量子系综对的量子关联性

岑学琴，曹怀信

（陕西师范大学 数学与信息科学学院，陕西 西安710119）

量子信息学是量子力学、计算机科学与信息科学相结合的产物，是以量子力学的态叠加原理为基础，研究信息处理的一门新兴前沿科学与交叉学科领域，涉及物理、计算机、通信、数学等多个学科［1］。量子态的关联性是量子力学区别于经典力学的一个本质特征，在量子计算、量子通信和量子编码等方面起着关键作用。

关于量子关联的度量，Ollivier和Zurek在文献［2］中利用局部测量得到的最大信息来量化量子关联，进而提出量子纠缠（Quantum Discord，QD）这一重要概念。此后，研究者一方面在努力寻找计算QD的简单手段或近似方法，另一方面又在寻找其他的度量函数来量化量子关联。骆顺龙在文献［3］中，基于不被某个局部von Neumann测量扰动的思想，提出了两体系统中量子关联与经典关联的分类与量化公式，并应用到Werner态以及Isotropic态，优化了文献［2］中给出的量子计算模型，但也需要取遍所有的经典关联态才能得到。之后，他们又得到了纯态的一个关联度量函数［4］。吴玉椿、郭光灿通过谱算子得到经典关联态的新刻画，并用算子的极大范数来给出关联度量公式［5］。郭志华等利用算子的分块矩阵表示形式及相关算子的交换性与正规性，建立了经典关联（CC）、左经典关联（LCC）与右经典关联（RCC）的充分必要条件，揭示了这些量子态集合的代数、拓扑与几何性质，得到CC态的凸组合仍为CC态的充分必要条件，并提出一个新的CC度量函数［6］。量子关联的其他相关研究参见文献［7－10］。

量子态的相对熵通常被用来衡量两个量子态之间的差异程度，是描述与研究量子纠缠和量子关联的重要工具［11－17］。

量子力学的特征之一是量子系统状态的不确定性。通常，通过量子测量只能知道量子系统的状态ρ以一定的概率pi处于某个状态ρi。于是，得到一系列的量子态ρ1，ρ2，…，ρn以及它们出现的相应概率p1，p2，…，pn。进而得到一个“量子系综”ε＝ ｛p1，ρ1；p2，ρ2；…；pn，ρn｝，记为ε＝因此，

对于一个量子系综，一般情况下不仅含有经典关联，而且含有量子关联［18－22］。骆顺龙在文献［20］中研究了量子系综的量子关联的度量问题。自然地，当对两个相关量子系统进行测量时，就会得到两个量子系综，即量子系综对。基于此，本文将研究两个量子系综所含的量子关联的度量问题。主要思想是：对于给定的两个量子系综ε与η，构造一个四体量子态ρε，η，再通过这个四体态的关联性描述量子系综对｛ε，η｝的关联性。

1 预备知识

设H1，H2，…，Hn表示n个量子系统（Hilbert空间），di＝dimHi＜∞，H==dH1⊗H2⊗…⊗Hn表示由这n个量子系统复合而成的量子系统。用D（H）表示H上的所有密度算子之集（即迹为1的正算子之集），其元素称为H的混合态。用IH表示H上的恒等算子，ONB（H）表示H的正规正交基之集。

定义1［1］设ρ，σ∈D（H），则ρ相对于σ的量子相对熵定义为D（ρ｜σ）＝tr（ρlogρ－ρlogσ），其中log表示以2为底的对数。

定义2［1］设为量子系统Hi的一秩正交投影族，满足，则为Hi上的一个von Neumann测量。

定义3 设∏∶＝ ｛∏1，∏2，…，∏n｝是量子系统H的一个量子测量，则若∏具有以下形式：

量子态ρ∈D（H）在经过局部正交投影测量之后变为

定义4 设ρ∈D（H），若存在量子系统H的一个局部正交投影测量∏使得∏（ρ）＝ρ，则称ρ是经典关联的；否则，称ρ为量子关联的。

注1 由于∏（∏（ρ））＝∏（ρ），所以∏（ρ）始终为经典关联态。

命题1 设ρ∈D（H），则ρ为经典关联态当且仅当ρ可以表示为

其中｛｜ij〉｝∈ONB（Hi）且｛λi1，i2，…，in｝是概率分布。

证明 必要性。设ρ是经典关联态，则一定存在局部正交投影测量∏ 使∏（ρ）＝ρ。因此，存在｛｜ij〉｝∈ONB（Hj），使 ∀1≤ij≤dj，有｜ij〉〈ij｜。对于任意的正规正交基｛｜ij〉∶1≤ij≤dj｝∈ONB（Hj），n体量子态ρ∈D（H）都可以表示为

因此，

其中λi1，i2，…，in＝ 〈i1｜〈i2｜…〈in｜ρ｜i1〉｜i2〉…｜in〉，由此可得｛λi1，i2，…，in｝为一概率分布。

通常，一个量子态可以是经典关联的，也可以是量子关联的。然而，量子态经过任何一个局部正交投影测量∏之后得到的量子态∏（ρ）始终为一个经典关联态。于是，可以用量子失协QD（ρ）来衡量一个量子态所包含的量子关联多少，其中这里，M表示H的所有局部正交投影测量之集。

命题2 设ρ∈D（H），则

证明 设∏∈M，则存在｛｜ij〉∶1≤ij≤dj｝∈ONB（Hj）使得

从而，

其中λi1，i2，…，in＝ 〈i1｜〈i2｜…〈in｜ρ｜i1〉｜i2〉…｜in〉。那么，

计算可得

所以

证毕。

2 量子系综对的量子关联性

前文已给出计算一个量子态所含的量子关联的方法，下面将用这一方法来研究量子系综对的量子关联性。

因而，可以通过计算ρε，η所含的量子关联来获得量子系综对｛ε，η｝所含的量子关联信息。为此，定义ΩD（ε，η）＝QD（ρε，η），称其为量子系综对｛ε，η｝的量子失协。易证ΩD（ε，η）的大小与基｛｜i〉｝的选取无关。根据定理2可知

其中M表示四体系统HAABC的所有LPM之集。

设｛∏Bk｝为HB的一个von Neumann测量，｛∏Cl｝为HC的一个von Neumann测量，则得到HAABC的一个von Neumann测量

所有这样的测量之集记为M0。于是，可以得到一个经典关联态

根据联合熵定理，得

两式相减，得

由此，可以证明下面的定理。

证明 由前面讨论可知，

取定HB上的一组正规正交基｛｜ek〉｝，对于HB上的任一一秩投影测量PB＝｛PBk｝，都存在一个酉矩阵U使得PBk＝U｜ek〉〈ek｜U＊，从而

其中，D是HB上酉算子全体组成的集合。因为映射

在D上是连续的，且von Neumann熵S（ρ）关于ρ也是连续的，所以复合函数

关于U在D上是连续的。由于集合D是算子代数B（HB）中的一个紧集，所以

同理可得，

因此，

则该下确界可以取到，也就是最小值。从而，

证毕。

推论4 命题3中的结论可以简化为

下面得到ΩD（ε，η）的一些性质。首先，回顾一个概念。

定义5［18］称系综ε＝ ｛pi，ρj｝为一个经典系综，若系综中的量子态ρi彼此交换。

定理1 对于任意的酉算子U∈B（HB），U1∈B（HC），有

（1）ΩD（ε，η）＝ΩD（UεU＊，U1ηU＊1）；

（2）ΩD（ε，η）＝ΩD（UεU＊，η）；

（3）ΩD（ε，η）＝ΩD（ε，U1ηU＊1），其中UεU＊＝｛pi，UρiU＊｝，U1ηU＊1＝｛qj，U1τjU＊1｝。

证明 根据命题3可得

并且，

又因为S（ρi）＝S（UρiU＊），所以

同理可得，

因此，ΩD（ε，η）＝ΩD（UεU＊，U1ηU＊1）。

（2）和（3）的证明类似，证毕。

定理2 以下叙述是等价的：

（1）ΩD（ε，η）＝0；

（2）ρε，η为经典关联态；

（3）系综ε，系综η均为经典系综。

证明 由命题3可知

（1）⇔（2）：设（1）成立，即ΩD（ε，η）＝0。由命题3知，存在

（2）⇒（3）：设（2）成立，则ρε，η为经典关联态。从而，为两体系统（HA⊗HA）⊗（HB⊗HC）的经典关联态。于是，根据文献［18］知量子系综｛piqj，ρi⊗τj｝为经典系综，即｛ρi⊗τj｝为交换算子组，即

（ρi⊗τj）（ρk⊗τl）（ρi⊗τj）。

从而，（ρiρk）⊗ （τjτl）＝ （ρkρi）⊗ （τlτj）。

特别地，（ρiρk）⊗ （τj）2＝ （ρkρi）⊗ （τj）2。所以，ρiρk＝ρkρi对所有i，k成立。因此，系综ε为经典系综。

同理，η也为经典系综。

（3）⇒（2）：设（3）成立，即系综ε和系综η均为经典系综。从而，算子组｛ρi｝可以同时对角化，即存在HB的正规正交基｛｜ek〉｝使得

其中cik≥0，∑kcik＝1。类似地，存在HC的正规正交基｛｜fk〉｝使得

其中djl≥0，∑ldjl＝1。从而，

根据命题1可知ρε，η为经典关联态。证毕。

3 结论

本文研究了量子系综对｛ε，η｝的量子关联性。首先，构造了一个四体量子态ρε，η，利用量子相对熵，定义了反映“量子系综对”所含量子关联的度量函数ΩD（ε，η），揭示了这个度量函数的一些性质。特别地，证明了ρε，η是经典关联态当且仅当ΩD（ε，η）＝0当且仅当ε与η都是经典系综。

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