巧用极限思想探究函数图象的走向

极限思想从数量上描述了变量在运动过程中的变化趋势.函数图象在间断点附近或无穷远时的变化趋势等，均要用到极限思想来考虑，成为解答数学问题过程中的一个重要环节.用这样的策略来帮助学生理解极限思想，学生很容易接受，可以说效果很满意.

例1（2013年高考山东卷·文9理8）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）.

A.B.C.D.

分析因为函数y=xcosx+sinx是奇函数，所以其图象关于原点对称，这样可排除B.又当x=π时，y=-π<0，这时可排除A.当x是一个无限接近于0的正数时，y>0，故可排除C.因此选D.

评注（1）此题用极限思想来解答的亮点是，当x是一个无限接近于0的正数时，y>0.（2）判断函数的图象问题，往往要把函数的性质（单调性、奇偶性）、最值、在某区间上的函数值的正负、特殊点和极限思想综合起来考虑.（3）此题不用极限思想也易解答，y=xcosx+sinx是奇函数，否定B.当00，否定C.当π

例2（2012年高考山东卷·文10理9）函数y=cos6x2x-2-x的图象大致为（）.

A.B.C.D.

分析因为函数f（x）是奇函数，所以排除A.当x→0+（x从y轴的右边无限趋近于0）时，4x-1无限趋近于一个

很小的正数，如图1，且（12）x无限趋近于1

（4x-1）·（12）x无限趋近于一个很小的正数图1

1（4x-1）·（12）x无限趋近于一个很大的正数，即

1（4x-1）·（12）x→+∞.又12x-2-x=1（4x-1）（12）x，所以

12x-2-x无限趋近于一个很大的正数，即12x-2-x→+∞，又当x→0+（x从y轴的右边无限趋近于0）时，cos6x→+1（cos6x从y轴的右边无限趋近于1）.综上，12x-2-x·cos6x→+∞（12x-2-x·cos6x无限趋近于一个很大的数）.

当x→+∞时，12x-2-x→0，而|cos6x|≤1，所以当x→+∞时，12x-2-x·cos6x→0，即f（x）→0.故选D.

评注（1）此题虽然可用函数的性质（奇偶性、单调性）、零点及函数值的正负来解答，但是由此不容易看出函数图象的走向.（2）用函数的性质、零点及函数值的正负可有如下解答：因为函数是奇函数，所以其图象关于原点对称，由此排除A.令y=0得cos6x=06x=π2+kπ（k∈Z）x=π12+kπ6（k∈Z）函数有无穷多个零点，所以可排除C.因为函数y轴右侧的第一个零点为π12，又函数y=2x-2-x为增函数，所以当00，cos6x>0，所以y=cos6x2x-2-x>0，由此排除B.故选D.

例3（2010年高考山东卷·文11理11）函数y=2x-x2的大致图象是（）.

A.B.C.D.

分析由函数y=2x-x2可知2与4是其函数的两个零点，由此可排除B和C.又当x→-∞（x从一个很大的负数向很小的负数无限趋近）时，2x→0，-x2→-∞2x+（-x2）→-∞，即2x-x2→-∞，即y→-∞，从而选A.

评注由函数y=2x-x2可知2与4是其函数的两个零点，由此可排除B和C.又f（-1）=2-1-（-1）2=-12<0，由此可排除D.故选A.这种解答思路看不出函数y=2x-x2的图象的走向.

例4（2009年高考山东卷·文6理6）函数y=ex+e-xex-e-x的图象大致为（）.

A.B.C.D.

分析若使函数有意义，必须使ex-e-x≠0x≠0，所以函数的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，由此可排除C和D.又因为y=ex+e-xex-e-x=e2x+1e2x-1=1+2e2x-1，所以当x→0+（x从y轴的

右边无限趋近于一个很小的正数）时，e2x-1

趋近于一个很小的正数，如图2图2

2e2x-1→+∞1+2e2x-1→+∞，即y→+∞，

故选A.

评注（1）由函数的定义域为{x|x∈R，且x≠0}可排除C和D.当x=12时，y=1+2e-1>2，由此可排除B.故选A.这种解法看不出函数图象的走向.（2）也可从x→0-入手.

有些题目表面上看虽然与极限无关，但是若用运动变化的观点，灵活地运用极限思想来思考，往往可避免复杂的运算，优化解题过程和解题方法，降低解题难度.极限思想也是一种探索解题思路或切入点的有效武器，在解题过程中有良好的导向作用.

极限思想的精髓是逼近、趋近、无限接近.利用这种变化趋势，我们可以更形象、更直观、更细致地认识函数的图象，由此也就更深刻地认识了函数的性质.在高中数学教学中，特别是在高三数学复习教学中，教师应该予以足够重视.作者简介武增明，男，1965年5月生，云南易门人，中学高级教师，玉溪市数学学科带头人，玉溪市劳模.在省级及其以上数学专业刊物上发表教育教学论文140余篇.主要从事高中数学教学及其研究.