如何让学生明白“先乘、除，后加、减”的道理

夏旭鸣

数学中有很多“序”，如：整数加减法、乘法一般从个位算起，而除法则从高位开始;四则混合运算要“先乘、除，后加、减”，等等。这些“序”，都有其内在的“理”，如“理”不明，则“序”无根，故守“序”，当以明“理”为先。

以“先乘再加（减）”为例，这是数学运算中的一项规定，但这种规定是有道理的，如何通过数学活动让学生明白其中的道理，是本节课的关键。

环节一：用式子记录过程——让“序”有数学的“理”

活动1：数点子

教师出示“点子图1”：18个点子，见图1。

师：想知道图中一共有多少个点子，可以怎样数？

生：2个2个数、3个3个数、5个5个数……

师：谁来2个2个数一数？

生（边圈边数）：2、4、6、…18。

师：告诉大家，你圈了几次？

生：圈了9次。

师：谁来5个5个数一数？

生（边圈边数）：5、10、15、18。（如图2）

师：他圈了几次？

（学生犹豫了，思考后慢慢举起手）

生：圈了3次，还多3个。

生：也可以圈4次，第4次只有3个。

生：第4次少2个。（如图3）

（设计意图：数点子是低段学生很熟悉的一种数学活动，所选取的两种数法代表了学生在数数过程中会遇到的两种情况：刚好数完与有剩余。前者是学生非常熟悉的，后者则与学生原有的认知产生了冲突，经过思辨后形成两种意见：一种是“5个5个地数，数3次，还多3个”，即“有余”（如图2）;另一种是“5个5个地数，数4次，少2个”，即“不足”（如图3）。这两种认知方式，恰与“乘、加”和“乘、减”相对应，而且不论是“有余”还是“不足”，其数的过程，都与“先乘再加（减）”的运算顺序是一致的，这就使后面学习运算顺序有了直观而又可靠的认知基础。）

活动2：写式子

师：你能用式子表示第一种数法吗？

生：2×9、9×2、2+2+2+2+2+2+2+2+2。

师：第二种数法呢？请你写一写。（学生写好后交流）

生1： 5×3=15，15+3=18。

生2：5+5+5+3。

生3：5×3+3。

生4：5×4-2。

……

师：这些式子都能记录数点子的过程吗？ （讨论后交流）

师：5×3+3这个式子既有乘法，又有加法，你觉得应该先算什么？为什么？

生：先算5×3，表示5个5个数，数了3次，再加3，表示加剩下的3个。

师：看来计算的顺序和我们数的过程是一致的。谁来读一读这个式子，让人一听就知道先算5×3的。

生：5乘3，再加3;5乘3的积加3。

……

（设计意图：式子是对数点子过程的一种记录，第一种数法的式子是对乘法的复习;第二种数法的式子是本课要学习的新知。从数点子到列式子，是学生思维从形象到抽象的过程，而数点子的过程也会潜移默化地对式子的顺序产生影响，让学生先思考“式子能否记录数点子的过程”，再研究“式子中既有乘法，又有加法（减法），应该先算什么”时，用数点子的过程来思考运算顺序也就自然而然了。而后，再让学生读一读，一方面是学习读法，另一方面也起到熟悉运算顺序的作用。）

学生反馈：在记录第二种数法时，最初用生3与生4的式子（即乘、加与乘、减）较少，但在理解了式子的意思后，他们纷纷表示更喜欢这两种记录方式，因为式子清楚地记录了数的过程，意思表达明白准确，而且非常简洁。

环节二：用图形解释式子——让“序”有思维的“理”

活动3：找图形

教师出示“点子图2”：23个点子，见图4。

师：你能像刚才一样圈一圈、数一数，再列式子表示吗？（生练习）

教师课件出示各种数法图（见图5、图6、图7、图8），学生板书式子。

师：我们选一个式子：5×4+3，你能根据式子找到他的数法图吗？

生1：是第2幅图（如图6），因为他4个4个数，数了5次，还多3个。

生2：也可能是第3幅图（如图7），因为他5个5个数，数了4次，还多3个。

师：6×4-1呢？

生3：可能是第2幅图（如图6），因为他4个4个数，数6次，就少1个。也可能是第4幅图（如图8），因为他是6个6个数，数4次，就少1个。

师：如果这两个式子表示的是同一种数法呢？

生：是第2幅图（如图6）。

师：请同学们判断其他几组式子分别表示哪种数法，再与同学交流。

……

（设计意图：点子图2之所以选择23个点子，是希望学生只能列乘、加或乘、减的式子，因为学生需要通过练习来巩固新知。反馈时，没有采用常规讲评方式，而采用逆向思考的方式——根据式子找数法，一方面是避免机械重复，提高挑战难度，从而使学生有新鲜感;另一方面是希望通过顺向、逆向两种不同思维方向的学习，加深对“先乘再加（减）”的理解和巩固。）

学生反馈：第一次为式子“5×4+3”找数法图时，学生有些拿不定主意，举手的人不多。第一个发言的学生之所以这样说，是因为他自己圈的就是第2幅图（如图6），所列的式子就是“5×4+3”，他其实是在阐述自己的数法和式子，语气也是不肯定的。但正因为他的描述，让大家明白根据式子找数法，其实就是理解式子的意思，即式子所记录的数的过程，从而找到数法。接下来再为“6×4-1”找图形就自信多了，有的学生还能说出两种不同的数法。

环节三：用故事丰满式子——让“序”有生活的“理”

活动4：说故事

教师课件演示：点子图变成气球图。

师：点子变成了什么？你能说说气球图的故事吗？

生： “六一”儿童节，小朋友们扎气球，每5个扎一束，扎了4束，还多3个，一共有多少个气球？

师： 用哪个算式表示？

生： 5×4+3，5×5-2。

师： 先算什么？为什么？

生： 先算5×4，表示扎了的4束有多少个气球，再加上剩下的3个，就是一共有多少个气球。

师：这些点子还可能变成什么？又会有怎样的故事呢？

（课件演示：点子图变成其他情境图）

……

（回到气球图）

师：有个小朋友看着气球图列了这样一个式子：23-5×4，他想说一个什么样的故事呢？

（思考一段时间后，开始有学生举手要求发言）

生：“六一”儿童节，小朋友们有23个气球，每5个扎一束，扎了4束，还剩多少个气球？

师： 先算什么？为什么？

生： 先算5×4，表示扎了多少个气球，再用23减去扎了的气球，就是剩下多少个气球。

（设计意图：点子是一个符号，它可以表示任何东西，本环节让学生展开想象，赋予简洁的点子以丰富的外壳，既加强了数学与生活的联系，又使运算顺序具有现实的“理”。学生对于这些变化非常感兴趣，从点子到各种图形表示的情境，再到展开想象，他们乐在其中。在这些变化过程中，他们慢慢体验到变化之中的不变：式子不变，理不变，序不变。）

设计“23-5×4”这个式子，是考虑到前面所有的式子都是“乘在前，加（减）在后”的，学生很容易迁移加、减混合运算的顺序——“从左往右”，这对形成正确的运算顺序是不利的。这样安排，可以让学生已有的知识结构产生冲突，从而更好地理解“先乘再加（减）”。对此，部分学生理解还是有些困难，本课也只是作为延伸与孕伏。

“先乘再加（减）”是一种“序”，本课主要通过“数点子、写式子、找图形、说故事”这四次活动，让学生感悟其中的“理”。

活动的材料主要集中在点子图，是考虑到低段学生注意力比较容易分散，丰富多彩的材料固然会暂时提高他们的学习兴趣，但也会极大削弱知识本身的魅力。虽然安排简单的点子图，但使用时赋予它各种变化，会更好地吸引孩子关注数学本身。

这四次活动一脉相承，又层层递进，始终围绕着“图—言—式”展开，既有“图—言—式”的顺向明“理”，又有“式—言—图”的逆向辨“理”，并与生活实际沟通。这样，“序”就能以“理”为根，深植于学生的知识结构中了。

（浙江省金华市环城小学   321000）