浅论数学运算能力的培养

林永山

运算能力是思维能力和运算技能的结合，是高考数学考查的五大能力之一.对比2014年的福建卷和全国新课标卷可以发现：全国新课标卷对运算能力的要求更高（会根据法则、公式进行正确运算、变形和处理数据；能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算）.在教学中，如何培养运算能力呢？

一、培养学生联想构造，巧妙计算

运算的合理性是运算能力的核心，试题一般都有多种解法，解法有繁有简.要通过对试题进行分析和联想、根据问题的不同条件和特点，灵活运用公式、法则及有关运算律，通过观察、分析、比较，运用化归、构造或类比等方法寻求最佳解题策略，从而得到合理的运算途径.

例1：一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）

A.3π B.4π C.3π D.6π

解析：如果考生在考试时想直接求解，就会因为图形难画、计算量大而放弃.如果能由正四面体联想到正方体，将题设中的四面体可以看成是棱长为1的正方体的面对角线构成的，突破寻找球心和半径的障碍，易知球的直径就是正方体的对角线长，球的表面积为3π，得到更合理的运算途径，减少运算量，使解题快速、准确.

二、培养学生数形结合，简捷运算

运算的简捷性是指运算过程中所选择的运算路径短、运算步骤少、运算时间省.想在考试中节省运算时间，必须在运算过程中灵活运用概念，恰当选择公式，合理利用数形结合思想，有效增强解题过程的直观性，减少运算量.

例2：求函数f（x）=的值域.

解析：此题部分学生会觉得无从下手，或通过整理成x的二次方程，由判别式法求值域，但这样计算量很大.

若能观察式子特征，引入代换，对原函数进行化简处理，继而由数想形，借助直线斜率的几何意义进行解题，就会使得问题轻松地获得解答，使运算更具简捷性.

设y=，则函数化为：（x-2）+y=1f（x）=，（y≥0）

由数想形，从而原问题转化为：

求半圆弧（x-2）+y=1，（y≥0）上的点P与定点A（-1，-3）的连线的斜率的取值范围.

如图示，易求得函数的值域是[，].

三、培养学生大胆取舍，活用估算

对运算能力的考查，除了要求考生能够根据题设条件精确计算外，还考查能否根据需要对所给出的数据进行估计和近似计算.如果能够充分利用题设的要求进行合理估算，就能弥补因知识的缺漏而造成的不足，同时也将大大降低运算量.

例3：设P是双曲线-=1右支上一点，F是该双曲线的右焦点，Q是PF的中点，O为坐标原点，且|OQ|=4，则点P到该双曲线右准线的距离d为（ ）.

A. B. C.2 D.6

解析：本题常规解法是：根据题设，运用双曲线的第一定义及三角形中位线，先求出PF的长，再运用双曲线的第二定义求出点P到该双曲线右准线的距离，在定义不够熟悉和计算不熟练的情况下，就会对结果无所适从.

如果能根据题设中|OQ|=|OF|=4这个条件判断出：点P的横坐标必落在双曲线的右顶点A和右焦点F之间，则d小于右焦点F到右准线的距离，且d大于右顶点A到右准线的距离，即

四、培养学生把握核心，合理运算

运算的合理性表现在运算要符合算理，运算过程的每一步变形都要有依据，在考试中运算的步骤越多，越繁琐，出错的可能性就越大，因而，我们要根据问题的不同条件和特点，合理选择运算途径，尽可能减少出错的机会.对一些经常使用的计算方法、计算公式一定要熟练掌握.

例4：已知a+b=1，b+c=2，c+a=2，则ab+bc+ca的最小值为（ ）.

A.- B.- C.-- D.+

解析：本题考查不等式的知识.通过所给的三个方程构成的方程组，可以解出a=b=±，c=±，要求ab+bc+ca的最小值，需要对a、b、c的取值进行选择，取a、b同号且与c异号即可.所以ab+bc+ca的最小值为-.

本题的解答是对各种解题套路和技巧的一种反对，是考纲中“注意通性通法，淡化特殊技巧”的具体体现.解题过程中一定要选取合理的途径，不要陷入固定模式，更不能思维定势.本题的求解中容易出现以下几种错误的思路：应用均值不等式、柯西不等式和引入辅助角进行计算，都会因没有注意到其中的“=”成立的条件，而造成错解中的最小值是取不到的.因而在解题时要具体问题具体分析，要注意题目的条件和所应用的公式、定理成立的条件，不能照抄照搬.

五、培养学生注重算理，精打细算

面对直接计算较复杂的试题，要注意算理，小心地选取运算路径，合理地选择运算方法，甚至对试题中看起来不是很重要的参量都要精打细算，从中得到启发，找到运算目标，保证运算的准确性.

例5：已知cos（α+）=，≤α<，求cos（2α+）的值.

解析：解本题时，很多考生试图从解方程组的角度求出sinα、cosα再求出sin2α、cos2α，代入cos（2α+）的展开式进行求解，而这种解法的运算量非常大.

也有部分考生发现了如下关系：2α+=α（α+），但同样遇到求sinα、cosα的障碍，不利于运算，也不符合算理，为此还要进一步细化.

再分析可以发现：2α+=（2α+）-，这个关系虽然看起来较繁，但sin2α、cos2α容易求得（构造二倍角）.

sin2α=-cos（2α+）=-2cos（α+）+1=，

cos2α=sin（2α+）=2sin（α+）cos（α+）=-.

故cos（2α+）=cos2αcos-sin2αsin=（cos2α-sin2α）=-.

本题的解法是三角函数题型中典型的“配凑角法”，解题的关键在于合理地寻找已知角和所求角之间的关系，还要注意后续解题过程的简捷性.

高考对运算能力的考查是多角度、多层次的，重视对算理的考查，试题需要根据不同情况灵活处理.因此强调学生一定要注意运算的方法，能避免计算就避免，不能避免计算的一定要注意运算的合理性、熟练性、简捷性和准确性.只有这样才能使学生运算能力得到培养，才能在运算量较大的高考中提高得分率.

参考文献：

[1]2015年普通高等学校招生全国统一考试大纲.

[2]韩保席.优化高考试题计算量的方法[J].求学，2005（5）.