数学思考——数学教学的应然追求

胥传翠

[摘 要]

数学规定、计算法则是数学教学的主要内容之一，如何在其教学过程培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，关键在于循序渐进经历法则形成的过程，追根溯源明晰数学规定的缘由，在追问和求解中深入理解规定、法则，同时发展学生的数学思考。

[关键词]

数学思考；数学规定；计算法则

前不久，笔者参加了我区的教学综合督导活动，听了同一所学校两位教师执教的同一教学内容——《两位数加减两位数（不进位、不退位）》，本节课的教学重点是让学生经历探索两位数加减两位数（不进位、不退位）笔算方法的过程，能用竖式正确进行计算。这是一年级下册100以内的加法和减法单元中重要内容之一，说它重要，因为这是小朋友第一次接触用竖式计算，是后面学习两位数加减两位数（进位和退位）的知识基础。

两位老师均能根据一年级小朋友的年龄特征，创设有趣的故事情境串联整节课，并且在探究算法的过程中用摆小棒、计数器上拨珠的方法使学生理解十位上的数与十位上的数相加，个位上的数与个位上的数相加的算理，在此基础上教学列竖式计算，并总结出列竖式时要注意个位和个位对齐，十位和十位对齐，计算时要从个位算起。整个教学环节紧凑而又不失生动，小朋友的兴趣浓，学习效果也非常好。

但教学过程中的两个重要教学环节引发了笔者的思考。

【环节一：竖式的书写格式】

回放：

师：像“45+31”的这样横着写的算式，我们也可以竖着写，就像砌房子一样，45写在上面第一层（板书45），31写在下面一层，并且要注意个位上的1和5对齐，十位上的3和4对齐（板书31），等于号用横线表示。

师边讲解边示范：

反思：

列竖式时应该注意相同数位对齐，但为什么要相同数位对齐呢？最根本的原因是便于计算时个位上的数相加和十位上的数相加，可教师采取这样讲解示范的教学方式，不仅与前面的摆小棒和拨珠的环节脱节，更重要的是学生对其缘由并没有切身的体验和深刻的认识。

其实在前面摆小棒和拨珠的过程中，学生已经有相同数位对齐的意识，如摆小棒时，学生是把整捆和整捆对齐，单个和单个对齐；拨珠时先拨出45，然后又在个位上拨1个，十位上拨3个，所以，在这个教学环节，教师完全可以半扶半放让学生尝试写竖式。教师在告诉学生像“45+31”这样的算式也可以竖着写，45写在上面，31写在下面，教师板书出45后，可以让学生尝试写31，可能出现下面三种情况：

然后引导学生联系摆小棒、拨珠以及口算的过程，讨论哪种竖式最好，为什么？再在讨论交流的基础上形成共识，总结得出个位和个位对齐，十位和十位对齐，这样不仅将列竖式和之前学习的口算结合起来，而且将抽象的竖式书写与直观的摆小棒、拨珠的过程联系起来，经历了一次由具体形象思维到抽象思维的数学化过程。

【环节二：笔算的计算方法】

回放：

师：小朋友们，我们应该从哪个数位开始算呢？（未等学生回答）是啊，应该先算个位上的5加1等于6，再算十位上的4加3等于7，并完成板书

反思：

列竖式计算加减法的计算法则是：相同数位对齐，从个位算起，满十进一（不够减向前一位退一），所以教师严格根据计算法则组织教学，强调从个位算起。然而作为教师应该思考的一个问题是：为什么要从个位算起？对从个位算起这样的认识是一步到位，还是在不断的计算、冲突中逐步认识呢？“对于先算个位或先算十位的都要加以肯定”（教师用书语），可见本节课两位数加减两位数（不进位、不退位）的重点之一是让学生认识到相同数位上的数相加，而从个位算起则是两位数加减两位数（进位、退位）课时的教学内容，学生在计算、比较中发现由于要进位或退位，先算十位不方便，最终从感性和理性上认同从个位算起。

曾有幸聆听数学王子张齐华“问题哪去了”的讲座，感触颇深。是啊，当我们感慨学生缺少发现问题、提出问题的意识和能力的时候，有没有反思自己的教学行为呢？是不是在不经意间将学生的问题意识扼杀在了萌芽状态呢？类似于上述的教学案例不在少数，当教师面对一些计算法则、数学规定等教学内容时，为了课堂教学的顺畅，害怕旁逸斜出，将一些自己认为司空见惯的、应该如此的计算公式、法则或数学规定直接告知学生，而对于学生可能出现的困惑和疑问置之不理，久而久之，学生便学会了等待和接受，忘却了追问和求解。那针对这样的课型，作为教师应该如何引领学生数学思考呢？笔者认为应该做到以下两点。

一、循序渐进，经历计算法则形成的过程

教材中的计算法则，是在前人无数次的实践、研究的过程中发现并总结出来的，它呈现在我们面前的仅仅是前人发现的一个结论，但事实上它经历了肯定——否定——否定之否定、片面到全面的认知过程，在这过程中必定存在着实践中总结、应用中质疑、比较后提炼的思维活动。例如，上则案例中两位数加减两位数的计算法则，学生在对不同竖式的比较过程中认识到相同数位对齐和相同数位上的数相加的重要性，再在不同类型（不进位与进位、不退位与退位）的计算比较过程中提炼出先从个位算起的计算法则，在比较、提炼的过程中，学生自然解决了为什么要相同数位对齐，从个位算起的问题。

二、追根溯源，明晰数学规定的缘由

在我们小学阶段有许多数学规定，很多老师觉得规定就是规定，没有什么特别的缘由。其实每一个规定都有其内在的原因。

例如，在四年级教材上，素数和合数，教材上是这样定义的：只有1和它本身两个因数，这样的数叫素数，除了1和它本身两个因数外还有其他的因数，这样的数叫合数。许多教师认为没有什么特别的原因，就按照教材编排按部就班地组织教学，先找1～10以内各数的因数，然后按照因数的个数将这些数分为1、素数和合数三类。其实将自然数这样分类已经涉及到数论领域，虽然教师不需要讲解，但我们应该设计相应的教学环节，如将2、3、8个正方形摆成长方形，再根据摆成长方形的情况（2、3个正方形只能摆一种长方形，8个正方形可以摆两种长方形）将这三个数进行分类，解答学生可能出现的“为什么自然数可以按因数的个数分类”的疑惑。

再如，六年级确定位置中方向名词的规定：东北方向也叫做北偏东，西北方向也叫北偏西。曾听过这一教学内容的公开课，教师的处理方式是直接介绍，并将北偏东和东北、北偏西和西北两种命名方式进行比较，发现不同，再在此基础上让学生对东南、西南重新命名。“为什么东北也叫做北偏东，而不叫做东偏北？”在这样的教学过程中，并不能达到“解惑”的目的。曾阅读过《小学数学教师》相关的文章，一位教师对此处的设计独具匠心，老师创设一个没有任何参照物的茫茫大海上航行的情境，这时只有指南针，问如果对东北方向重新命名，你打算用北偏东还是东偏北，为什么？学生在讨论交流中自然明白了这其中的原因。

老师们，千万莫让“公式、法则、规定”替代了学生“数学思考”，掩盖数学问题。“天下大事，必作于细。”每一个小的教学环节均有可能催生学生的数学思考。2011版课标指出，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要培养人的思维能力和创新能力，而学生自己发现和提出问题是创新的基础，独立思考、学会思考是创新的核心。作为教师，要用儿童的视角看世界，要像爱护小树苗一样细心呵护孩子的“好奇心”，鼓励他们提出问题，分析问题，并努力寻求解决问题的途径，真正在教学中落实新课标提出的“四能”要求。

[参 考 文 献]

[1]陈龙安（台湾）.创造性思维与教学[M].北京：中国轻工业出版社，1999.

[2]孙昌识，姚平子著.儿童数学认知结构的发展与教育[M].北京：人民教育出版社，2005.

[3]郑毓信，梁贯成.认知科学，建构主义与数学教育[M].上海：上海教育出版社，1998.

（责任编辑：李雪虹）