把关预设新定义，“距离”考题频登场——从2015年北京市西城区中考模考试题说起

☉江苏省如皋市第二中学　贾　

把关预设新定义，“距离”考题频登场
——从2015年北京市西城区中考模考试题说起

☉江苏省如皋市第二中学贾

近读《中学数学》，闫守范老师在文1中讲解了北京市一道新定义考题，受到启发，笔者也关注了近期北京市各区相关年级的测试题，发现以“距离”为新定义背景命制整卷把关题的地区不在少数，本文列举几例，并思辨相关的命题导向与教学导向，与同行研讨.

一、由北京市西城区中考一模把关题说起

例1（2015年北京市西城区初三一模试卷，第29题）给出如下规定：两个图形G1和G2，点P为G1上任一点，点Q为G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离.

在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点.

（1）点A的坐标为（1，0），则点B（2，3）和射线OA之间的距离为________，点C（-2，3）和射线OA之间的距离为________.

，那么k=__________.（可在图1中进行研究）

①请在图2中画出图形M，并描述图形M的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）

②将射线OE、OF组成的图形记为图形W，抛物线y= x2-2与图形M的公共部分记为图形N，请直接写出图形W和图形N之间的距离.

图1

图2

（2）需要先分析双曲线位于哪两个象限，经确认只能是第二、四象限，此时距离原点最近距离为，说明该点是（-1，1），即k=1.

（3）①如图3，过点O分别作射线OE、OF的垂线OG、OH，则图形M为：y轴正半轴、∠GOH的边及其内部的所有点（图中的阴影部分）.

下方重叠的部分（含边界）.

图3

②首先要辨明图形W、N分别是什么图形？根据定义“射线OE、OF组成的图形记为图形W”，不难发现，所谓图形W是有公共端点的两条射线；而图形N是由抛物线y=x2-2被图形M框住的一段抛物线，所以需要求出抛物线y=x2-2与图形M中两条射线OG、OH的交点（如图4中的点J、K），于是先联立射线OH的解析式与抛物线的解析式，得解得（正值舍去）即K点坐标是），根据对称性可得J点坐标为

图4

说明：如果对“直观发现点K或J到原点距离最小”不满意的话，还可从“数”的角度精准描述，即抛物线上任意一点（x，x2-2）到原点（0，0）的距离是，由于x2不能取得不能取得此时距离是，

二、北京市各区与“距离”相关的新定义题检索

在讲解例1的思路之后，我们还检索了北京市各区的考卷，又发现两例是与“距离”相关的把关题，不妨链接如下（限于篇幅，解答留给读者完成）.

例2（2014～2015学年北京市人大附中九下4月月考卷，把关题）对于两个已知图形G1、G2，在G1上任取一点P，在G2上任取一点Q，当线段PQ的长度最小时，我们称这个最小的长度为图形G1、G2的“密距”；当线段PQ的长度最大值时，我们称这个最大的长度为图形G1、G2的“疏距”.

请你在学习、理解上述定义的基础上，解决下面的问题：

如图5，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（-3，4），点B的坐标为（3，4），矩形ABCD的对称中心为点O.

（1）线段AD和BC的“密距”是________；“疏距”是________.

图5

（3）平面直角坐标系xOy中有一个四边形KLMN，将矩形ABCD绕点O旋转一周，在旋转过程中，它与四边形KLMN的“疏距”的最大值为7.

①旋转过程中，它与四边形KLMN的“密距”的取值范围是________；

②求四边形KLMN的面积的最大值.

说明：读者贯通思路后也可参考相关该题的解析，详见博文http：//blog.sina.com.cn/s/blog_445edb 810102 vqqu.html.

例3（北京市三帆中学2013～2014学年度第二学期七年级期中试卷，第26题）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“识别距离”，给出如下定义：若|x1-x2|≥|y1-y2|，则点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“识别距离”为|x1-x2|；若|x1-x2|＜|y1-y2|，则点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“识别距离”为|y1-y2|.

（1）已知点A（-1，0），B为y轴上的动点.

①若点A与B的“识别距离”为2，写出满足条件的B点的坐标：_____________.

②直接写出点A与点B的“识别距离”的最小值_____________.

说明：这道考题改编自2012年北京市中考卷第25题，命题者通过精心改编，使得七年级学生也可挑战这道新定义考题，相关解析也可参考博文http：//blog.sina. com.cn/s/blog_d17e61970102vtdc.html.

三、关于新定义“距离”考题的命题导向与思考

上面我们从一道“距离”的新定义考题出发，检索了北京市相关考题，以下再围绕这种类型考题的命题导向阐释一些个性化的思考.

1.解题教学要重视“回到概念去解题”

李邦河院士说过“数学，根本上是玩概念的”.像本文列举的新定义考题一定意义上也是在倡导“玩概念”，对于引导重视概念教学无疑是十分有利的，特别是解题教学中引导“学生回到概念去解题”，而不是对题型、想技巧.根据我们的解题教学经验，不少学生对这类新定义的阅读理解问题出现解题障碍时，常常可以通过追问发现，他们其实没有真正读懂或理解新定义、新约定，而是直接求解问题.比如，笔者曾安排学生练习例1的最后一问，不少学生出现错误后，追问原因，原来把图形N就没有读懂，还有一些学生把一维图形（一段抛物线）误认为是二维图形（抛物线与两条射线OG、OH围成的区域）.

2.新定义考题何以风行北京市各区（校）

有命题兴趣的同行常常喜欢关注北京市各区考题，一方面，作为首都北京市的命题质量往往优于其他地区，另一方面，近几年来北京市各区的考题在把关题的位置上常常设计一道新定义考题.如果追问一下，为何新定义考题在北京市各区（校）如此风行？只要检索一下北京市近五年来的中考试题就不难发现原因了，因为北京市中考卷近年来的强势引领，全部用所谓的新定义考题作为全卷最后一题，这一方面是想引导广大备考师生远离题海，年年出新题，另一方面也是想通过命题创新倡导学生的创新精神，培养探索未知的能力.然而，就北京市各区（校）从七年级开始就常常用新定义考题来设计把关题的现实来看，这又容易让我们这些局外人想起：这是否又是一种新的应试风潮？或者说，由于大型考试在固定位置上的八股化命题风格，一定意义上又影响和带动了所在地区的跟风呢？

1.闫守范.新定义题破题策略与命题商榷——以北京市海淀区初三第一学期测试卷第25题为例［J］.中学数学（下），2015（3）.

2.夏盛亮.引导回归教材，倡导开放取向——一次县级期末卷的命题取向分析［J］.中学数学（下），2014（1）.

3.郑毓信.开放题与开放式教学［J］.中学数学教学参考，2001（3）.