谈二次函数与三次函数的零点式应用

对于二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）若有根x1，x2，则可写成零点式f（x）=ax-x1x-x2（a≠0）.同理对一个三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）若有根x1，x2，x3，则可写成零点式f（x）=ax-x1x-x2x-x3（a≠0），其应用广泛，下面简单讨论其应用.1巧证不等式

例1证明：-33≤sinx2-cosx≤33.

证明依题设结构，构造以±33为零点的二次函数，记f（t）=t-33t+33，由二次函数图像性质，欲证-33≤sinx2-cosx≤33成立，只需证f（sinx2-cosx）≤0即可.由f（sinx2-cosx）=sin2x2-cosx2-13=3sin2x-2-cosx232-cosx2=-1-2cosx232-cosx2≤0成立，故原不等式成立.

点评此题证明没用到三角中变形求值域方法，而是由结构巧妙构造二次函数零点式，依二次函数的函数值与不等式解集之间的紧密关系，数与形有机结合，方法美妙，令人印象深刻.对于证a≤f（x）≤b的形式的不等式，一般可考虑构造二次函数零点式来解决.

例2（数学通报201412期问题征解2217）设长方体的长宽高分别为a，b，c（a>b>c），p为长方体各棱长之和，为表面积，d为一条对角线，求证：a>13p4+d2-12s，c<13p4-d2-12s.

解析由求证结构形式，不妨构造以x1=13p4+d2-12s，x2=13p4-d2-12s为零点的二次函数，由韦达定理知x1+x2=p6=23a+b+c，x1x2=19p216-d2+12s=19[a+b+c2-a2+b2+c2+ab+bc+ac]

=13ab+bc+ac，构造二次函数f（x）=3（x-x1）（x-x2）=3x2-2a+b+cx+ab+bc+ac，由函数对称轴为x=a+b+c3，又a>b>c，故a>a+b+c3>c，又由f（a）=3a2-2a+b+ca+ab+bc+ac=

a2-ab+bc-ac=（a-b）（a-c）>0，f（c）=3c2-2a+b+cc+ab+bc+ac=c2+ab-bc-ac=（c-b）（c-a）>0，故c13p4+d2-12s，c<13p4-d2-12s.

点评此题用一般方法较难下手，而构造二次函数的零点式，问题的解决得以易乎寻常的顺畅.2巧比大小

例3设函数f（x）=ax2-x，g（x）=x-a（a>0），若p，q是方程f（x）-g（x）=0的两根，且满足0

证明由f（x）-g（x）=0的两根为p，q，构建零点式，则f（x）-g（x）=a（x-p）（x-q），由x∈（0，p），且00，即f（x）>g（x）.

又f（x）-p-a=g（x）+a（x-p）（x-q）-p-a=x-p+a（x-p）（x-q）=x-pax-q+1a，由0

综上所述，gx

例4已知三次函数f（x）=x3+ax2+bx+c，方程f（x）-x=0的三根满足0

解析由题意，x1，x2，x3为方程f（x）-x=0的三根，构建零点式得f（x）-x=x-x1x-x2x-x3，由-ca+b+c=-f（0）[f（1）-1]=x1x2x31-x11-x21-x3，又由0

点评例3与例4是涉及到二次或三次函数的根的不等关系的证明问题，若按常规采用一般式方程进行处理，问题将变得较为复杂.一般地，一些二次或三次函数的题目中涉及方程的根时，常利用其零点式进行化归处理，可大大优化解题过程与步骤.

例5（2010年湖北龙泉中学考试题）已知实数a1

a1a2+a1a3+a2a3=b1b2+b1b3+b2b3，且a1b1b2b3；（4）（1-a1）（1-a2）（1-a3）<（1-b1）（1-b2）（1-b3），其中真命题的个数为（）.

A.1B.2C.3D.4

解析由三次方程根与系数关系，构建三次函数f（x）=x-a1x-a2x-a3=x3-a1+a2+a3x2+

a1a2+a1a3+a2a3x-a1a2a3，a1

b1b2+b1b3+b2b3x-b1b2b3，b1

b1b2+b1b3+b2b3，则函数g（x）即为函数f（x）向下作了部分平移而得，如右图示：

故由图知（1）（2）显然正确，且a1a2a30，即（1-a1）（1-a2）（1-a3）>（1-b1）（1-b2）（1-b3），

则（4）不对.故正确的为2个，选B.

点评在一些题目中，根据一元二次方程或一元三次方程的根与系数的关系可构造二次函数或三次函数零点式，巧妙解决一些数学问题，可起到让人耳目一新的效果.3解决不定方程问题

例6两个正整数的和比积小2015，并且其中一个是完全平方数，则较大数与较小数的差是.

解析由两正数的和与积，联想二次函数零点式，不妨设此两正整数分别为m，n（m>n>0），记f（x）=（x-m）（x-n），依题意，mn-m-n=2015，故f（1）=（1-m）（1-n）=2016=25×7×32，由m，n中有一个为完全平方数，则m-1=672，

n-1=3，或m-1=84，

n-1=24，或m-1=288，

n-1=7.故m=673，

n=4，或m=85，

n=25，或m=289，

n=8.所以m-n=669或60或281.

例7已知函数f（x）=x2+ax-a+2（a∈Z）有两个不同的正整数零点，求整数a的值.

解析不妨设此函数零点为m，n，则f（x）=x-mx-n，则由题意，m+n=-a，mn=2-a，故mn-m-n=2，则f（1）=1-m1-n=3，由m，n为不同的正整数零点，则m-1=1，

n-1=3，或m-1=3，

n-1=1.

所以两正整数只能为2，4，则a=-6.

点评当涉及两数和与积结构时，可联想二次函数零点式，在解决不定方程问题时，有时可使有关问题的解法变得简洁、明快.

零点式的应用是相当广泛的，不但二次与三次可利用其零点式解决问题，甚至一次函数也是如此.如像不等式证明中af（x）可构建一次函数零点式f（t）=t-a，也可用零点视角来研究.当然二次函数与三次函数零点式的应用肯定不止本文中所提到的这些，由于本人知识水平有限，欢迎同行进行交流与补充.作者简介黄旭东，1975年6月生，湖北黄石人，中级职称.主研方向为中学数学解题规律与教学规律.发表文章若干篇.