一个新的三维类Lorenz系统的动力学分析及仿真

张 旻，张宇功，张建强

(兰州交通大学数理学院，甘肃 兰州730000)

在非线性系统中，由于系统内部相互作用而产生一种非周期行为，我们把这种行为就称为混沌.混沌是不可测的，这和外在表象与随机运动类似.但在动力学中，混沌是确定的，而他的不可测主要来自于运动的不稳定性.这种不稳定性主要表现为对无论多小的扰动在经过一定时间后，会使系统很大的偏离初始状态.因此，混沌也是非线性系统普遍存在的动力学行为.

自从1963年美国气象学家 Lorenz［1］在研究气象预报时提出Lorenz系统以来，混沌理论得到了迅猛的发展，也成为迄今为止研究最为深入的混沌吸引子.通过对Lorenz系统非线性动力学的研究，使得许多新的自治混沌系统也相继提出并得到了很多有趣的结果.例如:Rossler系统，Chen［2］吸引子，吕氏吸引子［3］等.

本文主要研究了一个类Lorenz系统的混沌系统的动力学行为.利用非线性动力学的方法，通过理论推导，以及时序图、相图、Lyapunov指数图［4-10］、Poincare截面图、分支图［11-14］等数值模拟的方法研究了该系统的动力学行为.并分析了系统在不同参数时复杂的动力学现象，从数值和理论上分析了系统的混沌特性.

1 Lorenz系统及其动力学行为

1.1 类Lorenz系统的模型

著名的 Lorenz系统［1］为

其中(x，y，z)为系统的状态变量，a，b，c为系统参数，且a≠0.系统(1)中含有2个非线性项 xy，xz，当参数 a=10，b=8/3，c=28，该系统呈现混沌状态.

本文研究的系统如下:

取参数 a=7，b=2，c=25，系统存在一个混沌吸引子，如图1所示.

1.2 系统平衡点稳定性分析

由系统(2)可知，若bc≤0，则系统(2)只有1个平衡点E0(0，0，0);若bc≥0，则系统有3个平衡点E0

定理1 当a＞0，b＞0，c＜0时，平衡点E0是局部渐近稳定的.

证明:因为系统(2)在原点处的Jacobian矩阵为

对应的系统在原点处的特征方程为

可求得一特征根为λ1=-b，其余2根由方程

决定.

由Hurwitz判据，特征方程的全部根都在左半复平面的充分必要条件是Jacobian行列式的各阶主子式均大于0，即

解得a＞0，c＜0.所以，当 a＞0，b＞0，c＜0 时，平衡点E0是局部渐近稳定的.

引理1 Hurwitz稳定判据必要条件［15］:系统特征方程的所有根均具有负实部(即系统稳定)的必要条件是特征方程中各项系数为正数.

定理2 当b≠0，ac同号时，平衡点E0不稳定.

证明:当b≠0，ac同号，则特征方程(λ +b)(λ2+aλ-ac)=0无零解.若有零解，则有b=0或ac=0，这与条件矛盾.且无纯虚根，不然a=0与ac＞0矛盾.其他两个根由方程(λ2+aλ-ac)=0决定，因为ac＞0，故由引理1得知这两个根不全具有负实部.而(4)式又无零根或纯虚根，所以具有正实部，故平衡点E0不稳定.

定理3 当 bc＞0，a＞0，a+b＞c＞0，时，平衡点E1，E2为局部渐近稳定.

证明 现证明E2，E1可类似推出.系统(2)在平衡点E2处Jacobian矩阵为

求得系统(2)在平衡点E2处Jacobian矩阵的特征方程为

根据Hurwitz判据，式(5)的所有根都在复平面左半部的充分必要条件是各项系数所构成的主行列式及其顺序主子式全部为正，即

可得 a+b＞0，a+b＞c，(a+b)c＞0，又因为当bc≥0 时，存在平衡点 E1，E2.所以，当 bc＞0，a ＞0，以及a+b＞c＞0，平衡点E2渐近稳定.

同理可知，当 bc＞0，a＞0，以及 a+b＞c＞0，平衡点E1渐近稳定.

综上所述，当 bc＞0，a＞0，以及 a+b＞c＞0时，平衡点E1，E2为渐近稳定.

1.3 平衡点的分支

由平衡点E0处Jacobian矩阵的特征方程(λ+b)(λ2+aλ -ac)=0 可知，不论参数 a，b，c如何变化，特征方程只有零解，而不会出现纯虚根，故此平衡点不会发生Hopf分岔.下面对平衡点E1的Hopf分支进行讨论，E2的分支类似.

定理4 当bc＞0，ab＞0，c=a+b时，平衡点E1产生Hopf分支.

证明:当bc≥0时，E1的Jacobian矩阵的特征方程为(5)，有一对共轭纯虚根λ1，2= ±iω(ω ＞0)，与另一实根 λ3.易知 λ3=-(a+b)，而 λ1，2满足特征方程式(5)，代入得 ω=，c=a+b，且 bc＞0，ab＞0.

当c=c0=a+b时，

代入c0=a+b得

所以，当 bc＞0，ab＞0，c=a+b时，平衡点 E1产生Hopf分岔.

1.4 系统的耗散性

对系统(2)，由于其散度

若 b＞0，a＞0，则 p为负值，此时，系统(2)描述的是一个耗散系统，并以指数形式=ep收敛.也就是当t→∞时，初始体积为V0的体积元收缩为体积元包含系统轨线的每个小体积元以指数速率缩减为0，最终系统的轨线会被收缩在一个体积为0的极限子集中，说明系统确实存在吸引子.

由图2及图5可看出，系统在c取0到13时Lyapunov指数小于0，为一周期运动.在c=13时Lyapunov指数大于0进入混沌，当c=135时开始作六周期运动，到137开始Hopf分支进入三周期，到151开始Lyapunov指数.

2 数值仿真

采用四阶Runge-Kutta方法数值模拟求解该方程，使用四阶Runge-Kutta方法时，需要先给出初值和步长，系统的初值选取为(0.1，0.1，0.1)，步长选取0.000 1，通过数值模拟，系统显示出有丰富的混沌动力学行为.

1)当参数a=10，b=8/3，c=28时，对系统(2)发生分支的数值仿真.

(a)参数 b=8/3，a=10，改变 c，c∈［0，300］.(如图2所示)当参数c在［0，300］变化时，系统(2)的Lyapunov指数、分支图如图2，图5所示，从Lyapunov指数谱、分支图可以比较直观地反映非线性动力学系统随参数变化的动态特性.我们知道，只要有一个Lyapunov指数大于0，系统便处于混沌状态.

再次大于0进入混沌，到225进入四周期，再经过两次分支，回到单周期运动.

(b)固定参数 a=10，c=28，改变 b，b∈［0，15］.(如图 3 所示)系统在(0，5.3)为混沌运动，在(5.3，15)之间作单周期运动

2)取参数 a=7，b=2，c=25，对系统(2)进行分支的数值仿真(见图6-9).

固定参数b与a，对参数c在(0，300)之间进行分支(如图6)，当参数在(0，300)上变化时，由相图(图1)知道，其轨线已形成了奇怪吸引子，其截面图(图9)上的点不再是少数离散的，而是由一些密集点连成的弧线，由这些方法所表现的特性可知，系统(2)此时是处于混沌状态的.

3)选取参数c为控制参数时，固定另2个参数a和b的值，此时系统(2)随参数 c变化，x方向上的分支图(如图8).从图2中可以看到，参数c=0是系统(1)发生平衡点分支的临界参数值.当c＜0时，系统(1)没有平衡点;c=0时，系统(1)只有一个平衡点，即原点;当c＞0时，系统(1)有3个平衡点，它们的坐标分别为O，E1和E2，点H表示Hopf分支临界点.系统(1)固定(a=10，b=8/3)当参数c取值逐渐增大，经过相应的临界值时，发生Hopf分支，生成稳定极限环或原有的极限环消失.参数取值与推论的结论相符合，验证了理论分析的正确性.

3 结语

本文构造了一个三维连续类Lorenz混沌系统，通过利用非线性动力学的理论推导得到了系统平衡点稳定性及其动力学行为一些有趣的结果.选择不同的参数值，进一步通过相图、分支图、Lyapunov指数图、Poincare截面图研究了系统的混沌运动，得出该系统在不同参数下的丰富的动力学行为.

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