边玩边学二进制

陈凯

说到学习二进制，难免要和“基数”、“权重”这样的抽象概念，或是和一堆枯燥的数字符号打交道，本文介绍两款小游戏，希望学习者能够在直观、形象的互动中逐渐揭开二进制编码的奥秘。

二进制拼图

剪若干张矩形的纸片，纸片的宽度和长度的比例为1：1.414，暂且把这样的形状称为A形拼板，然后在白纸上由大到小画出几个空白框（如图1），不同大小的框的边长比例也是1：1.414，最小的空白框的形状与A形拼板一样。游戏规则很简单：任意取出一些A形拼板，尝试将这些拼板填满几个空白框，注意填完后图形要完整并且拼板不能有多余的。假设由大到小预先设置A、B、C、D共4个框，经过实验可发现，如果有10块拼板，则恰好可以填满A和C（如图2）；如果是7块拼板，则可以填满B、C和D。

如果把所填满的框标为1，把空白的框标为0，那么就可以看出，纸片的数量正好对应由框所表示的二进制编码，10张纸片是1010，而7张纸片是0111。很容易看出，之所以有这样的效果，其实与二进制的权重有关。细心的读者可能会发现，实际上并不需要很费心去量尺寸，直接拿标准的A4或A3纸张反复对折，按折痕剪开得到的矩形，其比例正是1：1.414。

二进制牌

找六种不同颜色的“牌”，如红色、黄色、蓝色、绿色、白色、黑色，用现成的小块积木、多米诺骨牌或是用纸板涂上颜色都可以，记住以下规则：①每看到两个红色，则替换成一个黄色；②每看到一个黄色、一个白色，则替换成一个黄色、一个白色、一个蓝色；③每看到一个黄色、一个红色、一个白色，则替换成一个红色、一个白色、一个绿色；④每看到一个黄色，则替换成一个红色；⑤每看到一个黑色、一个红色、一个白色，则替换成一个绿色。

牌的初始状态，都是由一块黑色开始，然后放若干块红色，最后由一块白色结束。然后按规则中的顺序，从第①条替换规则依次做到第⑤条，结束后再重头开始。那么，这些规则究竟有什么用处呢？不妨用“黑红红红红红红白”的初始状态来试一下。第一步：每看到两个红色，则替换成一个黄色，则初始的状态变为“黑黄黄黄白”；第二步：每看到一个黄色、一个白色，则替换成黄、白、蓝，于是状态再变为“黑黄黄黄白蓝”；第三步：黄、红、白变成红、白、绿，由于先前的状态中找不到黄、红、白，于是跳过；第四步：每看到一个黄色，则变成一个红色，于是状态变为“黑红红红白蓝”；第五步：黑、红、白变成绿色，由于先前的状态中找不到黑、红、白，于是跳过；第六步：重新匹配第①条规则，两个红色变一个黄色，于是状态变为“黑黄红白蓝”；第七步：黄、白变成黄、白、蓝，由于先前的状态中找不到黄、白，于是跳过；第八步：黄、红、白变成红、白、绿，于是状态变为“黑红白绿蓝”；第九步：每看到一个黄色，则替换成一个红色，由于先前的状态中找不到黄色，于是跳过；第十步：黑、红、白变成绿色，于是状态变为“绿绿蓝”，由于再也没有可替换的可能了，于是替换就在这里停止。

若将绿看成数字“1”，而将蓝看成数字“0”，那么得到的结果就是110。到这里大家应该可以猜出来了，上述的替换过程，其实是将6张红色的牌，变为6的二进制数。同样的，如果初始状态是“黑红红红红红红红红红红白”，那么得到的结果是“绿蓝绿蓝”，即1010，大家可以自己试一下，即便手边没有任何可以用的材料，这个游戏在记事本中，用“替换—全部替换”的功能，也是可以实现的。大家可以思考一下，这套规则的原理究竟是什么？