数学直觉在中学数学中的应用

张卫东

摘 要： 幼儿的数学知识是在熟悉的、具体的事物的基础上一步步建立起来的，它伴随着直观、生成和应用。学习它们不仅仅是为了理解它们，更是为了应用它们解决什么问题。随着年龄的增长和数学知识的增加，数学学习更多地侧重于逻辑和系统，数学也就变得越来越抽象，越来越难以理解和直接作用于实际生活。用一定的数学直觉结合不完全数学归纳法处理抽象的数学知识，使学生相信它的合理性和存在性，以便于更放心地应用，降低学生学习数学的难度，提高学生学习数学的兴趣。

关键词： 数学直觉 不完全数学归纳法 建构数学 合情推理

幼儿在向大人要零食时，会要求“多多的”，达不到他的要求决不罢休。在这里“多多的”就可以看成幼儿的数学知识，它不是大人刻意教的，而是幼儿在熟悉的、具体的事物的基础上一步步建立起来的，这些数学知识从一开始就伴随着应用，幼儿学这些知识不是为了理解，而是为了用它们解决问题。幼儿的学习方法是直观和生成，目的是应用。

随着年龄的增长，我们逐渐从具体的事物中抽象出1、2、3，…，并学会了+、-、×、÷四则运算，同时把这些知识应用于游戏、购物等现实生活中。在这个阶段，我们的数学结构的可靠性都是建立在直觉的基础上的，都可以从实际生活中找到现成的易于理解的生活实例。可以这样说数学知识虽然来源于课本，但它对于学生来讲并不陌生，彰显了数学的应用性。“数学是非常有用的”已成为共识，并促进学生主动学习数学。

在中学阶段，各种函数、方程扑面而来，代数与几何纠缠在一起，剪不断理还乱。更严重的是，直观和生成的学习方法被逻辑和系统的学习方法所取代，数学的应用性也越来越不明显。学生或是没有意识到这种变化或是不愿意接受这种变化，依然固执地在生活中寻找相关的数学实例，在经过不断失败后，“已有数学知识足够在生活中应用，现在学的今后用不到”，逐渐成为学生潜意识的观点。由于没有生活实例做数学直觉的基础，数学就变得越来越抽象，成为所有科目中最难的学科。

在数学史中，数学是为了解决生产生活中的问题才发展起来的，整个数学结构的可靠性都是建立在直觉的基础上的。所以，在中学数学阶段，逻辑和系统的学习方法固然重要，但直观和生成的学习方法也是不可缺少的。在中学数学课堂上有必要应用数学直觉降低难度、培养兴趣。

正如前文所说，在中学数学阶段，从实际生活中找容易理解的数学实例变得不那么容易。幸好人类不由自主地倾向于在更一般的情况下运用一些法则，而不顾这些法则只是在一些特例下导出并成立的。例如，x=1时y=2，x=2时y=4，x=3时y=6，…，x=19时y=38，x=20时y=60，求函数表达式。很多人会写出y=2x.不过我们也不必对它特别担心，因为在中学数学阶段，除了极少情况外，它都是合适的。也就是说，把数学直觉和不完全数学归纳法联系起来，凭感觉进行合情推理而不用进行繁琐的逻辑证明，降低了数学学习的难度，使学生相信抽象数学知识的合理性和存在性。

学生在证明过程中知道每一步都是成立的，然而总感觉哪里不对却又说不出问题出在哪里，这就导致在做题时组合数性质2不会第一反应出现在脑海中，经常是老师稍加提示就恍然大悟，自己却想不出来。我想问题就出在这个证明过程体现的是纯粹的数学逻辑关系，呈现的是运算符号和字母，缺少了其中蕴含的现实意义。

经过多次尝试，我发现它不仅是新授课授课方式的有效补充，还是解题实战中找切入点的行之有效的方法。它在解应用题时列方程和函数表达式、立体几何证明中先作后证等方面有大量的应用，在做题时，很多时候我们都是凭感觉就做出来了，却说不出为什么。因此，我们在讲解数学时，应该相信数学直觉，应用不完全数学归纳法进行合情推理，用简单的例子使学生相信，或让学生自己弄清楚。