计及支座柔性的双拉杆起重臂平面外稳定性*

王腾飞 兰朋 陆念力

(哈尔滨工业大学 机电学院，黑龙江 哈尔滨150001)

大臂长、大起重量一直是起重机的发展趋势，为此常常通过拉杆或柔性绳索的牵引来提高臂架结构的刚度及稳定性，此时臂架变为弦梁混合结构，稳定性分析复杂.许多学者采用微分方程法、能量法及有限元法对张弦梁、桅杆及预应力撑柱等弦梁混合结构做了研究［1-7］，而针对大型起重机常采用的柔性绳索牵拉下的起重臂架的相关研究较少. 拉杆的牵引力导致起重臂在起升平面外失稳时同时承受轴向压力及侧向力，使之成为非保向力问题，从而大大增加了臂架稳定性分析的难度. 起重臂多为起升平面内交两端铰接、起升平面外悬臂结构，这种形式决定了起重臂失稳常先发生于起升平面外. 刘士明等［8］采用微分方程法对牵绳作用下的多节伸缩臂进行了平面外稳定性分析. 针对拉杆牵引下的塔机水平臂臂架，有些学者采用考虑轴力效应的转角位移法［9］进行研究，文献［10］则将等效弹性支座的概念引入微分方程中进行起重臂稳定分析，兰朋［11］进一步结合等效支座法采用计及二阶效应的精确有限元法对起重臂平面外稳定性做了研究，得出了有益的结论.但这些研究中均未考虑拉杆固支点的侧向柔性，且对于双拉杆起重臂，也未给出失稳特征方程的解析式.而工程实际中，拉杆常常固结在塔机塔帽或者人字架顶部，相比于起重臂，拉杆固支点侧向支撑刚度较弱，起重臂发生平面外失稳时，拉杆固支点会有一定的侧向位移.为此，有必要对计及拉杆固支点侧向柔性时起重臂的稳定性进行研究.

1 双拉杆起重臂力学分析模型

双拉杆牵引下的起重臂格构式模型及等效后的实腹式模型如图1 所示，记起重臂各段长度为li，各拉杆长度为Si，i =1，2. 其中，拉杆吊点及臂节铰接点与起重臂形心轴的偏心对臂架稳定性影响很小［12］，起重臂实腹式等效时直接将吊点及铰接点移至起重臂形心轴.起重臂的平面外稳定性为一类稳定问题，容易验证起升平面内的荷载仅影响臂架轴力及弯矩的分配，对平面外稳定性无影响［13］. 故后续推导中，可将起重臂自重忽略.

图1 双拉杆起重臂力学分析模型Fig.1 Analysis model of the crane jib with double rods

2 双拉杆起重臂平面外失稳特征方程

计及固支点侧向柔性，臂架发生平面外失稳时，拉杆固支点产生侧向位移δ0，此时起重臂平面外失稳形态如图2 所示. 其中，两拉杆吊点侧向位移为δi，非保向力拉杆拉力为Fi(i=1，2).

图2 计及固支点侧向柔性时起重臂失稳形态Fig.2 Buckling mode of crane jib considering the flexibility of the rod fixed joint

分别以吊臂根部铰接点及拉杆吊点为原点，以吊臂轴向为x 轴方向，建立吊臂段坐标系，如图3 所示.

图3 双拉杆起重臂平面外稳定性分析Fig.3 Out-of-plane stability analysis of the crane jib with double rods

记两拉杆在x 轴方向投影为ai，为后续推导统一，记拉杆固支点投影距吊臂根部铰接点水平距离为a0=l0，则拉杆力Fi的轴向分力Ni及侧向分力Fiy为

由于拉杆产生的侧向分力Fiy可用拉杆吊点及拉杆固支点处的侧向位移线性表示，故可将其视作弹性力，采用文献［10］提出的等效弹性支座法推导.记各吊点处等效侧向刚度为ki=Ni/ai，由式(1)可得

引入固支点侧向刚度k0表征塔帽对拉杆的侧向约束，则固支点受力平衡方程为

联立方程(2)与(3)，消去固支点侧向位移δ0，拉杆侧向力Fiy由拉杆吊点侧向位移δi线性表达如下:

设各段吊臂z 轴惯性矩为Ii，弹性模量为E，列写变形微分方程如下:

需要注意的是0≤xi≤li，将拉杆侧向力Fiy表达式(4)代入式(5)，化简后得

式中，Pi为两吊臂段的轴力，P1=N1+N2，P2=N2.为便于实际工程应用，引入无量纲固支点侧向刚度系数ξ，将固支点侧向刚度k0与吊臂段1 等长的悬臂梁端部侧向刚度关联，即记 中 间 量=Pi/(EIi)，则微分方程通解为

利用边界条件及变形协调方程可将挠曲方程中未知量Ai、Bi写为吊点位移δi的线性表达式，即［AiBi］T=Ri·［δ1δ2］T，其中Ri为转换矩阵.

引入无量纲量轴力系数εi=ωili，两吊臂段轴力则可表示为

当吊臂根部边界条件x1=0 时，y1=y′1=0，代入吊臂段1 挠曲方程，得到

吊臂段1 与吊臂段2 在吊点1 处变形协调，即x2=0，x1=l1时，y2=y1，y′2=y′1，代入吊臂段挠曲方程，得到

当边界条件x2=0 时，y2=δ1;当x2=l2时，y2=δ2.从而得到关于吊点位移δi的线性方程组K·δ =0，其中系数矩阵K 具体表达式如下:

若起重臂面外失稳形态存在，即拉杆吊点侧向位移δi存在非零解，则须有系数矩阵行列式det(K)=0，故起重臂平面外失稳特征方程det(K)=0. 记拉杆轴向分力比值=N1/N2，则失稳特征方程化简后表达如下:

式(12)即为计及固支点侧向柔性时双拉杆起重臂平面外失稳特征方程.该方程为关于轴力P1=N1+N2及P2=N2的超越方程，而特定幅度下拉杆力Fi及其轴向分力Ni是确定的，相应中间量ωi及εi也确定，失稳特征方程实质上为单变量方程，所有各个变量均与吊重Q 关联. 某特定幅度下，拉杆轴向分力比值=N1/N2已知，代入方程(12)即可求得各段起重臂对应的临界轴力从而确定吊臂系统临界吊重Qcr.为方便验证文中稳定解析求解方法，取无量纲量计算长度系数μ，记各段起重臂的计算长度系数为μi，即Pi，cr=2EIi/，则有μi=/εi.

3 起重臂平面外失稳特征方程的若干特殊状况讨论

3.1 固支点侧向完全嵌固时

当拉杆固支点侧向完全嵌固时，k0→∞，即ξ→∞，稳定判据方程(12)退化为

失稳特征方程退化为C1=0，即

式(14)即为拉杆固支点侧向完全嵌固时双拉杆起重臂平面外失稳特征方程，与文献［12］所得失稳特征方程一致.

3.2 固支点无侧向刚度时

当拉杆固支点无侧向刚度时，k0=0(即ξ =0)，臂架的稳定性分析模型如图4 所示，臂架平面外稳定退化为一端固支一端自由有中间压力作用的轴压柱稳定.

图4 固支点无侧向刚度时稳定性分析Fig.4 Stability analysis with zero lateral stiffness for the rod fixed joint

当固支点无侧向刚度时，拉杆侧向分力Fiy=0，此时拉杆相应的等效侧向刚度ki=0.由于计及固支点侧向柔性的失稳特征方程(即式(12))是在侧向刚度ki≠0 的基础上推导得出，故固支点无侧向刚度时的失稳特征方程不能从式(12)直接退化得出.此时，起重臂微分方程退化为

引入边界条件及变形协调后，相应的转换矩阵退化为

由吊臂段2 边界条件列写关于吊点侧向位移δi的线性方程组，得系数矩阵为

令系数矩阵行列式det(K)=0，得到固支点无侧向刚度时稳定判据方程退化如下:

式(18)与文献［14］结果一致.

3.3 单拉杆等截面起重臂

起重臂单拉杆牵引且等截面时，记I1=I2=I，不妨撤去拉杆1，则N1=0，ω1=ω2=ω，=N1/N2=0，P2=P.计及拉杆固支点侧向柔性时双拉杆起重臂平面外失稳特征方程式退化为

式(21)即为计及固支点侧向柔性时单拉杆起重臂面外失稳特征方程退化形式.值得注意的是，ξ*→∞(即固支点侧向完全嵌固)时，式(21)又可退化为不计固支点侧向柔性时荷重通过一定点轴压柱的稳定判据方程，与文献［15］结果一致.

4 固支点侧向刚度对起重臂稳定性的影响

取QTZ400 双拉杆塔式起重机水平起重臂进行分析，验算文中失稳特征方程(12). 将格构式起重臂等效为实腹式起重臂，双拉杆起重臂结构参数如图5 所示.

图5 双拉杆起重臂结构参数Fig.5 Structure parameters of the crane jib with double rods

起重臂拉杆布置尺寸为l1=24.2 m，l2=30.0 m，l3=19.8 m，拉杆固支点位置尺寸为l0=1.61 m，h =8.588 m，取起重臂等截面，参数为I = 7.408 ×10－3m4.将吊重放置在拉杆2 吊点处，求取各段吊臂失稳临界轴力对应计算长度系数μi.在ANSYS 内建模分析验证文中解析求解方法，其中起重臂采用BEAM44 梁单元，拉杆采用仅受拉的LINK10 杆单元建模，固支点侧向柔性采用COMBIN14 弹簧单元模拟.取不同拉杆固支点侧向弹簧刚度求取μi，文中解析法结果与ANSYS 数值结果对比如表1 所示.

表1 μ1，μ2 的文中解析结果与ANSYS 结果比较Table 1 Comparison between the analytical solution and the ANSYS solution of μ1，μ2

由表1 可知，文中结果与ANSYS 结果完全相同，失稳特征方程的正确性得到验证.随着固支点侧向刚度系数ξ 的增大，计算长度系数μi不断减小，趋近于固支点完全刚性时的长度系数.

由于两吊臂段轴力Pi间存在固定比例关系，两吊臂段计算长度系数μi等效且可相互转化，不妨取吊臂段1 失稳临界力探讨固支点侧向刚度对臂架稳定性的影响.记ξ =0 时，即拉杆固支点无侧向刚度时，吊臂段1 失稳临界力为Pcr0，此时吊臂在平面外退化为具有中间压力作用的悬臂轴压柱，由退化式(18)可得. 为显示柔性拉杆的牵引对臂架稳定性的影响，取固支点侧向刚度系数ξ=0 ～100，引入失稳临界力比值Pcr/Pcr0，绘制失稳临界力比值Pcr/Pcr0与侧向刚度系数ξ 的关系曲线，如图6 所示.

图6 失稳临界力比值与固支点侧向刚度系数关系Fig.6 Relation between critical load ratio and the lateral stiffness coefficient

由图6 可知，随着固支点侧向刚度系数ξ 的增大，失稳临界力Pcr不断增大. ξ 较小时失稳临界力Pcr增长较快.ξ 由0 增至20 时，起重臂的失稳临界力Pcr增大近2.5 倍，随后Pcr增长放缓，ξ ＞50 后失稳临界力此值Pcr/Pcr0趋于4. 由此可知，固支点侧向刚度较弱时，适度提高固支点侧向刚度可大大改善起重臂结构的稳定性.由图6 还可以看出，文中算例即使计及固支点侧向弹性，拉杆的牵引也将起重臂的稳定承载能力提高了2 倍多，固支点侧向完全刚性时，起重臂稳定承载能力提高了3 倍. 由此可见，柔性拉杆的牵引对臂架稳定性的改善效果明显.

5 结语

文中对计及拉杆固支点侧向柔性时双拉杆起重臂的平面外稳定性进行了研究.首先，建立了计及拉杆固支点侧向柔性的起重臂平面外稳定性分析模型，推导了起重臂的平面外失稳判据方程解析式，所得解析结果与有限元数值计算结果吻合.然后，给出了拉杆固支点侧向刚度两种极限情况下臂架失稳特征方程的退化形式，以及撤去一根拉杆后失稳判据方程由双拉杆起重臂向单拉杆起重臂的退化，表明了文中失稳特征方程的通用性.最后，研究了拉杆固支点侧向刚度对起重臂稳定性的影响，发现固支点侧向刚度较小时，适当增大固支点侧向刚度可大大改善起重臂的稳定性，固支点侧向刚度增大到一定程度后，其对起重臂稳定性影响趋于平稳.

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