多值线性算子的正则Fredholm对的子空间序列

范亚静，蹇人宜

（1北方民族大学 数学与信息科学学院，宁夏 银川750021；2陕西师范大学 数学与信息科学学院，陕西 西安710119）

多值线性算子 （又称线性关系）是线性算子概念的自然推广。最重要且最简单的例子是从线性空间X到线性空间Y的线性算子T的逆象，即解的集合T－1y：＝｛x∈X：Tx＝y｝，∀y∈Y。多值线性算子的概念产生于20世纪50年代von Neumann关于非稠定线性微分算子的共轭算子的研究［1］。此后，最优化与控制论的研究引出了对多值线性算子的研究［2－3］。多值线性算子的理论和方法也用来处理偏微分方程［4］和常微分方程［5］的某些问题。线性算子的Fredholm理论在应用数学中是一个十分有用的工具。Cross将经典的Fredholm理论移植到线性关系中，获得了一系列十分有价值的结果［7－11］。Alvarez在文献［12］中还考虑了赋范空间中的几乎半－Fredholm线性关系。与此同时，Fredholm算子及指标的概念也以多种不同的方式，向多个算子方向发展。Banach空间的Fredholm复形、Fredholm算子对及相应指标的稳定性已有许多研究。此外，Boasso在文献［13］中讨论了正则的Fredholm对及其分类。本文将单值线性算子的正则Fredholm对的研究思想推广到多值线性算子的范畴中，引入了Banach空间X、Y上的多值线性算子S、T构成的正则Fredholm对的概念及其相应的子空间序列（RS，n）n∈N、（RT，n）n∈N、（RS，n）n∈N＋和（RT，n）n∈N＋并给出其性质。

1 基本概念与记号

定义1［6］设U、V…是任意非空集合，关系T是从U到V的映射，其定义域是U的子集D（T），且取值于2V＼∅。从U到V的全体关系记为R（U，V）。

定义2［6］设X、Y是数域K＝R或C上的向量空间，关系T∈R（X，Y）称为线性关系（或多值线性算子），是指对于所有的x、z∈D（T）以及非零系数α∈K，有

（1）Tx＋Tz＝T（x＋z）；

（2）αTx＝T（αx）。

定义3［6］记LR（X，Y）为从线性空间X到线性空间Y所有线性关系构成的集合。T（X）＝T（D（T））称为T的值域｛x∈D（T）：0∈Tx｝称为T的核x∈X，y∈Tx｝称为T的图像。

定义4［6］设X、Y为Banach空间，若G（T）为X×Y中的闭集，则称T为闭关系。

设X、Y为Banach空间，用记号BR（X，Y）表示X到Y的有界线性关系构成的集合。这意味着‖T‖==d‖QT‖＜∞，其中Q＝QT是以X为定义域，以为零空间的自然商映射。

定义5［6］S∈BR（X，Y）叫作Fredholm关系，是指S是闭的，且满足下列三个条件：

（Ⅰ）R（S）闭；

（Ⅱ）dim N（S）＜∞；

（Ⅲ）codimR（S）＜∞。

记F＝F（X，Y）表示所有LR（X，Y）上的Fredholm关系构成的集合。

定义6［14］设S∈BR（X，Y），T∈BR（Y，X），且S、T是闭的，使得

是有限的，则（S，T）称为多值线性算子的Fredholm对，记为（S，T）∈PR（X，Y）。

若T∈LR（X，Y）称为正则的，是指T是闭的，且存在闭的T′∈LR（Y，X），使得T＝TT′T。又若（S，T）∈PR（X，Y），且S、T均是正则的，则称（S，T）是正则Fredholm对，记为（S，T）∈RPR（X，Y）。

命题1 如果（S，T）∈RPR（X，Y），那么下述论断等价：

（Ⅰ）R（T）是X的可补子空间；

（Ⅱ）N（S）是X的可补子空间；

（Ⅲ）N（S）＋R（T）是X的可补子空间；

（Ⅳ）N（S）∩R（T）是X的可补子空间；

（Ⅴ）R（S）是Y的可补子空间；

（Ⅵ）N（T）是Y的可补子空间；

（Ⅶ）N（T）＋R（S）是Y的可补子空间；

（Ⅷ）N（T）∩R（S）是Y的可补子空间。

本文延续文献［14］的内容，进一步讨论多值线性算子的正则Fredholm对的子空间序列（RS，n）n∈N、（RT，n）n∈N、（RS，n）n∈N＋和（RT，n）n∈N＋的一些性质。通过分析可知，其均为递减的，从而有类似于文献［13］的分解。

2 子空间序列（RS，n）n∈N、（RT，n）n∈N

定义7 设X、Y是两个Banach空间，（S，T）∈RPR（X，Y），子空间序列（RS，n）n∈N和（RT，n）n∈N分别递归地定义为RS，0＝Y，RT，0＝X，若RS，n、RT，n已定义，则RS，n＋1==dS（RT，n），RT，n＋1==dT（RS，n），这里N是包括0的自然数集。

命题2 （RS，n）n∈N、（RT，n）n∈N分别是Y、X的递减序列。若S（0）、T（0）是有限维的，则RS，n、RT，n是Y和X的有限维子空间，∀n≥2。

证明 RS，1＝S（RT，0）＝S（X）＝R（S）⊆Y＝RS，0；RT，1＝T（RS，0）＝T（Y）＝R（T）⊆X＝RT，0。

假定RS，n⊆RS，n－1，RT，n⊆RT，n－1对于n≥1成立，则

RS，n＋1＝S（RT，n）⊆S（RT，n－1）＝RS，n；

RT，n＋1＝T（RS，n）⊆T（RS，n－1）＝RT，n。又因为

RS，2＝R（ST）≅R（T）／（N（S）∩R（T））S（0），所以RS，2是有限维的。由于RS，n⊆RS，2，因此RS，n（n≥2）是有限维的。

同理，RT，n（n≥2）也是有限维的。

命题3 设X、Y是Banach空间，设（S，T）∈RPR（X，Y），则对任何给定的n∈N＋（这里N＋表示正整数集），分别有X的子空间Nn、Xn2，Y的子空间Mn、Yn2，使得

（Ⅰ）RS，n＝Mn⊕Yn2，RT，n＝Nn⊕Xn2；

（Ⅱ）Mn＝RS，n∩N（T），Nn＝RT，n∩N（S）；

（Ⅲ）Yn2＝RS，n∩Yk2，Xn2＝RT，n∩Xk2，k＝1，2，…，n－1；

（Ⅳ）（Mn）n∈N＋和（Nn）n∈N＋分别是包含于N（T）和N（S）的子空间下降序列，若S（0）、T（0）是有限维的，则（Mn）n∈N＋、（Nn）n∈N＋是有限维子空间序列；

（Ⅴ）（Yn2）n∈N＋、（Xn2）n∈N＋分别是Y2、X2的子空间下降序列，若S（0）、T（0）是有限维的，则（Yn2）n∈N＋、（Xn2）n∈N＋是有限维子空间序列；

证明 定义M1==dN（T）∩R（S），X12==dX2，N1==dN（S）∩R（T），Y12==dY2。按照文献［14］注2．8的（Ⅱ）和（Ⅲ），得到命题3的（Ⅰ）和（Ⅱ）。

假设命题对于n≥1时成立，则由（Ⅵ）有，S（或T）可诱导出拟同构RT，n＋1），那么PSS：⊖S（0）（或PTT：T（0））是同构算子。

由文献［14］注2．17知，T、S可分别诱导出拟同构

故分别有Y和X的子空间V和W，使得

选择V⊆Yn2，W⊆Xn2，并定义

因此｛Yn2｝n∈N、｛Xn2｝n∈N分别是包含在Y2、X2中的下降序列。（Ⅴ）成立。（Ⅵ）、（Ⅱ）是显然的。又

RS，n＋1＝Mn＋1⊕Yn＋12，RT，n＋1＝Nn＋1⊕Xn＋12，即（Ⅰ）成立。

由定义有

另一方面，∀a∈RS，n＋1∩Y2，因为RS，n＋1＝（N（T）∩RS，n＋1）⊕Yn＋12，所以存在唯一的m∈N（T）∩RS，n＋1，y∈Yn＋12，使得a＝m＋y，从而m∈N（T），y∈Yn＋12⊂Y2。又由a－y∈Y2，即m∈Y2，可知m∈N（T）∩Y2，则m＝0。因此a＝y∈Yn＋12。这样便得到Yn＋12⊆RS，n＋1∩Y2⊂Yn＋12。故Yn＋12＝RS，n＋1∩Yk2＝RS，n＋1∩Y2（k＝1，2，…，n）。

同理，Xn＋12＝RT，n＋1∩Xk2＝RT，n＋1∩X2（k＝1，2，…，n）。于是，Yn2＝RS，n∩Yk2，Xn2＝RT，n∩Xk2（k＝1，2，…，n－1）。

由S（0）、T（0）是有限维的，以及命题2知，RS，n、RT，n是有限维的，因此（Yn2）n∈N＋、（Xn2）n∈N＋也是有限维序列。即（Ⅲ）成立。

由（Ⅲ）知，Yn＋12＝RS，n＋1∩Y2，Yn2＝RS，n∩Y2，Yn＋12⊂Yn2，因此RS，n＋1⊂RS，n，故

Mn＋1＝N（T）∩RS，n＋1⊂N（T）∩RS，n＝Mn。于是，｛Mn｝n∈N＋是包含于N（T）的下降序列。

同理，｛Nn｝n∈N＋是包含于N（S）的下降序列。并且当S（0）、T（0）是有限维时，由命题2知，RT，n、RS，n是有限维的，于是，｛Mn｝n∈N和｛Nn｝n∈N＋是有限维的，故（Ⅳ）成立。

3 子空间序列（RS，n）n∈N＋、（RT，n）n∈N＋

定义8 设X、Y是两个Banach空间，且（S，T）∈RPR（X，Y），Y和X的子空间序列（RS，n）n∈N＋和（RT，n）n∈N＋分别定义为

RS，1＝R（S）＝S（X），RT，1＝R（T）＝T（Y），若RS，n、RT，n已经定义，则

这里，X、Y、S、T是文献［14］注2．17引入的子空间和线性关系。

显然，RS，n⊆RS，n，RT，n⊆RT，n，∀n∈N＋。

关于RS，n和RT，n有如下基本事实。

命题4 设X、Y是Banach空间，设（S，T）∈RPR（X，Y），S（0）、T（0）是有限维的，则有X的子空间的两个序列（Nn）n∈N、（Xn2）n∈N＋，Y的两个子空间序列（Mn）n∈N＋、（Yn2）n∈N＋，使得∀n∈N＋，有

（Ⅳ）T（或S）诱导出拟同构

（Ⅴ）RS，n＝RS，n＋1＋RS，n，RT，n＝RT，n＋1＝RT，n；

（Ⅵ）Mn＝Mn＋1＋Mn，Nn＝Nn＋1＋Nn；

（Ⅶ）Yn2＝Yn＋12＋Yn2，Xn2＝Xn＋12＋Xn2；

（Ⅷ）当n＝1时，分别有X的子空间XN、X2和Y的子空间YM、Y2，使得X2、Y2是有限维的，且X＝XN＋X2，Y＝YM＋Y2，并有拟同构

证明 ∀n∈N＋，考虑由T诱导的拟同构

因为RT，n＋1⊆RT，n＋1⊆RT，2＝R（TS），所以存在RS，n的一个有限维子空间Ln，使得

RS，n＝（N（T）∩RS，n）＋Ln。

另一方面，∀a∈RS，n∩Yn2，∃唯一的m∈N（T）∩RS，n，l∈Ln，使得a＝m＋l。由于a∈Yn2，l∈Ln⊆Yn2，故a－l∈Yn2，又a－l＝m∈N（T）∩RS，n，因此

又由命题3（Ⅲ）知，

这里，k＝1，2，…，n－1，因而a－l＝m＝0，故a＝l∈Ln。于是RS，n∩Yn2＝Ln。定义Mn＝RS，n∩N（T），Yn2＝Ln。显然，（Ⅰ）—（Ⅳ）关于S的结论成立。

同理可得，（Ⅰ）—（Ⅳ）关于T的结论也成立。

下证（Ⅴ）。首先由文献［14］注2．17知，

假设对于S、T当n≥1时结论成立，即有

RS，n＝RS，n＋1＋RS，n，RT，n＝RT，n＋1＋RT，n，那么由命题3（Ⅵ），并且

同理，RT，n＋1＝RT，n＋2＋RT，n＋1。所以（Ⅴ）对于一切n≥1都成立。

接下来证（Ⅵ）和（Ⅶ）。根据命题3（Ⅰ）及已证明的命题4（Ⅰ）和（Ⅴ）有

特别地，

同理可得，关于T的类似结论。

注1 设X、Y是Banach空间，设（S，T）∈RPR（X，Y），对于n∈N，根据文献［14］注2．17，有

X＝R（T）＋X1＋X，Y＝R（S）＋Y1＋Y。

又根据命题3、命题4，有

同理，

这里i＝1，2，…，n－1。

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