基θ－加细空间

何兆容，石鹏飞，曹赛男，2

(1.成都理工大学 管理科学学院，四川 成都 610059;2.成都理工大学 数学地质四川省重点实验室，四川 成都 610059)

0 引 言

紧空间是用覆盖性质来刻画的一类最基本的空间，比如数学分析中闭区间上的Heine-Borel 有限覆盖定理.但是满足这样条件的空间很有限.对此，学者们对紧空间做了一定的推广，如仿紧空间［1］、S－仿紧空间［2］、几乎仿紧空间［3］等，并对这些空间相应的刻画和性质做出了深入研究，随着拓扑学的不断发展，研究的内容和性质也更为丰富.例如，2003年，Porter 提出了基仿紧空间，并对其遗传性，乘积性和拓扑不变性作了一定的研究［4］.其后，曹金文等［5］和牟磊等［6］分别提出并研究了基中紧和基亚紧空间的相关性质.在此基础上，本研究再将基仿紧空间进一步推广，并定义了新的空间——基θ－加细空间，对其性质做了初步探讨，得出了一些结论.

1 预备知识

本研究所述的空间均为拓扑空间，表示为(X，T)，或简记为X.| B | 表示集族B 的基数.St(W，Aj)=∪{A ∶A ∈Aj，W ∩A ≠Ø}.ord(x，Vn)表示集族Vn中包含点x 的集合的个数.

定义1［4］空间X 是基仿紧空间，若存在X 的一个开基B，且| B| = ω(X)，X 的每一开覆盖U 具有由基B 中元素构成的局部有限开加细覆盖.

定义2［1］X 和Y 是2 个空间，f ∶X →Y 称为一个开映射(闭映射)，如果对于X 中的任何一个开集(闭集)U，像集f(U)是Y 中的一个开集(闭集).

引理1［1］设X 和Y 是2 个空间，f ∶X →Y 是一个闭映射当且仅当对任一y ∈Y 和每一个包含f－1(y)的开集U ⊂X，存在Y 中y 的一个邻域V，使得f－1(V)⊂U.

定义3［7］空间X 到空间Y 上的连续闭映射f ∶X →Y 称为完备映射，如果对每一y ∈Y，f－1(y)是空间X 的紧致子集.

引理2［7］设X 和Y 是2 个空间，f ∶X →Y 是一个连续映射.如果A 是X 的一个紧致子集，则f(A)是Y 的一个紧致子集.

2 主要结论

定义4 空间X 是基θ－加细空间:存在X 的一个开基B，且| B| = ω(X)，X 的每一开覆盖U 具有由基B 中元素构成的开加细覆盖序列，V ={Vn}n∈N，且对于每一x ∈X，存在n ∈N，使得，1 ≤ord(x，Vn)＜ω.

定义5 M 是空间X 的基θ－加细子空间:存在X的一个开基B，且| B | = ω(X)，M 的每一开覆盖U(U 中元素为X 中的开集)具有由基B 中元素构成的开加细覆盖序列，V = {Vn}n∈N(V 中元素为X 中的开集)，且对于每个x ∈M，存在n ∈N，使得，1 ≤ord(x，Vn)＜ω.

定理1 基θ－ 加细空间X 的每一个闭子集M都是X 的基θ－ 加细子空间.

证明 设U(U 中元素为X 中的开集)为M 的任一个开覆盖.因为M 为闭集，所以X－ M ∈(X，T)，从而U ∪{X－M}是X 的一个开覆盖.由假设，存在X 的一个开基B，且B = ω(X)，X 的覆盖U ∪{X－M}具有由开基B 中元素构成的开加细覆盖序列，V = {Vn}n∈N，对于每一x ∈X，存在n ∈N，使得，1 ≤ord(x，Vn)＜ω.显然，V = {Vn}n∈N也是覆盖U关于M 的由开基B 中元素构成的开加细覆盖序列，且对于每一x ∈M，存在n ∈N，使得，1 ≤ord(x，Vn)＜ω.故M 是(X，T)的基θ－ 加细子空间.

定理2 若M 是基θ－ 加细空间X 的一个闭子集，且ω(X)= ω(M)，则M 是基θ－ 加细空间.

证明 设U = {Uα}α∈A(Uα为M 中的开集)为M 的任一开覆盖.因为M 是X 的子空间，所以存在U'α∈(X，T)，使得，Uα= U'α∩M，显然，U ' ={U'α}α∈A∪{X－ M}是X 的一个开覆盖.因为X 是基θ－ 加细空间，所以存在X 的一个开基B，且| B| = ω(X)，U ' 具有由基B 中元素构成的开加细覆盖序列，V = {Vn}n∈N，且对每一x ∈X，存在n ∈N，使得，1 ≤ord(x，Vn)＜ω.令B|M= {B ∩M ∶B ∈B}，则是子空间M 的一个开基.显然，| B |M|≤|B| = ω(X)，根据文献［7］可知，| B|M|≥ω(M)，又根据假设ω(X)= ω(M)，所以| B|M| = ω(M).取Wn= {Bni∩M ∶Bni∈Vn⊂B}，n ∈N，W ={Wn}n×N是由M 的基| B|M| 中元素构成的M 的开加细覆盖序列.对每一Bni∩M ∈Wn，有Bni∩M ⊂Bni∈Vn，所以，对每一x ∈M，存在n ∈N，使得，1 ≤ord(x，Wn)＜ω.故M 是基θ－ 加细空间.

定理3 X 是X 的可数个基θ－ 加细闭子集并，则X 是基θ－ 加细空间.

证明 令X =∪i∈NFi，Fi是X 的基θ－加细闭子集.令U 是X 的任一开覆盖，则U 是Fi(i ∈N)的开覆盖.对于每一i ∈N，存在X 的一个基Bi，| Bi| =ω(X)，Fi的开覆盖U 具有开加细覆盖序列{Vi，n}n∈N，其中，Vi，n⊂Bi，Vi，n是Fi的覆盖;且对任一x ∈Fi，存在n ∈N 使得，1 ≤ord(x，Vi，n)＜ω.令A0= B0，i ＞0 时.取A =∪Ai，显然A 是X 的一个基，且| A| = ω(X).

下证A 是说明X 是基θ－ 加细空间的那个基.令W0，n= V0，n(n ∈N)，Wi，n= {B－∪j＜iFi，B ∈Vi，n，n ∈N}(i ＞0).令W*= {∪n∈NWn，jn}jn∈N，jn∈N，显然∪n∈NWn，jn⊂A.取i(x)= min{i ∈N，x ∈Fn}，x ∈X.

1)每一个∪n∈NWn，jn覆盖X.对于任一x ∈X，若i(x)= 0，则存在一个B 使得，x ∈B ⊂V0，j0⊂W0，j0;若i(x)＞0，则存在一个B 使得，x ∈B ⊂Vi(x)，ji(x)⊂∪n∈NWn，jn，所以x ∈B－∪j＜i(x)Fj⊂Wi(x)，ji(x)⊂∪n∈NWn，jn.因此每一∪n∈NWn，jn覆盖X.

推论1 X 是基θ－加细空间，M 是X 的一个Fσ集且ω(M)= ω(X)，则M 是一个基θ－ 加细空间.

证明 因为M 是X 的一个Fσ集，可令M =∪i∈NMi，其中，Mi(i ∈N)是基θ－加细空间X 的闭子集.由定理1，Mi是X 的基θ－ 加细子空间.U ={Uα}α∈A(Uα为M 中的开集)是M 的任一开覆盖，则存在U'α∈(X，T)，使得，Uα= U'α∩M，显然，U '= {U'α}α∈A∪{X－M}是X 的一个开覆盖.显然，U' 也是Mi的开覆盖.对于每一i ∈N，存在X 的一个基Bi，| Bi| = ω(X)，Mi的开覆盖U 具有开加细覆盖序列{Vi，n}n∈N，其中，Vi，n⊂Bi，Vi，n是Fi的覆盖;且对任一x ∈Fi，存在n ∈N 使得，1 ≤ord(x，Vi，n)＜ω.令A0= B0，i ＞0 时Ai= {B－∪j＜iFi，B ∈Bi}.取A =∪Ai，显然A 是M 的一个基，且| A| = ω(X)= ω(M).类似于定理1，可证A 是说明X是基θ－加细空间的那个基，故M 是一个基θ－加细空间.

定理4 f 是空间X 到空间Y 的一个完备映射.若Y 是基θ－ 加细空间，则X 是基θ－ 加细空间.

证明 因为Y 是基θ－ 加细空间，不妨设开基BY(BY是说明Y 是基θ－加细空间的那个开基)，由文献［1］知，ω(X)≥ω(Y).令BX是X 的任一开基且| BX| = ω(X).令B 'X= BX∪{f－1(B)∶B ∈BY}∪{f－1(B')∩B ∶B'∈BY，B ∈BX}.显然| B'X| = ω(X).令U = {Uα}α∈Λ是X 的任一开覆盖，则每个Uα可表示成BX中一些元素的并，不妨设U' = {U ∶U ⊂Uα∈U，U ∈BX}.因为f 是完备映射，所以f－1(y)是X 的一个紧子集，从而存在有限个元素，U1，U2，…，Ut，使得，f－1(y)⊂∪ti=1Ui.因为f 是闭映射，∪ti=1Ui是X 中的开集，由引理1 存在Y 中点y 的一个开集Vy使得，f－1(y)⊂f－1(Vy)⊂∪ti=1Ui.{Vy}y∈Y 是Y 的一个开覆盖，所以存在由BY中元素构成的加细覆盖序列，A = {An}n∈N，且对任一y ∈Y，存在n ∈N 使得，1 ≤ord(y，An)＜ω.对于任一n∈N，因为Y ∈An，显然f 是满的连续映射，根据文献［8］，

所以，每一{f－1(A)∶A ∈An}都是X 的开覆盖.令，f(x)= y.对于满足Ny＞ord(y，An)的自然数Ny，当i ＞Ny时有yAni∈An，从而f－1(y)∩f－1(Ani)= Ø，xf－1(Ani)，因此，1 ≤ord(x，f－1(A))＜ω.

对任一n ∈N，A ∈An，存在一点，y(A)∈A，f－1(y(A))是X 的一个紧子集，从而存在有限个元素U1，U2，…，UNy(A)，使得，f－1(y(A))由引理1，存在y 的一个开邻域Vy(A)，使得，f(y(A))⊂f－1(Vy(A))

令，Vn= {f－1(A)∩Ui∶A ∈An，i ∈1，2，…，Ny(A)}，显然，V = {Vn}n∈N是由B 'X中元素构成的U 的加细覆盖序列.任一x ∈X，存在n ∈N，An中至多有限个f－1(A)包含点x，而Ui(i = 1，2，…，Ny(A))为有限个，所以至多有有限个，f－1(B)∩Ut= Ø，即，1 ≤ord(x，Vn)＜ω.故X 是基θ－ 加细空间.

推论2 X 是紧空间，Y 是基θ－ 加细空间，则X× Y 是基θ－ 加细空间.

证明 令f 是X × Y 到Y 的一个投射.由文献［8］知，f 是一个满的连续开映射.再由文献［7］知，f是一个闭映射.因为对每一y ∈Y，f－1(y)= X ×{y}与紧空间X 同胚，且f－1(y)是X × Y 的子空间，由引理2 知，f－1(y)是X ×Y 的紧子空间.所以f ∶X ×Y →Y 是完备映射.又因为Y 是基θ－加细空间，由定理4知X × Y 是基θ－ 加细空间.

定理5 令X 是基θ－加细空间，Y 是σ 紧空间，则X × Y 是基θ－ 加细空间.

证明 令Y =∪i∈NCi，每一个Ci都是Y 的紧致子集.令BX是说明X 是基θ－ 加细空间的那个基，令BY是Y 的一个基，且| BY| = ω(Y).由文献［8］知BX× BY= {B1× B2∶B1∈BX，B2∈BY}是空间X × Y 的一个基，且| BX× BY| = ω(X × Y).令U是X×Y 中元素构成的X×Ci的任一开覆盖，则U 可表示成BX×BY中一些元素的并.不妨设，U ' = {U× V ∶U ×V ⊂U ∈U，U ×V ∈BX×BY}.因为{x}× Ci是紧致的，所以存在U ' 中有限个元素，U1×V1，U2× V2，…，Unx× Vnx(Ui× Vi∩{x}× Ci≠Ø，i = 1，2，…，nx)覆盖{x}× Ci，显然x ∈Ui.记Vx={V1，V2，…，Vnx}，Wx= {U1∩U2∩…∩Unx}，则W= {Wx∶x ∈X}是X 的一个开覆盖.因为X 是基θ－加细空间，可令A = {An}n∈N是由BX中一些元素构成的W 的加细覆盖序列，且任一x ∈X，存在n(x)∈N 使得，1 ≤ord(x，An(x))＜ω.对任一A ∈An，存在WA∈W，使得A ⊂WA.令{A × VA∶V ∈VA}，B = {Bn}n∈N，则每一个Bn都是X ×C1的覆盖，加细U ' 和U，因为VA中元素是有限的，所以，任一x ∈X，1 ≤ord(x，An(x))＜ω.故，X ×Ci是X × Y 的基θ－ 加细子空间.由定理1 知，X × Y 是基θ－ 加细空间.

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