活用等腰三角形的性质

贵州省贵阳市观山湖区朱昌中学 刘荣煌

活用等腰三角形的性质

贵州省贵阳市观山湖区朱昌中学 刘荣煌

如果能够在学习或生活中活用等腰三角形的性质，它不但能为你解决一些实际问题，同时欣赏了等腰三角形带给我们的美和实际生活赋予其意义。

三线合一 多解性

等腰三角形是三角形中一种特殊的三角形，它具有两边相等、两角相等及轴对称等特征。解决和等腰三角形有关的问题中如能活用其性质，对问题的简单化、解答帮助多多。

一、“三线合一”帮你忙

等腰三角形“三线合一”的性质是：等腰三角形的顶角平分线底边上的中线和底边上的高互相重回，利用这个性质可以解决一些实际问题，举例如下。

例1，如下图，在等腰△ABC中，AB=AC， AD是BC边上的高， E 、F分别是AB 、AC上的点，EF//BC，求证：△AEF 、△DEF为等腰三角形。

分析：说明一个三角形是等腰三角形就是要说明这个三角形中有两条边相等，或两个角相等，或一个顶点在它对边的垂直平分线上，本题事实上是一个轴对称图形。

解：∵EF//BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C。

∵ AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠AEF=∠AFE，AE=A F。

∵△AEF是等腰三角形，∴AD是等腰△ABC底边上的高，∴AD 平分∠BAC 。

∵△AEF也是等腰三角形，∴AG是底边EF上的高和中线，∴AD⊥EF，GE =GF，∴AD是线段EF的垂直平分线，∴DE= DF，△DEF是等腰三角形。

例2，有三个村庄A、B、C分别位于一个等边三角形的三个顶点处，现欲在三个村庄之间铺设水管，公司设计了三种方案，如下图所示：（1）AB+BC， （2） AD+BC （D为BC 中点） ，（3）OA+OB+OC （O为 △ABC的内心），若要使铺设的水管最短，应选择哪种方案？为什么？

图（1）

图（2）

图（3）

分析：要使铺设的水管最短，也就是比较三个方案中水管的总长度谁最短，可利用等腰三角形性质及点到直线距离，以及通过计算比较出来。

解：图（2）中，因为 D点为等边△ABC的边 BC中点，所以，AD⊥BC，由点到直线距离中垂线段最短可知图（2）中AD长比图（1）中AB的长要短，所以图（2）中水管总长度比图（1）要短。现在看图（3）如右图延长AO交BC于D点，所以△OBD为直角三角形，因为 O为 △ABC内心 ，所以∠OBD=30°，所以OD=½OB，BD=½√3OB，所以OD+BC=½OB+√3BC=（½+√3）OB＞2OB，所以AD+ BC＞AO+BO+CO， 所以图（3）中水管总长度比图（2）短，因此，应该选择图（3）的方案。

图（3）

二、等腰三角形多解性问题

遇到等腰三角形多解性的问题时，要考虑周全而不出现错误或漏解的情况，由于等腰三角形是在三角形中比较特殊的一类，即是它有两腰相等，两底角相等。所以，如果题目中出现腰与底角不能确定的情况，会存在多解性的问题，当出现这一类问题时，我们可以运用分类讨论的方法正确解答，现举例如下：

例1：已知等腰三角形一腰上的中线把周长分为21㎝和18㎝两部分，求腰长。

分析：如下图，在△ABC中，AB=AC，CD为AB中线，则有可能是AC+AD=21㎝，或AC+AD=18㎝。

解：设AB=AC=2x，则有2x+x=21

或2x+x=18，故腰长为14㎝或12㎝。

例2，已知CD是等腰△ABC一腰上的高，且∠DCA=400，求△ABC各内角的度数。

分析：由于本题需作三角形的高，所以应先确定三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，之后再做出高的位置，故需分类讨论。

图1

图2

图3

解：①当△ABC为锐角三角形时，∠A既可作为顶角，又可作为底角，如果∠A为顶角时，如图1，△ABC的三个内角分别是500，650，650，如果∠A为底角时，如图2，△ABC的三个内角分别是800，500，500。②当△ABC为直角三角形时，不符合条件。③当△ABC为钝角三角形时，∠A只能作为顶角，如图3，△ABC的三个内角分别为1300，250，250。故△ABC的三个内角分别是500，650，650或800，500，500或1300，250，250。

总之，如果能够在学习或生活中活用等腰三角形的性质，它不但能为你解决一些实际问题，同时欣赏了等腰三角形带给我们的美和实际生活赋予其意义。

ISSN2095-6711/Z01-2015-10-0133