做“有思想、好思考、善思维”的数学课——“梯形的面积”教学与反思

□深圳市福田区福永街道桥头小学 张玉芳

做“有思想、好思考、善思维”的数学课
——“梯形的面积”教学与反思

□深圳市福田区福永街道桥头小学 张玉芳

数学课程标准（2011年）的总目标是：学生通过数学学习，获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。我们街道的数学教研员王会军老师提出，要努力做“有思想、好思考、善思维”的数学课。也就是说要让数学思想融入到教学设计和课堂教学中，渗透到学生的脑海中，让主动探索成为学生学习数学的习惯和方式，让思维的火花在学生的思考中、交流中灵动。

本学期，我在校内上了一节研讨课——五年级上册的“梯形的面积”。反思设计教学方案时的点滴想法、教学过程中学生的种种表现，对如何做一节“三思”的数学课终于略有所悟。

【案例】梯形的面积。在学习“梯形的面积”一课之前，学生已经掌握了长方形、正方形、平行四边形和三角形面积的计算。在探索平行四边形面积计算公式时，学生经历了数方格、把平行四边形切拼成等面积的长方形或正方形；在探索三角形面积的计算公式时，学生经历了用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形、长方形或者正方形，经历了把三角形剪拼成平行四边形的过程。也就是说，通过平行四边形和三角形面积的学习，学生已经积累了将“新图形”转化成“旧图形”，沟通两者之间联系再求面积的经验，“转化”的思想方法在学生脑海中已有积淀。在教材编排上，“梯形的面积”一课没有安排数方格的方法，而是直接给出一个梯形，意在引导学生主动操作，转化成已学过的图形。

环节一：唤醒思想，方法诱导。

（课件出示：小数乘法的转化过程，三角形面积的转化过程）

师：静静地看一看，你看懂了什么？

生1：1.2扩大10倍就是12，0.8扩大10倍就是8。积就是要扩大100倍。

生2：两个相同的三角形面积等于一个平行四边形的面积。

师：我们仔细观察这两道题，在研究小数乘小数和三角形的面积的过程中，有什么相似的地方吗？

生3：把小数乘小数转化成整数乘整数会更简单，求三角形的面积时可以转化成平行四边形的面积。

师：刚才的同学说到的一个词很重要——转化。当我们要研究没有学过的知识的时候，常常把它转化成已经学过的知识。转化是一种非常重要的数学思想方法，在我们研究数学时会经常用到它。（板书：转化）

环节二：充分活动，积累经验。

师：今天我们要研究梯形的面积，也是没有学过的。你打算怎么办？

生1：我打算把两个完全一样的梯形拼接成一个平行四边形。

师：也就是说，把求梯形的面积转化成求平行四边形的面积。

生2：我打算把它分割成两个三角形，求出一个三角形的面积再乘2就可以了。

生3：我打算把梯形分割成一个平行四边形和一个三角形。

师：每个同学都想一想，你打算把梯形转化成我们学过的哪些图形。想好之后可以动手做一做，同桌两人为一小组合作。张老师给每一小组准备了一把剪刀、三个梯形。你们可以用其中一个，也可以用两个，甚至三个。转化之后，说一说，转化后的图形的和原来的梯形有什么联系。（每小组有三个完全一样的一般梯形）

（生小组合作……拼、剪、折、移……方法在学生的操作中发现，思想在交流中碰撞，自信在尝试中树立）

师：刚才张老师在观察同学们转化的过程。我很欣慰。因为你们想到的办法太多了，有很多想法张老师也没有想到。谁来跟大家分享分享？

生1：我先量出它的高是9厘米，找出一半也就是4.5厘米，剪下来，旋转上面的小梯形，就可拼成一个平行四边形。梯形的上底和下底加起来是平行四边形的底，梯形的高的一半是梯形的高，它们的面积是一样的。

生2：我把梯形剪成了一个三角形和一个平行四边形。我求出三角形和平行四边形的面积，加起来就是梯形的面积。平行四边形的底就是梯形的上底，高就是梯形的高；三角形的底是下底减上底的差，高就是梯形的高。

生3：我把梯形剪成了直角梯形，然后拼成了一个长方形，用长方形的面积除以2就是梯形的面积。

师：你这个方法用来求直角梯形的面积倒是挺好的。直角梯形的面积和原来的梯形面积一样吗？

生3：不一样，少了两个小三角形。

师：如果把两个小三角形补上会拼成什么图形呢？

生3：我试试看。（学生在长方形的宽边那里补上两个小三角形）我发现了，可以拼成一个平行四边形。平行四边形的底等于梯形的上底加下底的和，高就是一样的，平行四边形的面积除以2就是原来梯形的面积。

师：恭喜你，你在不断的尝试和调整中找到了正确的方法，你的探索非常有价值。

（我观察到：学生想到的其余方法都是多次分割，有的甚至是不恰当的分割，不利于探索梯形的面积公式形成过程）

师：给我一个机会好吗？我还有两种方法想向同学们汇报，你们来看看行不行？

师：我先找到右边这条腰的中点，左上角的顶点，连接起来，剪刀一挥，剪下一个（学生喊：钝角三角形）；我旋转这个三角形，和剩下的图形就拼成了一个大的三角形。孩子们，你能看出三角形和原来梯形的联系吗？

师：刚才同学们想到很多方法，都可以把梯形转化成已经学过的其他图形。这节课我们重点研究以下三种方法。（课件出示）你会计算转化的图形面积吗？

生1：我算第一种，用上底加下底的和乘高就求出了平行四边形的面积，再除以2就求出了梯形的面积。

师：说说算式。

生2：我算第二种，三角形的面积用梯形的上底加下底的和乘高除以2就可以了，它也是梯形的面积，不过也要先测量出上底、下底和高。

生3：我算第三种。平行四边形的面积用梯形的上底加下底的和乘高除以2的商，不过也要先测量出上底、下底和高。

师：能想到用测量的方法是不错的，不过张老师今天不要你测量，我要把原来梯形的所有数据都告诉你们，请你们选择需要的数据来计算行吗？

生：第一个图：（4+10）×8=112（平方厘米）；第二个图：（4+10）×8÷2=56（平方厘米）；第三个图：（4+10）×（8÷2）=56（平方厘米）。

师：那原梯形的面积是多少呢？

生：56平方厘米。

师：通过刚才的转化和计算，你们觉得梯形面积的一般计算公式是什么呢？和你的同桌交流交流。

生：我们认为梯形面积=（上底+下底）×高÷2。

师：如果用字母S表示梯形的面积，a表示上底，b表示下底，h表示高，梯形面积的字母公式是什么呢？

生：S=（a+b）h÷2

环节三：分层练习，巩固运用。

我设计了如下练习三个层次的练习：

1.怎么求下列梯形的面积？（单位：厘米）厘米，求梯形的面积。

2.一个堤坝的横截面是一个梯形，你能求出它的面积吗？

3.已知一个等腰梯形的上、下底的和是10厘米，高是6厘米

学生求出梯形的面积等于30平方厘米后，再提出问题，这个梯形的上底和下底可以分别是多少呢？课件展示，往左画最终会变成什么图？往右画最终会变什么图形？学生在图形的变化中体会极限思想。

课虽尽，意未尽，品其中成败得失，在构建“三思”的数学课堂中我做了如下的努力——

1.教师要善思善问。学源于思，教也源于思。在设计本节课时，我着重思考以下几个问题：学生在建构梯形面积的计算公式过程中要经历哪些思维过程？设计怎样的学习活动才能让学生真正经历数学探索的过程？学生在研究过程中要体会和运用哪些数学思想方法？

2.在最近发展区内“摘果子”。苏联心理学家维果茨基的“最近发展区”理论给我们这样的启示：教师要考虑学生科学概念形成的特点，为学生“摘果子”搭好脚手架。本节课我没有在开始就给学生梯形的上底、下底、高的数据，让学生来转化，同时算出面积，归纳出计算过程，而是分解成了三个思维层次。第一层：只把梯形转化成已学过的图形，因为没有数据的困扰，学生的思维就没有受到束缚，得以尽情发挥。学困生也能在操作中有所发现，在交流中对转化这一思想方法有较深的体会。第二层：先在没有给出数据的情境下说一说转化后的图形面积是如何计算的。学生可以更多地从方法上考虑如何解决问题，而不会盲目地用数据，然后再给出梯形的所有数据，学生根据需要选择必要的数据计算转化后图形的面积；因为学生要选择，思考必将更加深入。第三层：怎样计算原梯形的面积？讨论梯形的面积计算公式。有了转化的经历，有了计算的过程，学生的讨论便是有理有据，头脑里建立的梯形面积公式便有血有肉，形象而且深刻。

3.在游泳中学会游泳。在梯形面积计算方法的探索中，学生经历了想、剪、折、拼、算等过程，激起了探索知识的积极情绪，克服了尝试过程中的种种思维障碍，知难而勇进。脑、口、手并用，积累了丰富的操作活动经验，看着满黑板都是自己的研究成果，孩子们兴奋不已。智慧的学习是鲜活的，有生成、有碰撞才会有智慧的火光；智慧的学习是充分的交流、深刻的共同合作。本节课，学生操作与探索的过程都是在小组的合作中完成，思维的火花在交流中碰撞。孩子们在“泳池”中尽情戏水，学会“游泳”。

4.民主、平等、和谐的氛围是敢思敢想的保证。智慧的学习是自然的、民主的和平等的，智慧的学习是畅所欲言、充分交流、才华展示的。创设民主、平等、和谐的学习、研究氛围，用你亲切的眼神和孩子交流，用坦诚的语言和孩子沟通，用信任的态度等待孩子的发现，有时还要用请教的姿态询问孩子。让童言无忌，让孩子们有充分表达的机会，哪怕说得不够完整，说得不够严谨。让学生在尝试和操作中亲自发现错误，改正错误。

“三思”课堂，需要教师敢思、善思、有思，学生敢思、善思、有思。