中考新定义抛物线问题探析

邓文忠

在近年的中考题中，涌现出了许多创意新颖、颇具魅力的新定义抛物线问题.主要考察学生阅读理解能力、应用新知能力、迁移应用能力和创新能力.解决这类问题的关键，一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情境的变化，通过认真思考进行思想方法的迁移.现就此类题提供四例，供学习参考.

1 同簇二次函数

例1 （2014年安徽）若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.

（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；

（2）已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求当0≤x≤3时，y2的最大值.

解 （1）本题是开放题，答案不唯一，符合题意即可，如：y1=2x2，y2=x2.

（2）因为函数y1的图象经过点A（1，1），则2-4m+2m2+1=1，解得m=1.所以y1=2x2-4x+3=2（x-1）2+1.

方法1 因为y1+y2与y1为“同簇二次函数”，所以可设y1+y2=k（x-1）2+1（k>0），则y2=k（x-1）2+1-y1=（k-2）（x-1）2.由题可知函数y2的图象经过点（0，5），则（k-2）×12=5.所以k-2=5.所以y2=5（x-1）2=5x2-10x+5.当0≤x≤3时，根据y2的图象可知，y2的最大值=5×（3-1）2=20.

方法2 因为y1+y2与y1为“同簇二次函数”，则y1+y2=（a+2）x2+（b-4）x+8（a+2>0）.所以-b-42a+2=1，化简得b=-2a.又32a+2-b-424a+2=1，将b=-2a代入解得a=5，b=-10.所以y2=5x2-10x+5.以下同法1.

方法3 y1+y2=（a+2）x2+（b-4）x+8（a+2>0）.

因为y1+y2与y1为“同簇二次函数”，所以y1+y2=（a+2）（x-1）2+1=（a+2）x2-2（a+2）x+（a+2）+1（a+2>0）.所以b-4=-2（a+2），

8=（a+2）+1，解得：a=5，

b=-10.所以y2=5x2-10x+5.以下同法1.

点评 本题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化，考查了二次函数的性质（开口方向、增减性），考查了阅读理解能力.而对新定义的正确理解是解决第（2）小题的关键.

2 衍生抛物线

例2 （2014年漳州）已知抛物线l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线.

图1（1）如图1，抛物线y=x2-2x-3的衍生抛物线的解析式是 ，衍生直线的解析式是 ；

（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=-2x2+1和y=-2x+1，求这条抛物线的解析式；

（3）如图1，设（1）中的抛物线y=x2-2x-3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.

解 （1）y=-x2-3，y=-x-3.

（2）方法1 把y=-2x2+1代入y=-2x+1，得-2x2+1=-2x+1，所以x1=0，x2=1，所以衍生抛物线与衍生直线的交点坐标为（0，1）和（1，-1）.设所求抛物线解析式为y=a（x-1）2-1.把点（0，1）代入，得a=2.所以所求抛物线解析式为y=2（x-1）2-1=2x2-4x+1.

方法2 设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则顶点坐标为（-b2a，4ac-b24a）.

把y=-2x2+1的顶点（0，1）代入y=ax2+bx+c，得c=1.把（-b2a，4ac-b24a）代入y=-2x+1，得b1=-4，b2=0（不合题意，舍去）.所以把（-2a，a-4a）代入y=-2x2+1，得a=2.所以所求抛物线解析式为y=2x2-4x+1.

（3）方法1 存在.

图2因为y=x2-2x-3=（x-1）2-4，所以M（1，-4），N（0，-3）.如图2，作MA⊥y轴于A，直线n与y轴、OM分别交于B、C.因为OB=AB=2，直线n∥x轴，所以BC是△OAM的中位线.所以BC=12AM=12，OC=CM=12OM=172.

①当∠OMP1=90°时，△OBC∽△P1MC.所以BCCM=OCP1C，得P1C=172.所以P1（9，-2）.

②当∠P2OM=90°时，△P2BO∽△OBC.所以OBBC=P2BOB，得P2B=8.所以P2（-8，-2）.

③当∠OP3M=90°时，P3C=12OM=172，P3B=1+172.所以P3（1+172，-2）.

④当∠OP4M=90°时，P4C=P3C=172.所以P4（1-172，-2）.

综上所述，满足条件的点P共有4个，分别是（9，-2），（-8，-2），（1+172，-2），（1-172，-2）.

方法2 存在.设P（x，-2），如图2，作MA⊥y轴于A，作MD⊥n于D.因为y=x2-2x-3=（x-1）2-4，所以M（1，-4），N（0，-3）.

①当∠OMP=90°时，有OM2+PM2=OP2.所以17+4+（x-1）2=4+x2，解得x=9，所以P1（9，-2）.

②当∠MOP=90°时，有OP2+OM2=PM2.所以4+x2+17=4+（x-1）2，解得x=-8，所以P2（-8，-2）.

③当∠OPM=90°时，有OP2+PM2=OM2.所以4+x2+4+（x-1）2=17，解得x1=1+172，x2=1-172，所以P3（1+172，-2），P4（1-172，-2）.

以下同法1.

点评 要准确理解衍生抛物线与原抛物线的关系：衍生抛物线顶点为原抛物线与y轴的交点；衍生抛物线过原抛物线的顶点；衍生抛物线与衍生直线的两交点分别为衍生抛物线与原抛物线的交点.对第（3）问，“△POM为直角三角形”谁是直角不清楚要分三类讨论，一般考虑勾股定理，或相似三角形的对应边成比例及直角三角形斜边中线的性质列方程求得P点坐标.本题考查了一次函数、二次函数图象及性质、相似三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理及利用其表示坐标系中两点距离的基础知识，特别注意的是“求坐标系中两点距离”是近几年考试的热点，学生需熟练运用.

3 波浪抛物线

例3 （2014年抚州）如图3，抛物线y=ax2+2ax（a<0）位于x轴上方的图象记为F1，它与x轴交于P1、O两点，图象F2与F1关于原点O对称，F2与x轴的另一个交点为P2，将F1与F2同时沿x轴向右平移P1P2的长度即可得F3与F4；再将F3与F4同时沿x轴向右平移P1P2的长度即可得F5与F6；……，按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象F1，F2，…，Fn，我们把这组图象称为“波浪抛物线”.

图3（1）当a=-1时，

①求图象F1的顶点坐标；

②点H（2014，-3） （填“在”或“不在”）该“波浪抛物线”上；若图象Fn的顶点Tn的横坐标为201，则图象Fn对应的解析式为 ，其自变量x的取值范围为 .

（2）设图象Fm、Fm+1的顶点分别为Tm、Tm+1（m为正整数），x轴上一点Q的坐标为（12，0）.试探究：当a为何值时，以O、Tm、Tm+1、Q四点为顶点的四边形为矩形？并直接写出此时m的值.

解 （1）当a=-1时，

①y=-x2-2x=-（x+1）2+1，所以F1的顶点是（-1，1）.

②由①知：“波浪抛物线”的y值的取值范围是-1≤y≤1.所以点H（2014，-3）不在“波浪抛物线”上.

由平移知：F2：y=（x-1）2-1，F3：y=-（x-3）2+1，….

因为Fn的顶点横坐标是201，所以Fn的解析式是：y=（x-201）2-1.

此时图象与x轴的两个交点坐标是（200，0）、（202，0）.所以200≤x≤202.

图4（2）如图4，取OQ的中点O′，连接TmTm+1.因为四边形OTmQTm+1是矩形，所以TmTm+1=OQ=12，且TmTm+1经过O′，所以O′Tm+1=6.因为F1：y=ax2+2ax=a（x+1）2-a，所以Tm+1的纵坐标为-a.所以（-a）2+12=62，所以a=±35.因为a<0，所以a=-35.所以当a=-35时，以O、Tm、Tm+1、Q四点为顶点的四边形为矩形，此时m=4.

点评 本题考查的是二次函数综合题，熟知二次函数平移的性质、最值是解答此题的关键.

4 美丽抛物线

例4 （2009年茂名）已知：如图5，直线l∶y=13x+b经过点M（0，14），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…，Bn（n，yn）（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…，An+1（xn+1，0）（n为正整数），设x1=d（0

（1）求b的值；

（2）求经过点A1、B1、A2的抛物线的解析式（用含d的代数式表示）；

（3）定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”.

探究：当d（0

图5解 （1）因为M（0，14）在y=13x+b上，所以b=14.

（2）由（1）得：y=13x+14，因为B1（1，y1）在l上，所以当x=1时，y1=13×1+14=712，所以B1（1，712）.

方法1 设抛物线表达式为：y=a（x-1）2+712（a≠0），又因为x1=d，所以A1（d，0），所以0=a（d-1）2+712，所以a=-712d-12，所以经过点A1、B1、A2的抛物线的解析式为：y=-712d-12（x-1）2+712.

方法2 因为x1=d，所以A1（d，0），A2（2-d，0），所以设y=a（x-d）（x-2+d）（a≠0），把B1（1，712）代入：712=a（1-d）（1-2+d），得a=-712d-12，所以抛物线的解析式为y=-712d-12（x-d）（x-2+d）.

（3）存在美丽抛物线.

由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三角形，所以此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半.

又因为0

因为当x=1时，y1=13×1+14=712<1，当x=2时，y2=13×2+14=1112<1，当x=3时，y3=13×3+14=114>1，所以美丽抛物线的顶点只有B1、B2.

①若B1为顶点，由B1（1，712），则d=1-712=512；

②若B2为顶点，由B2（2，1112），则d=1-[（2-1112）-1]=1112.

综上所述，d的值为512或1112时，存在美丽抛物线.

点评 本题主要利用了二次函数的对称性，以及等腰直角三角形的性质，要结合图形进行分析.

由以上几例看到，中考新定义抛物线问题要注意抛物线三种形式（一般式、顶点式、两根式）的灵活选用，这是基础，同时要切实掌握抛物线的性质并注重与其它知识的综合.随着新课程标准的实施，数学教育要坚持德育为先、全面发展、能力为重、以人为本、与时俱进.而新定义试题能较好地体现新课程标准的基本理念，注重培养学生的数学思考、数学能力和数学素养.同时，此类题并不神秘，表面上是我们没有见过的问题，但只要理解了新定义并紧扣新定义，就可将其转化为我们熟悉的二次函数问题.这类问题具有探究价值，对应用新知识解决问题的能力提出了较高的要求，具有良好的效度和区分度.这要求我们在平时学习中要夯实四基，注重能力和数学思想方法的学习以及应用意识，以不变应万变.

练习 （2011年南平）定义：对于抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），若b2=ac，则称该抛物线为黄金抛物线.例如：y=2x2-2x+2是黄金抛物线.

（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式 ；

（2）若抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；

（3）将黄金抛物线沿对称轴向下平移3个单位，

①直接写出平移后的新抛物线的解析式；

②设①中的新抛物线与y轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，动点Q在对称轴上，问新抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB全等？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

答案 （1）如y=x2，y=x2-x+1，y=x2+2x+4等；

（2）当b=0时，此时抛物线与x轴有一个公共点；当b≠0时，此时抛物线与x轴没有公共点；

（3）①y=2x2-2x-1；②存在.有四个符合条件的点P的坐标：（0，1），（1，-1），（-12，12），（32，12）.