落实“四基”，要把数学思想方法适当地说出来

张奠宙

小学数学里的“小数的意义”的教学内容，所承载的数学思想方法在于扩充自然数，使得可以用“数”来表示小于“单位1”的量。因此，我们不能满足于会认、会读、会写小数，而要回答一些更为本源的问题，例如：为什么要学习小数？小数与分数的区别在哪里？小数和自然数是什么关系？尽量把构建“小数”背后的数学思想方法用孩子们易懂的方式表示出来。

一、不能满足于直接指认式

北师大版用直接指认的方式认识小数。 “小数的意义（一）”首先用人民币的元、角、分来引进小数（见图1）。开宗明义的三句话就是直接指认：

“ 1.11元是1元1角1分。”

“1角是1元的，也可以写成0.1元。”

“1分是1元的，也可以写成0.01元。”

这一段教材反复地让学生知道，“以10 或100、1000为分母的分数表示的量，也可以改写成用“ 0.1，0.01，0.23，0.059”那样形式的数来表示它。 随后，又将抽象的数1作10等分，再次说，“也可以”写成0.1;“也可以”写成0.01。 接着的练习，要求学生模仿，“也可以”写成0.064。用图形表示的分数，“也可以”写成2.13和1.04。教材的内容全在分数的改写上。 至于为什么要学习小数，凭什么将分数“也可以写成”小数，没有任何解说。无目的地写来写去，灌输的味道未免太重了。

到了“小数的意义（二）”（见图2），通过量黑板、称鸵鸟蛋，将测量得来的量，按照度量衡的制度将换算时的分数写成小数。例如，用米尺量黑板时，1米之外多出的36厘米，写成0.36米;12克重鹌鹑蛋写成0.012千克。总之，还是将换算得到的分数改写成小数。

到了“小数的意义（三）”（见图3），忽然在计数器上打出22.222，直接问每个2分别表示多少，据此认识小数点、十分位、百分位，、千分位等等。认知跨度相当大。然而，小数在计数器上位于何处？本身是一个需要探究思考的问题，现在直接在计数器上拨出22.222，一一指认各个数位上的2是什么意思，又是一通灌输。

总之，整段教材，从指认开始，强调“也可以”把分数写成小数，在练习中依样模仿，重在能认得小数，会进行单位换算，会改写成小数，然后直接给出数位表。至于这些内容背后所承载的数学思想方法，特别是小数乃是自然数位置计数的扩展与延伸，几乎没有触及。这与“四基”教学的要求相去甚远。

图3

二、做好铺垫工作，揭示小数意义的本质

人教版教材四下中的“小数的意义”的教学内容（见图4），从度量讲台桌的高及课桌面的长入手，发现量出1米之后，还分别多出1分米和2分米。于是，提出问题：如果“用米作单位，不够1米怎么办？” 问题是提出来了，但是没有展开。教材接着也是把米、米、米改写为0.1米、0.01米、0.001米。

尽管学生只认识了0.1、0.01、 0.001三个小数，教材紧接着就提出小数的记数单位是十分之一、百分之一、千分之一……分别写作0.1、0.01、0.001……每相邻两个计数单位之间的进率是10。最后，给出数位顺序表（见图5）。这样做，没有任何铺垫，同样没有说明数学思想方法。

《数学课程标准（2011年版）》 关于小学数学中“小数的意义”的内容，只有一句话：“结合具体情境，理解分数和小数的意义。”不过，理解是要求很高的行为动词。那么，对于“小数的意义”而言，要理解哪几点呢？笔者认为可以有以下几个方面。

1.引进小数是为了表示小于“单位1”的量。

2.除0之外，自然数中最小的是1，所以自然数不能表示小于1的量。

3.一个数的小数部分是小于1的数。（在《初等数论》中可以找到有关一个小数的“整数部分”和“小数部分”概念的表述）

4.小数是分母为10，100，1000……的一类特殊分数。（注：在刚刚接触小数的时候，小数就是指有限小数。本文所指的小数，都是指有限小数）

5. 一个小数可以记为整数部分和小数部分，小数中的小圆点叫小数点。

6. 小数使用十进制位值原则记数法，满十进一，但分数不是。

三、一个具体的设计方案

第一段 小数的意义

（一）开首语

华罗庚： 大哉，数学之为用，宇宙之大，粒子之微……数学无处不在。

（二）自然数和小数

宇宙很大，我们可以用自然数描写很远的地方，一米，十米，百米，万米，亿米……万亿米……

粒子很小，用自然数不能描写。因为自然数里最小的数就是1（0 除外）。因此我们需要引进比1还要小的数，才能描写很小的粒子。

（旁白：比1还小的数有没有？有啊，分数！、都比1小）

（现在，让我们特别注意一类分数：，，，，……，……）（旁白：10亿分之一，多么小啊！）

具有这样分母的一类特殊分数，我们称之为小数。

（三）小数采用新的记法

例如：

= 0.1 ;             = 0.3;

= 0.01，        = 0.06;         = 0.34;

= 0.001，   = 0.007;  = 0.087;

= 0.543;

……

这样记法，我们注意到：有小数点。

小数点后面一位处的1，表示。

小数点后面两位处的1，表示。

0.2 就是两个0.1。

10个0.1就是1。

（旁白：这样记法的好处是和自然数很相似，都是一串数字，不同位置上的数字意义不同，也是满十进一）

第二段  测量与小数

（一） 测量问题：书桌面有多长

（旁白：以1米为单位。量得准确些）

甲：1米多。量了1米，还剩下一段。

乙：我量出剩下的一段有2分米还多一点。

丙：我仔细量，结果是2分米之外，还多出6厘米。

（二） 书桌面长度的三种表述方法

1.书桌面长度是1米加2分米，再加6厘米。

2.利用分数和长度单位可以表示出来：（1+ + ）米。

3.利用小数和长度单位表示出来：1.26米。

（旁白：好简单啊！）

（三）在计数器上表示小数

1.在计数器上看1.26，见图6。

图6

因为以1米为单位，书桌面长是1米多，所以个位数是1（在计数器的个位上拨1粒珠）。

2.剩下的2分米，可以在计数器的哪一位置上表示？大家思考一下，和同伴交流。

（旁白：比1小的数，这里可以在个位的右边一格，拨2粒珠表示（中间用小数点隔开）。

3.还有剩余的6厘米，可在个位右边的第二格，拨6粒珠表示。

小数写法有小数点，小数点右边的2，它的位置在十分位上，2表示。同样，6 写在百分位的位置上，表示。

（这时，可用22.222的各个不同位置上的2来加深对小数的理解。22是它的整数部分，0.222是它的小数部分）

第三段 数位顺序表

有了以上的铺垫，数位顺序、计数单位、进率及满十进一就自然地得出来了。这里只要加一句总结的话（这是有关数学美的教育）：数位顺序表，显示了自然数和小数的完美统一。

以上的处理建议，着重说明了小数和自然数的关系。小数可以用来表示微小的量。分数和小数的发生，都是由于在测量过程中出现了比单位1更小的量。真分数和一个数的小数部分都是小于1的数。有限小数是一些特殊的分数，不是分数的全部。一般地说，分数的表示方式，关注整体和部分的关系，简单明确。但是小数的表示方式采用“满十进一”的十进位制，可以和自然数的表述方式相匹配。这是小数的显著优点，也是要将分数改写为小数的缘由。

这些有关小数的本质，小学数学中蕴含的数学思想方法，在《教师教学用书》里要深入论述。教材里则要尽量用小学生能够理解的浅显方式呈现出来。事实上，对小学生而言，数学思想方法并不是可以自己悟出来的。我们虽然不可大段地说教，但在关键地方必须点穿，用适切浅近的语言加以表述。总之，落实“四基”不能只是一句空话。

四、一些具体的建议

读过两份教材，有以下一些具体的建议。

1. 关于在数直线上表示小数。

人教版在练习中要求把0.4、1.6、2.3、3.85 标记在数直线上。北师大版只要求在刻度尺上标记小数。

在数直线上标记小数，能够体现数形结合，使小学生对“小数”有一个总体的、直观的认识。如前所说，数的小数部分是小于1的数，我们把0.1、 0.01、 0.001…在数直线上标出来，就可以看到它们所处的位置越来越接近 0点。另一方面，整数1、10、100…则是越来越大，位置越来越向右。进一步，学生会直观地留意到有了小数，数直线上就不只是一个个孤立的整点，而是密密麻麻地布满了数。

2. 北师大版教材，强调“小数”也是满十进一，非常必要。人教版则采用进率的说法。然而，满十进一，比“进率”这样的专用名词要好理解，更贴近小学生的认知水平。

3. 关于“也可以写成”的说法，值得商榷。

小数，并不是将分数改写而产生的，而是自然数的十进位值制记数规则的加以扩展的结果。0.1是对的一种新的表述方法。我们还要问，为什么要将分数写为0.1 呢？实际上，这是为了与自然数写法相匹配。我们不妨将0.1与1相比较。如果从1开始数10个数进位到10，即10个1就是1个10。那么，我们从0.1开始数10个数：0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9、1 也是进位到1。10个 0.1 就等于1，这样，小数就和自然数的写法一致起来了。

（华东师范大学数学系   200241）