如何帮助学生明白数学道理

王昔寒

小学数学的许多知识，如果学生不明白道理，知识就需要记住并不断地重复。相反，如果学生明白了其中的道理，知识就不需要一遍一遍地重复记忆。笔者的教学体会是：帮助学生明白知识中蕴含的道理，是一件十分重要的事。下面，笔者将结合相应的教学实践来谈如何帮助学生明白数学道理。

一、体验生活原型：为什么多减要加？

浙教版教材二年级下册第102页“简便计算”一课，编排的是加减运算中遇到接近整十、整百数时的简便计算（见图1）。教材借助图书室领取借书证这一情境开展问题探讨：1.两人一共领走几本借书证？2.聪聪领走198本后，还剩几本？从而引出算式“198+96 ”“406-198”进行算法大讨论。教材选取了校园图书室这一学生身边的场景，将数学问题生活化。但多退少补（即多减要加，多加要减）的算理在此情境中却很难渗透和消化。能不能找到一个既贴近学生生活、又符合计算算理的生活原型来替换它，实现两全其美的效果呢？

图1

蹲下身体站在学生的高度换位思考、用心搜寻，每一个数学知识的背后，一定能找到一个与之对应的原始生活模型，因为数学本身源自生活。

活动1：领本子

师：这段时间我们一直都在学习三位数的加、减法，算术本成了我们的好朋友。王老师发现，很多小朋友的算术本都快用完了，看样子该到总务处领本子去了。

师：如果要给我们班的小朋友每人发2本算术本，请拿出草稿本算一下，我们班一共该领多少本算术本？

生：要领98本。

师：总务处还剩下这样两捆算术本（课件出示下图），你准备到哪一捆中去领？为什么？怎样领？

生：我会从第二捆中领，解开绳子拿出2本就行了。这样最简便，不用一本一本地数了。

师：你的意思是领100退2。（板书：领100退2）

生：是的。

师：如果还要给我们全班49名同学每人领4本小字本，那么根据计算，一共需要领196本。先来看看总务处小字本的情况（课件出示下图），你又打算怎样领呢？

生：领走两捆100本的小字本，然后退回4本。

师：也就是领200退4是吗？（板书：领200退4）

生：是的。

……

通过“如何领本子”这一活动的探讨，唤醒了学生的生活记忆，这一记忆恰恰是本课简便计算的算理。有了这种数学与生活的对应，算理成了一种常理。课堂中唯一需要补足的就是将这一生活常理符号化、数学化。即转“‘领100退2’‘领200退4’”为“‘+100-2’和‘+200-4’”，最后抽象成“多加的要减”。

活动2：算剩余

师：总务处的李老师把小字本整理了一下，每100本扎成一捆。大家一起来看看现在总务处还有几本小字本。 （课件出示）

生：还有403本。

师：听说二（5）班同学马上要领走196本。如果你是总务处的李老师，你准备怎么发这196本小字本？

生：先拿出两捆，再从一捆中取回4本就行。

师：这种发本子的方法，如果用一个式子来表示，该怎么表示呢？

生：-200+4。

师：按照这样的发法，那么剩下的本子就可以这样来计算：

403-196

=403-200+4

=203+4

=207（本）

生：是的。

……

作业本问题，从领的角度看是“多加的要减”，从发的角度看却是“多减的要加”。活动中有意将学生的角色从“领本子的同学”转换为“发本子的老师”，这一角色的转换，促成了数学运算中加与减辩证关系的自然体验，也实现了退与补算理的有效理解。

二、借助数轴分析：为什么是四舍五入？

北师大版教材五年级上册中有“近似数”一课，了解近似数的产生、理解近似数的意义、学会近似数的取值是本课学习的三大重点。教学中，我组织学生从了解“本班人数”入手，随后将统计范围扩大到“全年级人数”“全校人数”“全区小学生人数”“全区学生人数”“全区人数”“全市人数”“全省人数”“全国人数”，将数的概念从“准确数”一步步向“近似数”逼近。在理解意义之后随即展开探讨：近似数是如何取值的？

“四舍五入法”是近似数取值的方法之一，“如果尾数最高位上的数比5小，就将尾数全部舍去，如果尾数最高位上的数是5或比5大，舍去尾数后要向前一位进1。”这一方法好记也好用，通常情况下，我们在介绍完四舍五入法之后便安排一定量的练习将这一技能加以巩固。至于为什么要用四舍五入法来取值，往往成了近似数学习的“盲区”。

“知其然，更应知其所以然”，理解方法产生的过程比运用方法更为重要。怎样理解这“四舍五入”中的“所以然”呢？画出线段图，将各近似数对号入座，便能一目了然，看出其中的道理。

……

（一）推测

师：你们知道我们中国的总人口是用哪个近似数来表示的？

生：13亿。

师：那你认为我们中国的总人口可能是多少呢？下面哪个数可以用来表示我国的总人口？

14 3256 1785     13 2367 8970     12 9765 5645     13 8740 7653     12 1345 8903

生与同桌商议，逐一判断。

（二）入图

师：请将各数据填入线段图中，观察它们各自所处的位置，并讨论：这个数更接近几亿？你刚才的判断对了吗？

生：将线段中的每一段再次平均分成10份，标出各数在线段上的相应位置，并进行校对。

（三）判断

师：下面这些数中，还有哪些数也接近13亿？

13 1356 7651        12 1873 5543         12 8321 0597

13 4999 9999        13 8399 7602         12 6505 6781

12 7564 8892        13 3775 3824         13 0563 8732

12 5000 0000

师：如果你对某个数的判断有疑惑，可以将它填入线段图中看一看。

生：将各数填入线段图中逐一判断。

（四）梳理

师：我们一起来观察一下这些接近13亿的数，从中你有什么发现？

生：这些数都比12 5000 0000大，比13 5000 0000小。

师：12 5000 0000也是更接近13亿的吗？

生：不是，它的位置其实是在12亿和13亿的中点处，离12亿和13亿是一样近的。

师：是的，数学上把这种正好处在等距离位置的数的取值规定为向较大数靠拢，即定它为接近13亿。

师：你能用一个大括号将接近13亿的数的范围在线段图上表示出来吗？

生：画出近似数13亿的取值范围。

（五）小结

师：在接近13亿的所有数中，比12亿大的这部分有什么特点？你能用一句话来概括吗？比13亿大的这部分呢？

生：……

师：如果你概括起来有困难，可以回头看看我们所整理的这些数有什么特征。

师：综合以上几位同学的说法，我们是不是可以这样来说：12亿之后的尾数最高位是5、6、7、8、9的数，舍去尾数后要向亿位进1，因为这些数更接近13亿;13亿之后的尾数最高位分别是0、1、2、3、4的数，舍去尾数后不用进1，它们的近似数仍然是13亿。数学上把这种取近似数的方法叫作“四舍五入法”。

……

这个在线段图上“画理”的过程，将有助于学生在今后的取值判断近似数时不再是对方法的机械套用，他们的头脑中一定会将数及它在数直线中的位置建立形象的对应，从而进行正确取值。

三、运用学具操作：为什么是长、宽、高相乘？

北师大版教材五年级下册中有“长方体的体积”一课，大部分学生课前早就知道了长方体体积的计算方法，往往是上课伊始公式即出：长方体的体积=长×宽×高。至于为什么是“长×宽×高”的道理，往往被老师和同学所忽视，简单机械地应用公式去解决问题成了课堂的主题。这种速成的课堂，就如一碗方便面，虽然能填饱肚子，但却少有营养价值。只有经过精心烹煮的食材，才能散发诱人的香味。当学生把计算公式脱口而出的那一刹那，就该即刻追问：为什么长方体的体积要用长×宽×高来计算？谁能说说其中的道理？显然，其中的道理是很难说清楚的。特别是中后型的学生，空间想象的能力未必能跟上说理者的语言描述速度，得把道理依次清晰地摆出来。

师：为什么长方体的体积要用“长×宽×高”来计算？（生一脸茫然）

师：通过计算，这个长方体的体积是7×3×4=84立方厘米，这个84立方厘米也就是84个1立方厘米的小立方体组成的，你能用84个小立方体在白板上将这个长方体依次摆出来吗？

生：可以。

师：大家能根据这个长方体图，说说长方体的体积为什么要用“长×宽×高”来计算的道理吗？

生1：长是7厘米，说明一行可以摆7个。

生2：宽是3厘米，说明底部一层可以摆3行。

师：那“长×宽”算出的结果表示的是什么？

生：底部一层可以摆的个数。

师：那接着为什么要乘高呢？

生：高是多少，就能摆几层。

立体图形的学习其实就是为了让学生头脑中对物体空间想象能力的达成，有了这样一个摆的过程，长方体的体积计算原理就淋漓尽致地展现出来了，既说清了道理，又为空间能力的发展起到了指导作用。

作为满腹经纶的教师，面对嗷嗷待哺的学生兵团，数学中的很多理是说不清的，只有把理摆出来、画出来、做出来，在事实、真相、经验面前，他们才能一一信服。那时，数学和生活也就融为一体。

（浙江省金华市环城小学   321000）