一种轮式移动机器人的轨迹跟踪控制方法研究①

常　江，　张连军，　薛　迪（佳木斯大学机械工程学院，黑龙江 佳木斯 154007）

一种轮式移动机器人的轨迹跟踪控制方法研究①

常江，张连军，薛迪
（佳木斯大学机械工程学院，黑龙江 佳木斯 154007）

建立了局部坐标系下用直角坐标表示的非完整轮式移动服务机器人的位姿误差模型，提出了一种新的非线性状态反馈轨迹跟踪控制律，使机器人闭环系统状态空间方程具有原点孤立平衡状态.通过分析在该控制律作用下的闭环系统的原点局部一致渐近稳定性和在非原点孤立边界平衡状态的不稳定性，确定了控制器参数的取值范围.用李雅普诺夫候选函数方法，得出了在该控制律作用下的闭环系统在原点具有全局一致渐近稳定性的结论.仿真结果验证了所设计控制器的有效性.

非完整；轮式移动机器人；轨迹跟踪控制；非线性状态反馈

0　引言

轮式移动机器人（wheeled mobile robot-WMR）具有广泛的实际应用背景.由于这类系统的轮子与地面间的滚动接触必须满足纯滚动无滑动这一非完整约束的条件，因此它是典型的非完整动力学系统.跟踪控制器的设计就是控制WMR的线速度和角速度（或加速度），使WMR跟踪参考轨迹.控制目标就是使参考轨迹和真实轨迹之间的误差最小.由于滑动、干扰、传感器误差等的存在，跟踪误差不可避免.近一二十年来，WMR的轨迹跟踪控制得到了广泛的研究，大体而言，控制的方法可以分为四类：线性方法、非线性方法［1］、几何（geometrical）方法以及智能方法［2］.

针对一种将在医院投入使用的具有两轮独立驱动的三轮式护士助手服务机器人，首先基于其运动学模型，提出了一种新的非线性状态反馈轨迹跟踪控制律，然后分析了闭环系统的稳定性问题，最后进行了控制律仿真.

1　轮式移动机器人的运动学模型

图1为轮式移动护士助手服务机器人（以下简称WMR）的示意图，其采用两后轮差动驱动前轮辅助支撑的结构.设WMR当前位姿q=［x，y，，其中（x，y）为WMR的两个驱动轮轴中点M的坐标，θ为WMR前进方向与X轴的夹角，v和w分别为WMR的线速度和角速度. WMR的运动学方程为

图1　

根据文献［1］进一步可得WMR的位姿误差微分方程为

2　控制律设计

本文基于非完整轮式移动机器人运动学模型的轨迹跟踪控制问题可以描述为：对方程（3）所示的系统，在任意的初始误差的条件下，寻找控制输入，即设计控制律ur，k），使有界，且并且，其中为控制参数向量.基于位姿误差微分方程（3），为轨迹跟踪控制设计非线性状态反馈控制律如公式（4）所示.

3　轨迹跟踪控制系统稳定性分析

将公式（4）代入公式（3）中可得到完全用状态变量表示的轨迹跟踪控制系统状态空间方程，即如公式（5）所示的非线性定常系统. .令f（eq） =0，求解公式（5）所代表的闭环系统的平衡状态，则有eq=0使f（0）=0成立.但eq=［0，0，π］T也是系统（5）的一个孤立平衡状态，这种情况在轨迹跟踪问题中是普遍存在的.根据李雅普诺夫稳定性理论在机器人学中的推广［3］，非完整移动机器人

3.1局部稳定性分析

对如公式（5）所示的非线性定常系统，分别求其在原点平衡状态和eq=［0，0，π］T的线性化矩阵A1和A2，可分别得到如公式（6）和公式（7）所示的线性化系统.

引理1： 对于形如˙x=f（x）的非线性定常系统，在某个孤立平衡状态的线性化系统为 ˙x=Ax，特征方程为|sI-A|=ansn+an-1sn-1+…+a1s+ a0=0，设an＞0，根据劳斯—赫尔维茨判据，如果特征方程的各项系数均为正数，并且劳斯阵列表的第一列系数均为正数，则非线性定常系统在该孤立平衡状态是局部一致渐近稳定的；如果特征方程中有任何系数为负数或等于零，则非线性定常系统在该孤立平衡状态是不稳定的［4］.

定理1：如果控制器参数kx，ky和kθ的取值满足公式（8）所示的关系，那么形如公式（5）所示的非线性定常系统，在原点是局部一致渐近稳定的，而在eq=［0，0，π］T是不稳定的.

kx＞0，ky＞0，kθ＞0（8）

证明： 根据公式（6）得公式（5）所示的非线性定常系统在原点孤立平衡状态的线性化系统的特征方程为

对应于可得特征方程系数向量为

劳斯阵列表的第一列只有两项，第一项a3=1＞0，第二项的表达式为

如果公式成立已知r和r≥0，则有和成立，即特征方程的各项系数均为正数，并且劳斯阵列表的第一列系数均为正数.根据引理1，可知公式（5）所示的非线性定常系统在原点是局部一致渐近稳定的.

根据公式（7），可得形如公式（5）所示的非线性定常系统在非原点孤立平衡状态的线性化系统的特征方程为，对应于|sI-A2|=可得特征方程系数向量为

如果公式（8）成立，则有a0＜0成立，即特征方程中有系数为负数.根据引理1可知如公式（5）所示的非线性定常系统在eq=［0，0，π］T是不稳定的.综上所述，定理1得证.

3.2全局稳定性分析

根据定理1，可知公式（5）所示的非线性定常系统在eq=［0，0，π］T是不稳定的.并且eq=［0，0，π］T处在系统状态空间的边界上，下面探讨如公式（5）所示的非线性定常系统在原点的全局一致渐近稳定性.

引理2： 对于形如˙x=f（x）的非线性定常系统，状态空间为X，x∈X.如果存在李雅普诺夫候选函数V（x），满足下列条件，则系统在原点是全局一致渐近稳定的［6］.

（1）V（x）≥0，当且仅当x=0时V（x）=0；

（2）˙V（x）≤0；

（3）在M=｛x|˙V（x）=0｝的超曲面m（x）= 0上，˙m（x）不恒为零；（4）当‖x‖→∞时，有V（x）→∞.

定理2：如果选取如公式（9）所示的李雅普诺夫候选函数，并且控制器参数kx，ky和kθ的取值满足如公式（8）所示的关系，那么形如公式（5）所示的非线性定常系统在原点是全局一致渐近稳定的.

证明： 依次证明公式（9）所示的李雅普诺夫候选函数满足引理2所列出的四个条件.

（2）对公式（9）两端求导，并将公式（5）代入˙V（eq）中可得

综上所述，公式（9）所示的李雅普诺夫候选函数满足引理2的全部四个条件，定理2得证.

4　仿真实例

由仿真结果可以看出，WMR能对参考轨迹做出快速有效的跟踪逼近；且位姿误差的组成元素xe，ye和θe均能快速趋于0，即qe=有界并且所以，在所设计的控制方式（4）的作用下，可以实现服务机器人轨迹跟踪控制系统的快速收敛.

图2　

5　结语

本文首先建立了局部坐标系下用直角坐标表示的非完整轮式移动服务机器人的位姿误差模型，然后提出了一种新的非线性状态反馈轨迹跟踪控制律，使机器人闭环系统状态空间方程具有原点孤立平衡状态.通过分析在该控制律作用下的闭环系统的原点局部一致渐近稳定性和在非原点孤立边界平衡状态的不稳定性，确定了控制器参数的取值范围.用李雅普诺夫候选函数方法，得出了在该控制律作用下的闭环系统在原点具有全局一致渐近稳定性的结论.最后通过对圆形轨迹的跟踪仿真验证了所设计控制器的有效性.

［1］Fierro R and Lewis F L.Control of a Nonholonomic Mobile Robot：Backstepping Kinematics into Dynamics［C］.Proceedings of the 34th Conference on Decision&Control，New Orleans，December，1995.

［2］Simon X Yang，Anmin Zhu and Max Q H Meng.Biologically Inspired Tracking Control of Mobile Robotswith Bounded Accelerations［C］.Proceedings of the 2004 IEEE International Conference on Robotics&Automation，New Orleans，LA，April 2004.

［3］Yuna G F.Tacrking control of a Mobile Robot Usnig Neuarl Dynamics Based Approaches［D］.Guelph：Univ.of Guelph，2001.

［4］高为炳.运动稳定性基础［M］.北京：高等教育出版社，1987.

Research on Trajectory Tracking Control of a Kind of Wheeled Mobile Robots

CHANG Jiang， ZHANG Lian-jun， XUE Di
（College of Mechanical Engineering，Jiamusi University，Jiamusi 154007，China）

A posture error model of nonholonomic wheeled mobile service robot denoted by cartesian coordinates in local coordinates was established.A novel nonlinear state feedback trajectory tracking control law was proposed，which causes closed-loop system state space equation of robot to isolate equilibrium state at origin. Through analyzing the local uniform asymptotical stability at origin and the instability of isolated boundary equilibrium state at non-origin under the proposed trajectory tracking control law，the scale of control parameters was confirmed.By Lyapunov candidate function method，this paper concluded that the closed-loop system is globally uniformly asymptotically stable at origin.Simulation results show the effectiveness of the proposed control law.

nonholonomic；wheeled mobile robots；trajectory tracking control；nonlinear state feedback

TP24

A

1008-1402（2015）06-0844-04

2015-10-19

黑龙江省教育厅科研项目（12531680）.

常江（1975-），男，黑龙江佳木斯人，佳木斯大学机械工程学院副教授，工学博士，从事机器人技术的研究.