例谈转化的思想方法在一元二次方程中的应用

焦健

转化的思想方法是数学中解决问题的最基本的方法之一。解决一个问题，往往是由“未知”向“已知”转化，由“新知识”向“旧知识”转化，由“复杂”向“简单”轉化，由“生疏”向“熟悉”转化。有时把代数问题转化为几何问题解决，而有时把几何问题转化为代数问题求解，它是解决新问题，获得新知识的重要思想方法。初中的数学知识系统处处蕴含着转化的思想方法，通过化未知为已知，化一般为特殊，化难为易，化繁为简，使问题得到解决。

下面我通过一道题及其变式加以说明。

母题：如图，在一块长为22m，宽为17m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300㎡，若设道路宽为X cm，则根据题意可列出方程为。

分析：若直接求草坪面积，即四个小矩形面积之和，每个小矩形的长和宽都不容易表示出来，若将两条道路分别向下和向右平移，图形转化为图（2），草坪面积由四个小矩形转化为一个矩形，且这矩形的长和宽都容易表示出来，长：（22-x）m，宽：（17-x）m，易列出方程（22-x）（17-x）=300。

变式1：将母题中的道路改为图（3）所示的道路。

分析：由于道路的宽度不变，将水平的道路向下平移，竖直的道路向右平移，图形仍转化为图（2），所列方程仍为：（22-x）（17-x）=300。

变式2：将母题中的道路改为不与矩形平行。

分析：此时道路变为平行四边形，其中一条道路的面积为22x与图（2）中水平的道路（矩形）的面积相等。所以仍然可以转化为图（2），所列方程仍为（22-x）（17-x）=300。

变式3：将母题中的道路改为曲线（小路宽不变）。

分析：我们设法“化曲为直，以直代曲”，将道路划分为一些一段，划分小段时，注意使每一小段上的曲线近似是“直”的，然后我们“积零为整”转化成图（4），图（4）再转化为图（2），所列方程仍为（22-x）（17-x）=300。

在数学教学过程中，有意识地潜移默化地渗透转化的数学思想方法，学生会在学习中学会“数学的思考”，以提高分析问题和解决问题的能力。