低雷诺数流动问题的SPH数值模拟及与FPM方法的比较

周浩, 徐志宏, 唐玲艳, 冉宪文, 汤文辉



低雷诺数流动问题的SPH数值模拟及与FPM方法的比较

周浩, 徐志宏, 唐玲艳, 冉宪文, 汤文辉

(国防科学技术大学理学院, 湖南长沙, 410073)

采用SPH方法对低雷诺数流动问题进行了数值模拟, 讨论了初始光滑长度以及核函数影响域大小对结果的影响。典型Poiseuille流和Couette流的模拟结果表明, SPH方法能够很好地模拟低雷诺数流动。并比较了SPH方法和FPM方法的精度和计算效率。

光滑粒子法; 低雷诺数流动; 有限粒子法; 初始光滑长度

低雷诺数不可压缩流动现象中黏性力不可忽略, 有时甚至成为主要影响因素。这类现象的研究在环境工程、石油工业等领域具有重要应用前景[1]。采用网格方法(如有限元、有限差分和有限体积等方法)研究并模拟流动现象已解决了大量工程问题, 但是随着计算方法和并行算法的发展, 网格方法在模拟自由表面、流固耦合等问题中遇到困难, 一些新的物理现象(如表面张力)的模拟比较困难。而无网格方法由于摆脱了背景网格的限制, 在这些领域显示出广阔的应用前景, 被誉为新一代数值计算方法。

光滑粒子动力学(Smoothed Particle Hydrodynamics, SPH)[2-3]方法是一种纯拉格朗日型无网格方法。它使用粒子系统表征连续介质(流体或固体), 粒子不仅具有各种宏观物理量(如密度、压力、速度、内能等), 而且被当做插值点, 用于相关物理量及其空间导数的插值计算。SPH粒子与传统的基于网格的数值方法中网格节点的不同之处在于, SPH方法中粒子之间的联系是动态变化的。SPH方法保留了网格方法中的节点, 但是抛弃了节点之间的联系, 所以更加灵活。代价是每一步计算都要重新搜索每个粒子的所有近邻粒子。由于粒子可以自由运动, SPH方法比网格方法灵活, 适合处理大变形问题。

低雷诺数流动现象的模拟一般选择经典的Poiseuille流和Couette流作为算例, 因为有解析解可供对比, 可以较好地验证数值方法的精度。Morris[1]等人首次采用SPH对Poiseuille流和Couette流进行了数值模拟, 计算中将压力分解为静水压力和动态压力, 静水压力用体积力来代替, 并且指出, 当采用紧支域较小的cubic spline核函数时, 会出现横向不稳定性, 而采用紧支域较大的quintic spline核函数时, 横向不稳定性大大减小。Sigalotti[4]等人采用了一种新的黏性力计算方式实现低雷诺数流动的模拟, Mihai[5]等人则系统地比较了各种黏性力计算方式的精度和稳定性, 刘谋斌[6]等人揭示了一种因为粒子不规则分布而导致的数值不稳定现象, 并用有限粒子法FPM予以解决。

1 SPH方法和FPM方法

SPH方法的稳定性与核函数密切相关, 流体计算中Gaussian核函数的稳定性较好, 因此, 本文采用如(1)式归一化的Gaussian核函数,

流动的控制方程为

。 (3)

, (5)

。 (6)

在粒子均匀分布时, 非边界处SPH能够达到二阶精度。但是当粒子分布不均匀或在边界处, SPH方法的精度很低。

有限粒子方法(FPM方法)将泰勒展开引入, 对SPH方法进行如下改进:

。 (8)

当用FPM方法求黏性力时, 有2种基本方法[8-10]。一种是在(7)式中继续加人的各个二阶导数, 一次性求出的所有一阶二阶导数, 这种方法计算量较大。还有一种是先用(7)式求解一阶导数, 然后用的各个一阶导数代替(7)式中的, 进一步求出二阶导数。本文采取后一种方法。

图1 sin(x)导数的SPH和FPM方法计算对比

2 Poiseuille流和Couette流模拟结果

模型所有参数以及物态方程同文献[1]。边界条件采用文献[11]的方式, 虚拟粒子的总数和位置都固定, 虽然这种边界条件精度稍低, 但是适用于复杂形状边界。

当= 0.225 s时, 前沿速度理论值为m/s, SPH和FPM模拟结果对参数和的依赖关系见图2。

(a) = 2                (b) = 3

(a) Poiseuille流的SPH模拟          (b) Couette流的SPH模拟

图3 Poiseuille流和Couette流的SPH模拟

3 结论

低雷诺数流动的数值模拟关键在于黏性力的准确计算。采用归一化的Gaussian核函数时, 如果, SPH和FPM方法计算结果都对光滑长度敏感。而当时, SPH和FPM方法计算结果都对光滑长度不敏感。

参考文献：

[1] Morris J P, Fox P J, Zhu Y. Modeling low Reynolds number incompressible flows using SPH [J]. J Comput Phys, 1997, 136: 214-226.

[2] Lucy L B. A numerical approach to the testing of the fission hypothesis [J]. Astron J, 1977, 83: 1 013-1 024.

[3] Monaghan J J, Gingold R A. Shock simulation by the particle method SPH [J]. J Comput Phy, 1983, 52: 374-389.

[4] Sigalotti L D G, Klapp J, Sira E, et al. SPH simulations of time-dependent Poiseuille flow at low Reynolds numbers [J]. J Comput Phys, 2003, 191: 622-638.

[5] Mihai B, Nathan J Q, Martin L, et al. Robustness and accuracy of SPH formulations for viscous flow [J]. Int J Numer Meth Fluids, 2009, 60: 1 127-1 148.

[6] 刘谋斌, 常建忠. 光滑粒子动力学方法中粒子分布与数值稳定性分析[J]. 物理学报, 2010, 59: 3 654-3 662.

[7] Liu G R, Liu M B. Smoothed particle hydrodynamics: a Meshfree Particle Method [M]. Singapor:World Scientific, 2003: 130.

[8] Chen J K, Beraun J E. A generalized smoothed particle hydrodynamics method for nonlinear dynamic problems [J]. Comput Methods Appl Mech Engng, 2000, 190: 225-239.

[9] Liu M B, Xie W P, Liu G R. Modeling incompressible flows using a finite particle method [J]. Applied Mathematical Modelling, 2005, 29: 1 252-1 270.

[10] Zhang G M, Batra R C. Modified smoothed particle hydrodynamics method and its application to transient problems[J]. Computational Mechanics, 2004, 34: 137-146.

[11] Adami S, Hu X Y, Adams N A. A generalized wall boundary condition for smoothed particle hydrodynamics [J]. Journal of Computational Physics, 2012, 231: 7 057-7 075.

(责任编校:刘晓霞)

SPH simulation of low reynolds number flow and comparison with FPM

Zhou Hao, Xu Zhihong, Tang Lingyan, Ran Xianwen, Tang Wenhui

( College of Science, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China )

The low Reynolds number flow is simulated with SPH method, the influent of initial smooth length and kernel function on the simulation result is researched. The simulation of classic Poiseuille flow and Couette flow show that SPH was an ideal method to model low Reynolds number flow, furthermore, the precision and efficiency of the computation of SPH and FPM are compared.

SPH; low reynolds number flow; FPM; initial smooth length

10.3969/j.issn.1672–6146.2015.02.014

O 35

1672–6146(2015)02–0043–04

周浩, 39167706@qq.com.

2014-10-11