张卫东
摘 要: 幼儿的数学知识是在熟悉的、具体的事物的基础上一步步建立起来的,它伴随着直观、生成和应用。学习它们不仅仅是为了理解它们,更是为了应用它们解决什么问题。随着年龄的增长和数学知识的增加,数学学习更多地侧重于逻辑和系统,数学也就变得越来越抽象,越来越难以理解和直接作用于实际生活。用一定的数学直觉结合不完全数学归纳法处理抽象的数学知识,使学生相信它的合理性和存在性,以便于更放心地应用,降低学生学习数学的难度,提高学生学习数学的兴趣。
关键词: 数学直觉 不完全数学归纳法 建构数学 合情推理
幼儿在向大人要零食时,会要求“多多的”,达不到他的要求决不罢休。在这里“多多的”就可以看成幼儿的数学知识,它不是大人刻意教的,而是幼儿在熟悉的、具体的事物的基础上一步步建立起来的,这些数学知识从一开始就伴随着应用,幼儿学这些知识不是为了理解,而是为了用它们解决问题。幼儿的学习方法是直观和生成,目的是应用。
随着年龄的增长,我们逐渐从具体的事物中抽象出1、2、3,…,并学会了+、-、×、÷四则运算,同时把这些知识应用于游戏、购物等现实生活中。在这个阶段,我们的数学结构的可靠性都是建立在直觉的基础上的,都可以从实际生活中找到现成的易于理解的生活实例。可以这样说数学知识虽然来源于课本,但它对于学生来讲并不陌生,彰显了数学的应用性。“数学是非常有用的”已成为共识,并促进学生主动学习数学。
在中学阶段,各种函数、方程扑面而来,代数与几何纠缠在一起,剪不断理还乱。更严重的是,直观和生成的学习方法被逻辑和系统的学习方法所取代,数学的应用性也越来越不明显。学生或是没有意识到这种变化或是不愿意接受这种变化,依然固执地在生活中寻找相关的数学实例,在经过不断失败后,“已有数学知识足够在生活中应用,现在学的今后用不到”,逐渐成为学生潜意识的观点。由于没有生活实例做数学直觉的基础,数学就变得越来越抽象,成为所有科目中最难的学科。
在数学史中,数学是为了解决生产生活中的问题才发展起来的,整个数学结构的可靠性都是建立在直觉的基础上的。所以,在中学数学阶段,逻辑和系统的学习方法固然重要,但直观和生成的学习方法也是不可缺少的。在中学数学课堂上有必要应用数学直觉降低难度、培养兴趣。
正如前文所说,在中学数学阶段,从实际生活中找容易理解的数学实例变得不那么容易。幸好人类不由自主地倾向于在更一般的情况下运用一些法则,而不顾这些法则只是在一些特例下导出并成立的。例如,x=1时y=2,x=2时y=4,x=3时y=6,…,x=19时y=38,x=20时y=60,求函数表达式。很多人会写出y=2x.不过我们也不必对它特别担心,因为在中学数学阶段,除了极少情况外,它都是合适的。也就是说,把数学直觉和不完全数学归纳法联系起来,凭感觉进行合情推理而不用进行繁琐的逻辑证明,降低了数学学习的难度,使学生相信抽象数学知识的合理性和存在性。
学生在证明过程中知道每一步都是成立的,然而总感觉哪里不对却又说不出问题出在哪里,这就导致在做题时组合数性质2不会第一反应出现在脑海中,经常是老师稍加提示就恍然大悟,自己却想不出来。我想问题就出在这个证明过程体现的是纯粹的数学逻辑关系,呈现的是运算符号和字母,缺少了其中蕴含的现实意义。
经过多次尝试,我发现它不仅是新授课授课方式的有效补充,还是解题实战中找切入点的行之有效的方法。它在解应用题时列方程和函数表达式、立体几何证明中先作后证等方面有大量的应用,在做题时,很多时候我们都是凭感觉就做出来了,却说不出为什么。因此,我们在讲解数学时,应该相信数学直觉,应用不完全数学归纳法进行合情推理,用简单的例子使学生相信,或让学生自己弄清楚。