一种形式，能够外显学生对数学知识的认知、理解和应用，进而帮助成人对学生的数学学习进行观察和评估。

在教学“乘法”时，我们通常会做两个方面的前测：一是“乘法作为运算”，测试方式为乘数小于5的乘法口算；二是“乘法作为概念”，测试方式是数学笔记，即画一幅画表示3×4（如图4）。结果通常都在我们的预料之中，很多孩子在学习乘法之前已经能够准确地计算简单乘法，并为此感到自豪。与此同时，有些孩子直接用“3和4相乘”的符号表征来表现“3个4相加或4个3相加”（如图4）。

图4 《3×4》

依据数学笔记，教师能够清晰地观察到学生对于“乘法的意义”的认知和理解是有缺陷的。在教学过程中不仅注重让学生记住乘法表以求计算正确率与速度，而且利用学生天生的建模意识去引导学生学习连加的运算规则，因为这是理解乘法的基础。

2. 数学笔记记录学习过程

小学阶段的数学内容基本上是常识性的，但数学本身具有一般性和抽象性。面对抽象能力尚未养成的小学生，教师很难也不应当过多地讲解数学道理，而是引导学生参与笔记数学等学习活动，让学生经历丰富的观察、制作等数学活动过程，在“慢慢”的过程中，“慢慢”积累数学活动经验和数学事实，“慢慢”感悟数学知识的形成过程、数学符号的简洁实用和数学原理的内在逻辑。

在数学学习活动中，学生的许多数学观察发生在不同时空，“思维导图”能够帮助学生随时随地记录观察到的数学现实，并在一定积累的基础上，对这些数学事实进行分类和整理，从而建构数学知识。

图5所示的《三角形的家》清楚地记录了吕紫贤同学的数学学习过程：一开始只是为了寻找生活中的三角形，而后随着数学事实的不断积累，便有了分门别类的想法和行动。这样的数学笔记制作过程中，学生既能够观察并发现三角形在生活当中的广泛运用，更能够学会有条理地认知社会事物的不同领域。

图5 《三角形的家》

3. 数学笔记投射思维特征

数学笔记是学生个性化的数学作品，自然也能反映学生某些个性心理特征、学习风格。在画《多几少几》时，尽管教师提供的半结构化材料使学生的创作有了基本相同的框架，但只要我们认真观察，就能发现作品与作品之间细微的差异：有的学生喜暖色调，有的学生则好冷色调；有的学生喜欢使用“线条”，而有的学生则喜欢用“色块”；有的学生注重均衡布局，有的学生则喜好剑走偏锋……正如世界上没有两片完全一样的树叶，我们眼前没有完全相同的两幅作品（如图6）。由此可见，每个孩子都拥有独一无二的思维特征，他们都在积极地发挥着独特的学习力和创造力，表达着独特的自我。

图6 《多几少几》

随着作品数量的增加，我们发现，不同群体学生的学习风格也存在差异。较之男孩子随性的天马行空，大多数女孩子的作品会显得更整洁、风格更统一、色彩更丰富；低年级学生更关注作品的艺术创意，高年级学生更关注作品的数学本质；低年级学生在半结构化创作中完成的质量较高，高年级学生则更愿意进行自主创意。

数学笔记融合多学科，培养综合素养

随着教育变革的不断深入，人们越来越重视课程整合教学模式。正如图7所示，学生在笔记数学时，是以数学内容为中心，却常常整合了科学、社会学习、语言、美术、技术、运动及音乐等不同课程领域内容，形成一个以数学为中心的综合性作品，在重点培养学生数学素养的同时，也培养学生的综合素养。

图7 课程整合基本模型

图8 《厘米》

图8是胡魏恩祖同学二年级时的数学笔记《厘米》，他运用植物的生长过程来描述1厘米、2厘米、5厘米……与此同时，为了更好地测量日益增高的植物，学生为测量者设计了各种增高办法，包括爬楼梯、跳跳球、骑鸟飞行、热气球……充满了各种创意和惊喜。画面中的阳光、土壤、水的出现，表明了学生对于植物生长的基本要素已经了然于心。

语音技术实现人人表达，培养数学语言

数学语言是数学思维的工具，也是数学思维的外显形式。小学生对数学语言的理解和掌握程度，直接影响了他们对数学思想、数学方法和数学知识的理解和掌握能力，从而影响他们数学思维能力的发展及对数学知识的应用。因此，在数学笔记的过程中，我们也必须注重培养学生数学语言的表达和运用能力。

学生的数学笔记需要数学语言的解读，但在真实的数学课堂里，无法实现“人人表达”。在数学笔记中引进PAPA、微信等社会化语音技术，是一个比较好的解决方案。如图9所示，学生先画出数学笔记，再运用PAPA进行图画解读，实现“人人表达”。

图9 学生运用PAPA制作的数学笔记

首先，社会化语音技术完全实现“人人表达”。学生运用PAPA等语音技术将制作好的数学笔记导入，然后运用简练的数学语言进行讲述或解释，实现每个人都能个性化表达。

其次，社会化语音技术能够呈现“最优表达”。学生在讲解录音的同时，会对自己的数学表达进行自我评价，可以经过多次练习之后，最后呈现自己认为最为精彩的数学表达。这样既培养了学生的数学表达能力，也增强了学生数学表达的自信心。

再次，在数学语言表达过程中，学生把那些“听懂的”或“看懂的”数学知识运用数学语言去描述、解释甚至概括，会促使学生对数学知识进行更深入的观察、思考和语言组织。这种过程为与同伴进行交流、讨论做了积极的铺垫和充分的准备；基于充分准备和深入思考的交流讨论使得学生的数学学习更为深刻。

网络平台支持分享交流，构建学习共同体

学习科学研究表明，对包括数学笔记在内的学生作品的反馈在学习过程中起到重要作用。但遗憾的是，很少有教师拥有足够的时间为学生提供高品质的个别反馈。我们必须寻求新技术的帮助，构建基于网络平台的学习共同体，实现及时分享、相互反馈，从而获得同伴支持。

微信群、QQ群、百度云盘等新技术帮助我们构建起学习共同体。共同体成员的数学笔记作品能够进行及时共享，并且也可被他人（教师、学生、家长以及共同体成员等）评论。共同体成员在短时间内能够快速获得大量同一主题的数学笔记资源，在观察他人作品的过程中获得更丰富的数学经验和数学事实，在分析、评价他人作品的过程中深入思考和运用数学概念，并逐渐形成批判性思维，在学习他人作品的基础上改进自己的数学作品。这些知识习得和修改意见都能够有力地支持学生数学理解力的发展。

数学笔记对于数学课堂的交流和讨论也起着支持作用。首先，数学笔记作品对所有数学活动参与者都是一个共同的视觉参考物。其次，他们在课前已经通过网络平台针对同一数学问题进行了精心准备，经历了独立学习、扩展学习、识别和思辨。此时，教师的作用就是把学生有关如何解决和分析问题的观点摆在课堂上去讨论，评价他们的论点合理与否，鼓励他们凭直觉应用数学原理，但最好是让学生们自己判断有些事情是否符合数学原理。

总之，基于数字技术的数学笔记，能够有效地帮助学生建构、重构他们的数学理解。学生创作数学笔记、反思数学作品的过程，正是他们积极地学习和运用数学知识的过程，也是促进学生数学理解力不断深化的过程。

（作者单位：广东深圳市南方科技大学实验学校）