方差公式的若干应用

吴健

学习了方差公式，有些学生往往只局限于具体的数字计算之中，没有体会其中的奥妙，实际上方差公式在数学解题中有着广泛的应用.大家知道，如果一组数据x1，x2，x3，…，xn，其平均数为

=1n（x1+x2+x3+…+xn）.

①

方差为S2=1n[（x1-）2+（x2-）2+（x3-）2+…+（xn-）2].

②

此方差公式可简化为

S2=1n[x21+x22+x23+…+x2n）-n2].

③

①代入③得S2=1n[x21+x22+x23+…+x2n）-1n（x1+x2+x3+…+xn）2].

④

显然，S2≥0，当且仅当x1=x2=x3=…=xn时，S2=0.

公式④是极为实用的公式，一些数学问题妙用公式④来解，常能化繁为简，化难为易，且思路清晰，简洁明快.下面举例说明.

1 求字母的取值范围

例1 设实数a，b，c满足

a2-bc-8a+7=0， （1）

b2+c2+bc-6a+6=0，（2）

求a的取值范围.

解 ①+②得b2+c2=-a2+14a-13，

②-①得（b+c）2=（a-1）2.

由公式④知b，c的方差为

S2=12[（b2+c2）-12（b+c）2]

=12[（-a2+14a-13）-12（a-1）2]

=-34（a2-10a+9）.

因为S2≥0，所以-34（a2-10a+9）≥0.即a2-10a+9≤0，解得1≤a≤9.

2 判断三角形形状

例2 若△ABC的三边a，b，c满足b+c=8，bc=a2-12a+52，试问△ABC的形状（按边分类），并证明你的结论.

解析 △ABC是等腰三角形，证明如下：

由已知得b2+c2=64-2bc=64-2（a2-12a+52）=-2a2+24a-40.

由公式④知b，c的方差为

S2=12[（b2+c2）-12（b+c）2]

=12[（-2a2+24a-40）-12×82]

=-（a-6）2.

因为S2≥0，所以-（a-6）2≥0.所以（a-6）2=0，即a=6.所以S2=0，从而b=c=4.故△ABC是以a为底，b，c为腰的等腰三角形.

3 求值

例3 已知实数a，b，c满足a=2b+2和ab+32c2+14=0，求bca的值.

解 因为a-2b=a+（-2b）=2，ab=-32c2-14.所以a2+4b2=（a-2b）2+4ab=（2）2-23c2-1=1-23c2.

所以a与-2b的方差为

S2=12[（a2+4b2）-12（a-2b）2]

=12[1-23c2-12（2）2

=-3c2.

所以S2+3c2=0，所以S=c=0.此时a=-2b=22，所以原式=0.

4 求最值

例4 若实数a，b，c，d，f满足条件a+b+c+d+f=8和a2+b2+c2+d2+f2=16，求f的最值.

解 由题设可知a+b+c+d=8-f，a2+b2+c2+d=16-f2.

由公式④知a，b，c，d的方差为

S2=14[（a2+b2+c2+d2）-14（a+b+c+d）2]

=14[（16-f2）-14（8-f）2]

=-516f（f-165）.

因为S2≥0，所以-516f（f-165）≥0.

解得0≤f≤165.故f的最大值为165.

5 证明有关问题

例5 设32≤a≤5，证明不等式2a+1+2a-3+15-3a<219.

证明 将a+1，a+1，2a-3，15-3a视为一组数据，由方差公式④知，这四组数据的方差为

S2=14[（a+1）+（a+1）+（2a-3）+（15-3a）-14（a+1+a+1+2a-3+15-3a）2]

=14[（a+14）-14（a+1+a+1+2a-3+15-3a）2].

因为S2≥0，所以（a+1+a+1+2a-3+15-3a）2≤4（a+14）.

即a+1+a+1+2a-3+15-3a≤4a+56≤76=219.

显然，第一个不等式中的等号不能取得，因为它成立的条件是四个数据的值相等，所以2a+1+2a-3+15-3a<219.

6 解方程（组）

例6 解方程4（x+y-1+z-2）=x+y+z+9.

解 设x=a，y-1=b，z-2=c.则x=a2，y=b2+1，z=c2+2.

原方程化为4（a+b+c）=a2+b2+c2+12，即a2+b2+c2=4（a+b+c）-12.

由公式④知a，b，c的方差为

S2=13[（a2+b2+c2）-13（a+b+c）2]

=13[4（a+b+c）-12-13（a+b+c）2]

=-19（a+b+c-6）2.

因为S2≥0，所以-19（a+b+c-6）2≥0.所以（a+b+c-6）2≤0.

而（a+b+c-6）2≥0，所以a+b+c=6.所以S2=0，从而a=b=c=2.

故x=4，y=5，z=6，经检验均是原方程的解.

例7 解关于x，y，z的方程组

2x+3y+z=13， （1）

4x2+9y2+z2-2x+15y+3z=82，（2）

解 由①得2x+（3y+3）=16-z.

①+②得（2x）2+（3y+3）2=-z2-4z+104.

由公式④知2x，3y+3的方差为

S2=12{[（2x）2+（3y+3）2]-12[2x+（3y+3）]2}

=12[（-z2-4z+104）-12（16-z）2]

=-34（z-4）2.

因为S2≥0，所以-34（z-4）2≥0.所以（z-4）2=0，即z=4.

所以S2=0，从而2x=3y+3，把2x=3y+3，z=4代入①中求得y=1，进而求得x=3.

所以方程组的解是x=3，y=1，z=4.