不等式证明技巧

吴捷云

摘    要： 不等式是研究数学问题的重要工具。不等式的证明方法灵活多样，本文通过实例说明不等式证明的某些技巧。

关键词： 不等式    证明    技巧

不等式是研究数学问题的重要工具，它渗透在数学的各个分支学科，有重要的应用。不等式的证明方法灵活多样，它可以和很多内容相结合，对不等式的证明进行探讨无疑是十分有益的。本文通过实例说明不等式证明的某些技巧，提高分析问题与解决问题的能力。

例1：设x，y，z是不全为零的实数，求证：

5x +y +5z >8xz-4xy+4yz.

证明：设二次型f（x，y，z）=5x +y +5z -8xz+4xy-4yz，则f的矩阵是

A=5       2    -42       1    -2-4    -2    5.

因为A的各阶顺序主子式为：

|5|=5>0;5    22    1=1>0; 5      2    -4 2      1    -2-4    -2    5=1>0;

所以，A正定，从而，二次型f（x，y，z）正定，当x，y，z不全为零时f（x，y，z）>0.即5x +y +5z -8xz+4xy-4yz>0，

因此5x +y +5z >8xz-4xy+4yz.

例2：求证：n x  ≥（ x ） .

证明：令f（x ，x ，…，x ）=n x  -（ x ） ，则f为二次型，其矩阵为

A=n-1    -1    …    -1      -1-1     n-1    …    -1     -1…     …      …    …      …-1     -1      …    n-1    -1-1     -1      …    -1     n-1，

将第2，3，…，n列加到第1列，则第1列元素全为零，故|A|=0;用同样的方法可求出A的i阶主子式为（n-i）n >0（i=1，2，…，n-1）.

因为A的主子式都大于或等于零，所以A是半正定的;从而二次型f（x ，x ，…，x ）半正定，所以f（x ，x ，…，x ）≥0，即

n x  ≥（ x ） .

例3：设A，B，C是一个三角形的三个内角，证明对任意实数x，y，z，都有

x +y +z ≥2xycosA+2xzcosB+2yzcosC.

证明：记f（X）=X′AX=x +y +z -2xycosA-2xzcosB-2yzcosC，其中

X=（x，y，z）′，P=    1       -cosA    -cosB-cosA       1        -cosC-cosB    -cosC        1，A+B+C=π，cosC=-cos（A+B）.

对P做初等行变换得：

P～1    -cosA    -cosB0     sinA      -sinB0        0            0，

于是P的特征值為0，1，sinA，从而得二次型f（X）是半正定的，即对于任意实数x，y，z，f（X）≥0，即x +y +z ≥2xycosA+2xzcosB+2yzcosC成立.

例4：设A是实对称矩阵，其特征根为λ ≤λ ≤…≤λ ，则对任意的实向量X有

λ X′X≤X′AX≤λ X′X.

证明：A是实对称矩阵，存在正交矩阵T，使

T AT=λ                                 λ                                 ？埙                                λ ，

于是T AT-λ I特征根非负，即矩阵A-λ I半正定.这样

X′（A-λ I）X≥0.

因此

X′AX≥λ X′X.

同理可证

X′AX≤λ X′X.

例5：设a ∈R，（i=1，2，…，n）证明：

n（a  +a  +…+a  ）≥（a +a +…+a ）

证明：设D=n（a  +a  +…+a  ）-（a +a +…+a ） ，只要证D≥0.

由于

D=a  +a  +…+a      a +a +…+a a +a +…+a                 n

= a      a +a +…+a a                 n

=  a      a a     1=  a a     a 1    1

所以

D=  a a     a 1    1=  （-a ）a     a 1    1，

因此

2D=D+D=  （a -a ）a     -a 1    1=  （a -a ） ≥0.

這就证明了D≥0.

参考文献：

[1]张荣.辅助函数在不等式证明中的应用[J].数学的实践与认识，2007，37（20）：224-226.

[2]高淑娥.不等式证明中辅助函数的构造[J].甘肃联合大学学报（自然科学版），2013，27（1）：79-81.

[3]梁波.例谈行列式的几个应用[J].毕节学院学报，2006（04）：27-29.

基金项目：广东省高等教育特色创新项目（2014GXJK125）