优化教学环节，打造优质课堂

柳荷红

摘    要： 数学课堂是由无数个教与学的环节共同组成的，只有优化每个环节，才能打造优质的数学课堂.本文以课题《二元一次不等式（组）与平面区域》的教学设计为例，谈谈如何优化教学的几个核心环节——教学思路、教学情境、数学问题、数学例题.

关键词： 教学环节    优质课堂    有效教学

有效教学是对教学的基本要求，优质教学是追求的目标.在一定程度上，数学课堂是由无数个教与学的环节共同组成的，只有优化每个环节，才能打造优质的数学课堂.近日笔者参加了市中小学教学大比武，课的内容是人教版必修53.3.1《二元一次不等式（组）与平面区域》，为此对几个核心的教学环节进行反复打磨、优化，获得了意想不到的教学效果.

1.优化教学思路，提炼核心主线

李善良博士提出数学课堂教学必须“理清核心主线，优化教学过程”.一堂有效的数学课，应该有一条主线把教师、学生双方的理解和学习清晰地串起来，对于教师依照设计好的主线，能轻松驾驭课堂;对于学生顺着主线，能清晰主动构建课堂教学所要达到的教学目标.

本节课是一节概念生成课，此概念来源于生活，有极其丰富的实际背景，要想深刻理解，达到教学目标，就必须设计好核心主线.笔者根据新课程理念，“教师为主导、学生为主体、探究为主线”的教学思想，提炼了教学核心主线：问题情境—提出问题—学生活动—意义构建—数学理论—数学应用—问题获解—反思提升.实际教学效果表明，这是一条行之有效的核心主线.

2.优化教学情境，提高课堂效率

课堂教学中，情境是一切认知活动的开始，教师有目的地引入或创设生动具体的情境，给学生架起探究的桥梁和引导学生寻求解决问题的正确途径，新颖有力的情景可以提高学习的主动性，形成教师主导作用和学生主体作用完美结合的课堂，使学生的智力、能力得到全面发展.本节内容有丰富的生活背景，适合创设生活问题情境.这节课的情境创设主要有两种设想：

情境一設想：银行信贷资金分配问题（教科书提供的案例）.

情境二设想：某农户今年预计投入不超过6万元资金种植西瓜和葡萄，已知它们的种植成本分别为每亩2万元和1.5万元，他计划投入西瓜种植的资金不低于葡萄种植的2倍，且两者的种植面积都不低于1亩，那么该农户应如何分配资金？

[设计意图]本节课教材通过银行信贷资金分配问题，抽象出二元一次不等式（组）教学模型，引出二元一次不等式（组）的相关概念.这样编写的目的是使学生经历从实际问题中得到二元一次不等式（组）这一数学模型的抽象过程，了解二元一次不等式（组）这一数学模型产生的实际背景，体验数学问题是客观存在的，是从实际问题中产生的.但从此数学情境中得到二元一次不等式（组）的数学模型不但数据过于复杂，而且后续的探究和讲解中都没用到，大大降低了课堂教学效率.南京大学郑毓信教授指出：“情境设置不应仅仅起到‘敲门砖’的作用，还应当在课堂的进一步开展中自始至终发挥重要的向导作用.”由此笔者就从家乡的特产：西瓜和葡萄的种植过程中，农户的资金分配问题这一情境，抽象出二元一次不等式（组）教学模型，接着就围绕这一模型先引出二元一次不等式（组）的相关概念，而后探究得出二元一次不等式Ax+By+C>0的解集所表示的图形，最后利用所学的知识解决情境中提出的资金分配问题.对比两种设想，第二种更接近生活，比较简约、经济、实用，更能激发学生的学习兴趣.

3.优化数学问题，探究建构概念

新课程提倡让学生通过自主参与学习活动，获得亲身体验，逐步形成乐于探究、勤于动手的积极态度.为了能够有效开展探究活动，本课就围绕教学主线，根据学生的“最近发展区”设置了层层递进的问题串，通过问题驱动，启迪和训练学生的思维，理性构建数学模型，形成数学概念.

问题串1：

师：这个问题中存在一些不等关系，我们应该用什么不等式模型刻画它们呢？

生：设西瓜种植面积为x亩，葡萄种植面积为y亩，则4x+3y≤122x≥3yx≥1y≥1.

师：我们该如何称呼不等式4x+3y≤12？

生（几乎齐声）：二元一次不等式.

师：二元一次不等式有什么特征？

生：含有两个未知数，并且未知数的次数是1.

投影显示：我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式.

师：我们又该如何称呼不等式4x+3y≤122x≥3y？

生：二元一次不等式组.

投影幕显示：我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.

二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成的有序数对（x，y）构成的集合.

有序数对（x，y）→平面直角坐标系内的点.

【设计意图】以西瓜和葡萄种植过程中的资金分配为切入口，学生的前概念为突破口，引发学生思维，得到二元一次不等式（组）的相关概念.此组问题的设置可以使学生自觉运用已有的认知，不断同化新知识，从而达到调整、扩充和优化原有的认知结构，建立新的认知结构的目的.

问题串2：

在平面直角坐标系内，二元一次不等式的解集表示的图形？

师：方程x-2=0的解集为？摇？摇  ？摇？摇，如何在数轴上表示？

生：一元一次方程的解集所表示的图形是数轴上的一点.

师：不等式组x+3>0x-4<0的解集为？摇？摇  ？摇？摇.

生：一元一次不等式（组）的解集所表示的图形是数轴上的区间.

师：在平面直角坐标系内，二元一次方程的解集所表示的图形？

如二元一次方程4x+3y=12的解集所表示的图形？

生：直线4x+3y=12上的所有点组成的集合.

师：4x+3y≠12呢？

生：不在直线4x+3y=12上的所有点组成的集合.

师（追问）：4x+3y>12呢？

生：直线4x+3y=12右上方的所有点组成的集合.

师：为什么？

生：我取了点（2，2）和点（4，1），它们都是不等式4x+3y>12的解，而且都在直线4x+3y=12的右上方.

师：这只是我们的直观感知，能否用数学方法加以证明？

师（追问）：能否将上面的结论推广到一般情形？

师：在直角坐标系中，以二元一次不等式4x+3y>12的解为坐标的点都在直线的右上方;反过来，直线4x+3y=12右上方点的坐标都满足不等式4x+3y>12.因此，在直角坐标系中不等式4x+3y>12表示直线4x+3y=12右上方的平面区域.二元一次不等式Ax+By+C>0表示的平面区域是什么？

生：表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.

师（补充）：我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界.不等式Ax+By+C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线.如何快速准确地确定区域？

生：对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标（x，y）代入Ax+By+C=0，所得符号相同，因此只需在直线同侧取某个特殊点检测即可.

【设计意图】由一元一次方程和一元一次不等式（组）的解集所表示的图形得到二元一次方程和二元一次不等式（组）的解集所表示的图形，体现了类比的思想方法;由不等式4x+3y>12表示的平面区域推广到一般的二元一次不等式Ax+By+C>0表示的平面区域，体现了由特殊到一般的思想方法.此组问题的设计由浅入深，层层递进，让学生经历了对核心概念的发现、揭示、概括和理解的过程，体验了数学的理性精神.

4.优化数学例题，实现教材再创造

著名的数学教育家费赖登塔尔认为，将数学作为一种活动来解释和分析，学习数学的唯一正确的方法是让学生进行“再创造”.教师要科学地把握学生的认知规律，合理地对教材进行“再创造”，让学生通过创造数学学习数学.因此教师在例题教学中不能只停留在“就题解题”上，而应挖掘显现概念的内涵及其外延，展示“普通”题目背后的“精彩”，让学生在课堂上享受探究的快乐，真正实现对概念意义的建构.

例1：（1）画出不等式4x+3y≤12表示的平面区域;

（2）画出不等式2x≥3y表示的平面區域.

例2：用平面区域表示不等式组4x+3y≤122x≥3y的解集.

练习1：用平面区域表示情境中不等式组4x+3y≤122x≥3yx≥1y≥1的解集.

【设计意图】此题组设计的作用：①归纳出作平面区域的12字方针：“直线定界、取点定域、虚实分明”;②教师利用三角板规范地作出平面区域，起到了很好的示范作用.

例3：已知如图所示平面区域，请写出其所表示的不等式（组）.

（1）                              （2）

（3）

练习2：已知如下所示平面区域图形，请你写出其所表示的不等式（组）.

【设计意图】例3及练习2的设计意图是培养学生的逆向思维，题目的呈现由易到难，层层推进，思维得以升华.在例3的教学中采用多媒体技术，充分展示了数学美，激发了学生的求知欲望.

拓展提升：画出（x+2y-1）（x-y+3）>0表示的平面区域.

【设计意图】通过“拓展提升”的“潜在距离”的控制，当变异控制在学生的“最近发展区”时，变异会引起学生的注意，从而产生观察、比较、联想等一系列思维活动，有利于学生的“再创造”和对知识进行正迁移.

课后探究：在练习1中我们作出了情境中不等式组所表示的平面区域，从中得知分配资金的方式有多种，如果你是农户该怎么分配资金？

【设计意图】课后探究的设计体现了教学的有始有终，让学生真正体会到数学来源于生活，用之于生活，不但激发了学生的求知欲，更有效地完善了学生的经验系统，提升了学生知识网络建构的水平.

5.结语

在新课程标准下，数学课上不能仅是传授知识和解题技能，而应尽可能地为学生创设情境，让学生经历知识的发生发展过程，培养学生的探究能力和创新意识.同时要改变教学方法和策略，优化教学核心环节，力求打造优质的数学课堂.

参考文献：

[1]人民教育出版社.普通高中课程标准实验教科书A版教师教学用书.数学5（必修）.

[2]夏志辉.打磨核心教学细节.追求高效数学课堂.中学数学，2013.6.