利用“剥层法”求复合函数的导数

张小玲

【关键词】 数学教学；“剥层法”；复合函数；导数

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C

【文章编号】 1004—0463（2015）13—0123—01

函数的导数问题在整个高中理科知识体系中占有十分重要的位置.从极限角度看函数的导数是函数增量与自变增量趋于零时的极限，从而是一类特殊的函数极限；从几何角度看，函数的导数表示曲线切线的斜率；从物理的力学问题上看，路程函数的导数是速度，速度函数的导数是加速度.因此，学好导数至关重要.然而在实际教学中，笔者发现学生普遍认为复合函数的求导过程复杂，容易搞错求导的顺序与方向，容易丢项漏项等等，而这些问题反过来又加深了学生对于复合函数求导问题的畏惧心理。笔者结合多年教学中的经验，经过思考和研究，设计了一套针对复合函数求导问题的整体教学方法——变量代换基础上的“剥层法”，收到了教好的教学效果，现介绍如下.

一、复合函数概念的引出

对于函数y=f [φ（x）]，令u=φ（x）·若y=f（u）是中间变量u的函数，u=φ（x）是自变量x的函数，则函数y=f [φ（x）]是自变量x的复合函数.

二、对复合函数“代换剥层”

判断复合函数的复合关系，进行分层的一般方法是：从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样层层分析，最里层应是关于自变量的基本函数或关于自变量的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数.

例1 对复合函数y=sin5（1-）分层.

分析：可以设y=u5，u=sin（1-），但显然此时u仍然是x的一个复合函数，因为我们最终是要对x求导，所以我们需要接着分层.

解：令y=u5，u=sinv，v=1-.

例2 对复合函数y=分层.

解：令y=，u=1-v，v=3x.

“代换剥层”过程的总结：

1.对函数变量代换剥层后，我们得到了y、u、v等函数，这些函数的自变量都不一样，所以求导时要特别注意对每个函数的求导分别是该函数对哪个自变量求导；

2.因为最终是要得到y对x的求导结果，所以分层过程结束后，最后一个分层函数必须是以x为自变量，且易于对x求导的简单函数.

三、利用复合函数的求导法则对已分层函数“逐层求导，结果相乘”

首先应认识并理解复合函数的求导法则：一般地，复合函数y=f [φ（x）]对自变量x的导数y′x，等于已知函数对中间变量u=φ（x）的导数y′u，乘中间变量u对x的导数u′x，即y′x=y′u×u′x.这个公式符合链条法则，即y′x=y′u·u′v·v′x，以此类推.

对函数分层后，函数y对u求导的结果为y′u，这个过程相当于我们“剥开了”这个复合函数的第一层；接着，我们将函数u对v求导，即“剥开了”函数的第二层.这样层层递进，对每层函数的对应自变量求导，最终得到各个剥层后的函数的求导结果.将这些“剥下来”的各层导数全部相乘，我们将得到复合函数的求导结果.

下面我们在实例中讲解这个方法的运用.所用复合函数为上面已经分好层的函数例1和例2.

例 对复合函数y=sin5（1-）求导.

分析：在例1中已经得到了该函数的三个分层函数，也知道了复合函数的求导公式y′x=y′u·u′v·v′x，接下来只需要分别求第一层：y′u，第二层：u′v，第三层：v′x，最后将结果相乘即可.

解：令y=u5，u=sinv，v=1-，

∴ y′u=5u4 （第一层）

u′v=cosv （第二层）

v′x= （第三层）

∴ y′x=y′u·u′v·v′x

=5u4·cosv·=5·（sinv）4·cos（1-）·

=·sin4（1-）·cos（1-）

“逐层求导，结果相乘”过程的总结：

1.逐层求导中的每一步都要明确是对哪个变量求导，最好和例3和例4的计算过程一样将求导函数和自变量以y′x，y′u、u′v、y′x这种形式表示出来；

2.在求出各层导数并运用y′x=y′u·u′v·y′x（复合函数求导公式）以后，要注意将所有中间变量重新换回x这个自变量，即需要进行一步“化掉未知”的过程，因为u、v等中间变量是我们为了计算方便而假设出来的，并不是题目中已知的，相当于“未知数”，答案中不能含有未知数，也就不能含有这些中间变量.

在上述讲解的整个过程即是复合函数的剥层法，由简单的四个步骤组成，即代换剥层，逐层求导，结果相乘，化简未知.当然，复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不用再写出函数的具体分层或者复合过程了.编辑：谢颖丽