换种思路教“方程”

吴雷霞

对于人教版教材中“实际问题与方程（1）”的教学，教师往往会感到比较棘手，究其原因，从其他各版本的教材中可以发现，这块内容大多是直接从形如“ax±b=c”的有关问题解决入手，这样可以让学生体会到方程的优越性。而人教版教材则安排了形如“a±x=b”的实际问题，对于这样的“一步计算的实际问题用方程解决”，学生是体会不到“用方程”的便利，而烦琐的“解”与“设”，反而会使学生产生抵触情绪。

然而，无论选用哪个版本的教材，学生通过学习“方程”这一单元后都很难形成主动运用方程解决问题的意识。学生在做作业、习题的时候经常会习惯性地询问教师是否需要运用方程解题，在他们心目中方程并没有成为一种首选的方法，用方程解答仅仅是因为题目或者教师的要求而迫于无奈的选择。其最主要的原因还是由于教师和学生都没有领悟到用方程解决问题这一思考方式的真谛所在。因此在设计与执教“实际问题与方程（1）”一课时，笔者尝试换种思路教学“方程”。

【教学案例】

一、寻找本质，初步体会方程思维的特点

教师出示实际问题：爸爸今年45岁，比小红大30岁，小红今年多少岁？（学生独立解决，并说想法）

教师隐去问题，出示：爸爸今年45岁，比小红大30岁。

师：爸爸和小红的年龄存在怎样的关系？

生：爸爸比小红大了30岁。

师：对，你能用一个数学式子表达小红和爸爸两人的年龄关系吗？

生：45-x=30。

生：x+30=45。

生：45-30=x。

师：这三个式子都能表示小红和爸爸的年龄关系，哪个关系式最直接明白？

生：我认为第1个，直接就是“爸爸的年龄-小红的年龄=相差的30岁”。

生：我觉得第2个也行，就是“小红的年龄+爸爸大的30岁=爸爸的年龄”。

师：你们认为呢？（学生也表示认同）比较一下，第3个相对不直接点，是吗？

师：通过解这个方程能够解决什么问题？

生：小红今年多少岁？

教师小结：是的，刚才我们并没有解决问题，就是用式子表示小红和爸爸的年龄关系，自然就得到了方程。而通过解这个方程，恰好能帮助我们解决这个问题，对吗？这就是方程的奥秘所在。

【设计意图】学生在用算术思维来解决实际问题时，他们往往会根据问题，马上条件反射地依据解决问题所需要的条件来进行思考，从而解决问题。而方程思维的关键是先用语言表达相等关系，然后将语言表达抽象出数学符号，形成方程。因此方程并非为了解决某个问题而产生，而是为了表达某种关系而产生，而产生的方程恰好能解决某个数学问题。

为了让学生感受到这一过程，教学从“有问题”（生活中的实际问题，用自己的方法解决，一般学生都是用算术方法）到“没有问题”（让学生用最直接明白的式子来表达数量关系），在对比中让学生感受到算术方法是将思维直接引向问题的解决，而方程则是顺着题意表达数量关系，在这个过程中自然而然地产生方程，从而给学生解题提供一种新的思路：不用围绕问题找信息、想算式，只需顺着题意来表达数量关系，写出方程，通过解方程，恰好可以解决某个实际问题。

二、建立模型，进一步强化方程思维的特点

【片段一】

教师出示：小王有72张邮票，是小红的3倍。请你用最直接、明白的式子来表示两者的数量关系。

学生呈现：72÷x=3或者3x=72。

继续提问：如果解这两个方程，恰好可以解决哪个问题？

完整呈现：小王有72张邮票，是小红的3倍。小红有多少张邮票？

教师出示：白猫钓了128条鱼，白猫钓的鱼比花猫钓的少14条。用式子表示白猫和花猫钓鱼数量的关系。

学生呈现：x-14=128，x-128=14。

继续提问：如果求这两个方程的解，又可以解决哪个问题呢？

完整呈现：白猫钓了128条鱼，白猫钓的鱼比花猫钓的少14条。花猫钓了多少条鱼？

小结：刚才我们为了表示数量之间的关系，写出了相等关系的方程。而这些方程又恰好帮助我们解决了某个实际问题，看来方程就是用来表达某种数量关系的。

【设计意图】学生学习用方程解决问题的最大障碍是习惯了的算术方法。为了淡化这种条件反射，进一步强化方程思维方式的特点，特意在第二环节安排了两个强化练习，让学生继续用数学式子来表达数量关系，慢慢引导学生走进方程，进一步体会方程是表示数量之间相等关系的，这就是强化习得的过程，努力在学生头脑中植入方程思想。

【片段二】

教师出示：女生有60人，女生人数比男生的2倍多10人。请你用式子表示出男生和女生人数的关系。

学生呈现：2χ+10=60；60-2χ=10；60÷2-10=χ。

分别解读三个方程，学生感悟到前面两个方程能够清楚明白地表示出男女生人数关系，而第三个式子很费力地想求出男生的人数，但通过画线段图分析发现还是错的。

提问：学到这里，你对方程又有什么新的认识？

小结：看来今天又给我们提供了一种新的思路，不用围绕问题来想算式，而是可以顺着题意，表示数量关系。

【设计意图】方程思维优势在于：无论题目中的条件有多么复杂，用方程解决问题只需要一个等量关系。无论什么问题，一旦使用方程方法，无需“步步为营地逼近问题”，只要理顺题中已知与未知的关系，用字母代替未知量即可，思维难度大大降低，这个实际情境就很好地体现了这一特点。

学生在分析这题的数量关系时，尽管最初并没有问题，但想到的还是用算术方法来解决问题，但对于究竟是“60+10”还是“60-10”，又或是“60÷2-10”犹豫不决。而此时如果寻找题中的数量关系，“男生人数×2+10人=女生人数”或者“女生人数-男生人数×2=10人”，用数学符号来表达关系就自然产生方程。通过对比，可以很清楚地看到，用算术方法解决这样的问题是需要逆向思考的，解决起来难度较大。而方程思维则比较顺畅：只要用数学的式子表示出题目中的等量关系，方程也随之产生，通过解方程问题也就迎刃而解了。通过这样的一个比较，学生从中感受到了方程的“好”，这也是教学最终要达到的目的。

三、尝试应用，初步建立方程思想

师：老师这儿还有两个实际问题，你能解决吗？（见下图）

要求：先独立完成，再交流；方程或算术方法都可以。然后规范用方程解决问题的基本格式：

【设计意图】结合上面两个环节，应该说学生对方程思维的特点有了一定的认知，对方程的“好”也有所体会。那么用方程解决问题的基本格式也是本课的一个教学内容，因此当学生对方程的“好”有所体会，愿意接受这一形式后，再告知其基本格式，并提出相应要求，也能解决学生“为什么要学方程”的问题，同时也是检测学生能否初步建立方程思想的手段。

【课后反思】

史宁中教授曾经说过，以往的方程教学设计思想的一个误区，在于把思路搞反了：方程的教学本应该“先是进行生活中的提炼，然后到数学表达，到形式化的过程，再到最终解决方程问题”，而不是“先给出形式化的方程定义，然后解形式化的方程，最后再进行方程的应用”。本课的教学努力凸显的正是这一种思维模式。

1.植入并强化。 如果把方程视作解决问题的一种策略，那么学生喜欢算术方法也无可厚非，因为方程和算术同样是解决问题的策略，更何况算术方法是习得已久的策略，驾轻就熟。因此如果把方程视作解决问题的一种策略，学生势必会习惯于算术方法而不采用方程。从某种程度上说，方程仅仅是用数学符号来表示两件等价的事情，方程的“=”表示相等的关系，而算术中的“=”是求得某个结果。因此教学中不是直接指向问题的解决（学习用方程来解决问题），而是关键让学生体会到：用数学符号把要说的事情（即两件事情等价）表达出来，即形成方程。而这个方程恰好可以解决某个问题，在头脑中植入方程思维方式，继续再通过几个习题进行强化巩固。

2.比较并内化。方程的“解”“设”以及利用等式性质解方程的烦琐常常令学生对方程敬而远之，然而作为方程，它具有化逆为顺、易想易列的特点，因此有必要让学生感受这一优势，扫除学生心理障碍。简单的题目学生并不能感受到这一优势，因此教学中选择了“女生有60人，女生人数比男生的2倍多10人，男生有多少人？”这一素材能充分体现方程思维优于算术方法；同时通过独立做课本“做一做“的第1题和第2题，尝试检测学生能否将方程思想有所内化。

当然，本课仅仅是通过两三个典型的问题，再现方程建模的过程，努力让学生了解用方程解决问题的过程。方程思想的建立是一个长期的、不断深化的过程，并非一节课的教学就能形成，教师应当有意识地渗透在平时的教学实践中。

（浙江省桐乡市实验小学教育集团振东小学 314500）