洞悉数学中两类题型的规律

2015-08-24 01:13卢丽丽
中学课程辅导·教师通讯 2015年11期
关键词:分析问题题海创造性思维

卢丽丽

【内容摘要】生活中的规律无处不在,只要我们能够发现规律,并且主动去运用规律,生活会变得有条理、简单愉快。数学也是如此。

【关键词】规律 分析问题 创造性思维 题海

以前我总是为了讲题而讲题,题目一题一题的做,一题一题的讲,讲完了,学生也把书中的、练习册中的题目做完了,但是收效甚微,相信很多老师也是这样做的。我们总是感觉有做不完的题目,并且学生每天做大量类似的题目,不仅浪费时间、精力,还会让学生产生倦怠感。长此以往,学生会产生厌学情绪,要是想学好数学,那简直是空中楼阁。

随着对这些题目的深入研究,我发现,题目是可以归类的,有很多规律可循,如果我们找到了这些规律,学生就没有必要做那么多的重复劳作,并且见到一个题目立刻能知道它属于哪一类,它的解题方法是什么。这样我们就可以把题海变成题河了。相信这也是每一位数学教师的追求。学生再也不用在题海里挣扎了。这样既能节省学生学数学的时间,又能锻炼学生的数学思维能力,归纳概括能力等等多种能力。这样就能起到事倍功半的效果。所以我们当老师的要善于总结规律。

【规律一】

苏教版八年级数学课本第八十页例题4。已知:如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F。求证:四边形AFCE是菱形。

这一个题目我们可以归结为:如果一个四边形满足条件——一组对边平行,一条对角线是另一条对角线的垂直平分线,那么结论是——这个四边形是菱形。方法——证明对顶点的一对三角形全等。

以上这个规律记住了,一系列的题目都会解决了。

如:在梯形ABCD中,AB∥CD,BC=CD,AD⊥BD,E为AB中点。四边形BCDE是菱形吗?为什么?

这一题,由BC=CD,可以得到点C在BD的垂直平分线上,由AD⊥BD,E为AB中点。可以得到DE=EB,所以点E在BD的垂直平分线上,故CE所在的直线是DB的垂直平分线,有由于AB∥CD,所以这一道题可以转化到上面所说的那种题型,也就容易解决来了。

又如,在△ABC中,AD是角平分线,E是AB上一点,且AE=AC,EG//BC,EG交AD于点G,求证:四边形EDCG是菱形。

此题由AD是角平分线,AE=AC,可以得到AD所在的直线是EC的垂直平分线,在加上EG//BC,这又符合我们的规律。

【规律二】

案例1:苏教版七年级数学课本第六章《平面图形的认识》的第一节课“线段、射线、直线”中,我们数线段的条数(要有规律去数):线段上只标出2个点时,线段的条数为1;线段上标出3个点时,线段的条数为1+2;线段上标出4个点时,线段的条数为1+2+3;……所以我们可以推出:线段上标出n个点时,线段的条数为1+2+3+4+…+(n-1);这个式子很长,是高中要学习的等差数列的求和问题,要给学生讲清楚它的答案为什么是n(n-1)/2,现在来说很难,所以我们只能要求学生牢记这个答案了。

案例2:在第六章《平面图形的认识》的第二节“角”中,认识完角之后,我们要数角的个数(有规律去数):只有有公共端点的2条射线构成角时,角的个数为1;只有有公共端点的3条射线构成角时,角的个数为1+2; ……,只有有公共端点的n条射线构成角时,角的个数为1+2+3+4+…+(n-1 = n(n-1)/2;

案例3:若平面内有3个点,过其中任意两个点画直线,最多可以画(1+ 2)条直线;……;若平面内有n个点,过其中任意两个点画直线,最多可以画n(n-1)/2条直线。

案例4:3个小朋友在一起,每两人握一次手,他们一共握了多少次手?4个小朋友在一起呢?n个小朋友在一起呢?

这一题思考方法与案例3相同,结果也是n(n-1)/2

案例5:平面内有n条直线,设它们的交点个数为m,请用含n的代数式表示m的最大值。

分析:(如果没有要求表示m的最大值,这题就麻烦了)这题先从简单情况考虑:如果是2条直线,这时m的最大值为1;如果是3条直线,为了使m的值最大,就要使第一条直线和第二条直线相交,且第三条直线与前两条直线都相交,所以此时m的最大值为(1+2); ……如果是n条直线,为了使m的值最大,就要使第一条直线和第二条直线相交,第三条直线与前两条直线都相交,第四条直线与前三条直线都相交,……第n条直线与前(n-1)条直线都相交,所以此时m的最大值为:n(n-1)/2

只要学生遇到这类的题目,可以直接把答案填上去。这样既保证做对,又节省时间。

总之,苏教版七年级数学书中多次出现这类问题,如果学生没有掌握规律,不会上面的式子,要想解决这类题目可以说是无从下手。作为一名老师,这就是我们价值的体现之处了。首先我们应该把这类难题理解透彻,总结规律,然后再给学生讲解清楚。相信在考试中学生遇到类似的问题就可以迎刃而解了。难题之所以是难题,是因为学生平时很少碰,或是学生没有吃透题目的内在规律。很多的难题光是靠学生自己去领悟是不行的,毕竟学生的思维能力、创新能力和已有知识水平是达不到的。这就需要我们当老师的来做领路人了。

(作者单位:江苏省徐州市经济技术开发区实验学校)

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