第8讲 “综合与实践问题”复习精讲

刘东升

专题精讲

2015年中考将第一次根据《义务教育课程标准（ 2011年版）》（以下简称“课标2011年版”）开展命题工作.“课标2011年版”埘丁“综合与实践”有明确的规定，比如“结合实际情境，经历设计解决具体问题的方案，并加以实施的过程，体验建立模型、解决问题的过程，并在此过程中，尝试发现和提出问题：会反思参与活动的全过程，将研究的过程和结果形成报告或小论文，并能进行交流，进一步获得数学活动经验.”相信围绕相关要求的考查“综合与实践”方面的中考试题一定会在2015年得到进一步的重视和强化，比如对实际情境问题选择、建立模型，解决问题：或者尝试发现和提出问题的考查；或者引导倾听参与问题解决的过程；或者在数学操作活动中获得活动经验的考查.下面我们选择相关考题归类讲解，反思解题思路、思维陷阱或者易错点分析.

重点题型例析

一、建立模型解决情境问题

例l （2014.陕西）问题探究：

（l）如图1.在矩形ABCD中，AB=3，BC=4.如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰△APD，并求出此时BP的长.

（2）如图2，在△ABC中，∠ABC=60。，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点.当AD=6时.BC边上存在一点Q，使∠ EQF=90。，求此时BQ的长.

问题解决：

（3）有一山庄，它的平面图为如图3的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安监控装置，用来监视边AB.现只要使∠AMB大约为60。，就可以让监控装置的效果达到最佳.已知∠A=∠E= ∠D=90。，AB=270 m，A E=400 m，ED=285 m，CD=340 m.问：在线段CD上是否存在点M.使∠AMB=60。？若存在，请求出符合条件的DM的长；若不存在，请说明理由.

解析：第一步，“开放答案想意图，预热蓄势向上登”. 由于问题只要给出一个符合要求的答案，所以是比较简单的.但是值得深入思考的是，有几个点是符合要求的呢？根据等腰三角形第三个顶点的分类方法，如图4，以AD为腰（再细分点A、D为顶点）、以AD为底进行分类，容易得出三个可能的解答，进一步根据勾股定理可求出相应的BP的长（BPl=4-、/7，BP2=2，BP3=、/7）.这样的思考对于后续问题的求解是有帮助的.

第二步，“思路引向圆周角，上下呼应再求值”，

（2）由于菱形的对角线平分一组对角，故在折叠的时候想到先折出∠BCA的平分线，确定D点，再由CD的垂直平分线确定另外两个顶点E、F

先折∠ACB的平分线（使CB落在CA上），压平，折线与AB的交点为D；再折DC的垂直平分线（使C与D重合），压平，折线与BC，CA的交点分别为E、F如图10.展平后四边形DECF就是菱形，

理由：由CB落在CA上，折线与AB的交点为D.故∠ACD=∠BCD.由点C与D重合，折线与BC，AC的交点分别为点E、F，可得CF=DF=DE=CE.即四边形DECF为菱形.

反思：这道操作题，实质是一个比较传统的平行四边形的判定，动态问题中的四边形面积的最值的问题，解决问题的方法主要是应用平行四边形的判定方法，以及通过锐角三角函数及相似三角形的对应边成比例，用一条线段的长表示出其他线段的长，然后把问题转化为求二次函数的最值.当前不少中考试题都是“新瓶装旧洒”，有一双“火眼金睛”就能洞察问题本质，快速求解.

四、探塞活动与思维经验的考查

例4【倾听理解】

这足一次数学活动课上，两个同学利用计算机软件探索函数问题，下面是他们的交流片段：免知识堆砌、图形繁杂，还要加强各个小题之间的关联与和谐.所以先利用阅读理解的形式呈现并探究了一些简单性质，这些探究又为“拓广探索”提供了求解方向，比如，第（2）问需要另求函数关系式，第（3）问暗示学生“MN与m的函数关系”.此外，以函数为载体，入乎其内求深入，又要出乎其外思拓展，再如在前两问中以线段的比值为探究形式，最后一问以等边三角形、图形面积为探求表象，也是想在函数平台上沟通图形之间的关联.

中考命题预测

1.将一正方形纸片，按如图14步骤①、②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（）.

2.如图15.已知在矩形ABCD中，点E在边BC上.BE=2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C’、D'处，且点C'、D'、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D'F与BE交于点G.设AB=t，那么△EFG的周长为

（用含t的代数式表示）.

3.【问题提出】

学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边的其中一边的对角对应相等”的情形进行研究，

【初步思考】

我们将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.

【深入探究】

第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF

（1）如图16①，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90。，根据____ ，可以知道Rt△ABCU≌Rt△DEF

第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF

（2）如图16②，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角.求证：△，ABC≌△DEF

第二步，如图17②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平，

第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把它折到图17③中所示的AD处.

第四步，展平纸片，按照所得的D点折出 DE，如图17④.……

【问题解决】

（1）图17③中AB=____cm.

（2）你发现图17④中有几个黄金矩形？请都写出来，并选择其中一个说明理由.

（3）在图17③中，连接BD，以AQ、BD为两直角边作直角三角形，求该直角三角形斜边的长.