简谈不定积分的知识串联法

何冬梅

摘    要： 微积分学主要研究微分和积分，微积分及其应用是高等数学课程的主要内容，不定积分是定积分与微分方程的基础，因此，熟练运用相应的方法求出不定积分，是高等数学中的重中之重.由于求不定积分的方法较多，学完不定积分这章后，学生往往很是模糊，不能很快判断出用哪一种方法解决.作者就自己的教学实践，给出几种求不定积分的解决方法，希望能给更多的学生带来启示，以便更进一步掌握好求不定积分的方法.

关键词： 不定积分    知识    串联法

一、定义

针对不同的被积函数，运用知识把不定积分的几种方法联想在一起，很快做出解决问题的方法，被称为不定积分的知识串联法.

二、在求不定积分的过程中，学生存在的困惑

由于求不定积分的方法较多，学完不定积分这章后，学生往往感觉很是模糊，遇到求不定积分的问题不能很快判断出用哪种方法解决.

三、如何解决学生在求不定积分过程中的困惑（不定积分的知识串联法的具体运用）

针对学生在求不定积分过程中的困惑，以下通过不同但看起来有些相近的例子作对比，得出具体的解决问题的方法.

1.直接积分法（直接运用积分公式的方法）

法一（凑微分法）：

以上四种方法，允许结果相差一个常数.显然，凑微分法要比换元积分法简单，况且换元积分法的最后一步还要还原变量.

3.分部积分法

分部积分公式：

4.第二换元法中的无理代换法

5.第二换元法中的三角代换法

从以上看出：凑微分法，突出的是一个“凑”字，这就要求学生掌握凑的技巧;分部积分法，突出的是“分部”，也就是关键是分清u、v两部分;第二换元法中的无理代换法与三角代换法的区分：无理代换法是令整个根式为一个新的变量，从而将根式去掉，而三角代换法是利用三角函数的恒等变形，将根号去掉，一般二次根式中的被开方式子中的未知数的次数是一次的，就用无理代换法，当被开方式子中的未知数的次数是二次的，一般就用三角代换法，但也不是绝对的.

四、结语

求不定积分的方法，除直接代入公式以外，凑微分法及分部积分法是较简单的方法，换元积分法较繁杂，因此做题时尽量避免用换元法，除非非用不可.所以，针对不同的被积函数，先看能否直接积分，不能再看是否可用凑微分法，若不能，再考虑分部积分法，最后考虑第二换元法.当然，这种求不定积分的知识串联法，也需建立在学生熟记不定积分公式及凑的技巧的基础上.

参考文献：

[1]高职考专规划新教材编审委员会编.高等数学.吉林出版社，2010.6.

[2]张国楚.大学文科数学.高教出版社，2005.

[3]姚孟臣.大学文科高等数学.高教出版社，2010.5.

[4]同济大学应用数学系.高等数学.高教出版社，2008.4.