以数学思维的分析带动具体知识的教学

牛献礼 中学高级教师，小学数学特级教师，现任教于北京亦庄实验小学。

曾于1999年荣获全国小学数学第四届评优课一等奖；多节录像课由中央电教馆、河南省电教馆、北京市电教馆等单位发行；2012年12月，在中国教育学会小学数学专业委员会第十五届年会上执教观摩课；在省级以上教育刊物上发表教学论文、案例等100多篇，40余篇论文获省、市级以上奖励，参与编著《名师如何观察课堂》《名师课堂DNA解码》（小学数学卷）、《可以这样教数学》（数学名师的教学智慧）等多本教育类书籍，主持的五项教育科研成果获省级一、二等奖。

案例：加法交换律

课始，由成语故事“朝三暮四”引出等式“3+4=4+3”。

师：像这样的等式你还能写出几个吗？

生：5+9=9+5，

8+2=2+8，

1亿+2亿=2亿+1亿，

……

师：这样的例子能举出多少个？

生：无数个。

师：观察这几个等式，你发现了什么？

生：我发现“=”两边的数都一样，只不过颠倒了一下位置。

师：哦，这两个加数的位置交换了。

生：“=”两边的结果都一样。

师：你怎么知道两边是相等的啊？

生：可以算啊！

师：是不是每次都要算啊？

生：不一定都要算。

师：那你为什么这么肯定“两边是相等的”？能不能找到一个“反例”，左右两边的两个数相加后结果不一样？

生：肯定找不到反例！因为左右两边的数是一样的，只不过是位置换了，加起来结果当然一样。

师：说得有道理！我们可以举出无数个这样的例子，但又举不出一个“反例”，说明这是加法的一个规律。谁能把这个规律完整地说一说吗？

生：两个数相加，交换它们的位置，结果不变。

师：总结得真好！知道这个规律叫什么名字吗？它叫作“加法交换律”。

（出示）两个数相加，交换加数的位置，和不变。这叫作加法交换律。

师：你能用自己喜欢的方式表示出加法交换律吗？在练习纸上写出来。

学生独立思考，然后全班交流，让学生讲一讲“自己是怎么想的”。

生1：□+○=○+□。

生2：A+B=B+A。

生3：梨+苹果=苹果+梨。

生4：用画图的方法，小树叶+大树叶=大树叶+小树叶。

追问：你是画图表示的，我想问问，左边的小树叶跟右边的小树叶一样吗？大树叶呢？

生4：小树叶和小树叶一样，大树叶和大树叶一样，代表相同的数。

生5：a+b=b+a。

生6：甲数+乙数=乙数+甲数。

……

师：同学们很爱动脑筋，想出来这么多的表示方法！在数学上，习惯用字母表示加法交换律，通常写成“a+b=b+a”。与前面用一段文字表示“加法交换律”相比，你更喜欢哪一种？为什么？

生：喜欢用字母表示，这样简单、好记。

师：确实，用字母这种数学语言来表示更加简洁，也便于交流。所以，有人说“数学语言是世界上最简洁、最美丽的语言”。

师：加法里有交换律，其他运算中会有交换律吗？先自己想一想，然后在小组里讨论一下。

学生思考、讨论后，全班交流。

生：乘法里有交换律，比如3×5=5×3。减法和除法里没有交换律，5-3不能写成3-5，6÷2不能写成2÷6。

师：说得真好！加法和乘法关系密切，乘法本身就是几个相同加数的简便运算，所以，加法的交换律可以推广到乘法里去，但减法和除法里就没有交换律。看来，规律有它的适用范围，我们在使用时一定要注意。

……

思考：

加法交换律乃至整个运算律的教学，一般都是集中于“规律的发现和检验”，尤其注重对相关猜想进行验证，引导学生“有了猜想，还需要举很多例子来验证，这样得出的结论才准确”，“举例验证时，例子应尽可能多，而且，应尽可能举一些特殊的例子，这样，得出的结论更可靠”。其实，无论就教材或是实际教学而言，所说的“加法交换律”早已得到了默认。如学生自一年级开始学习加法以来就反复地接触到了9+1=1+9=10等事实，教师在教学中也常常会给学生这样的建议：为了保证运算的正确性，可以通过交换加数的位置对已有结果进行检验，如用328+289的计算去检验289+328计算结果的正确性。在这样的情况下，我们应该怎样进行“加法交换律”的教学呢？

首先，教学不应集中于“规律的发现和检验”，而应通过教学促成学生由原先对相关规律的不自觉认识转向更为自觉的状态。也就是说，一方面，要鼓励学生用自己的语言清楚地表述规律，包括由自然语言向符号语言的过渡；另一方面，要引导学生说出自己的理解和感受，乃至给出自己的比喻。

其次，尽管小学数学教学不强调严格的证明，但对规律的验证也是必要的。教学中，应鼓励学生对发现的规律作出自己的理解与说明，并通过“可以举出无数个这样的例子（正例），同时又举不出一个反例”，帮助学生理解运算律的合理性。

最后，对加法交换律（或其他运算律）作出新的推广或发展，帮助学生更好地认识相关规律的适用范围，从而切实防止对规律的不恰当推广。

进一步，由这节课的教学推想开去：我们应当用“联系”的观点指导具体的教学。“在教一个知识点的时候应该把知识看作一个包，而且要知道当前的知识在知识包中的作用。你还要知道你所教的这个知识受到哪些概念或过程的支持，所以你的教学要依赖于强化并详细描述这些概念的学习。当教那些将会支持其他过程的重要概念的时候，你应该特别花力气以确保你的学生能够很好地理解这些概念，并能熟练地执行这些过程。”（马立平，《小学数学的掌握和教》）比如，上述加法交换律的教学从一开始就确定了研究问题的视角，将学生的注意力引向以下研究方向：从众多例子中发现规律、找反例验证规律、用自己个性化的方法表述规律、思考能否推广到其他运算中去，等等。一旦这些共识达成，剩下的工作就十分简单了，只需要“让学生借助经验展开数学的想象”，就能够迁移到后续更多运算律的学习当中去了。

综上所述，我们应当以数学思维的分析带动具体知识内容的教学，从而帮助学生不仅能够较好地掌握相关的知识与内容，也能逐步学会数学地思考：应当超出每一堂课的具体设计并从更大的范围进行分析思考。如此，教学因为有了一定的广度，也就可能达到更大的深度。