一类具有非线性接触率的SEIR传染病模型

李冬梅++徐亚静++韩春晶

摘 要：考虑了染病者的非线性接触率及潜伏者存在因素的影响，建立了一类SEIR传染病模型，利用Lasalle不变性原理，自治收敛定理证明了无病平衡点及地方病平衡点的全局渐近稳定性，给出了模型分支存在充分条件，并通过数值模拟验证了结论的正确性.

关键词：非线性接触率；分支；全局稳定

DOI：10.15938/j.jhust.2015.02.022

中图分类号：0175

文献标志码：A

文章编号：1007-2683（2015）02-0115-06

O 引 言

传染病一直与人类的健康和社会发展息息相关，应用传染病动力学模型研究疾病传播规律一直是人们关注课题，传染病模型是根据发病机理建立起来的诸如SIR，SEIR，SEIRS等模型，其中接触率多被描述成双线性接触率psi形式，随着对疾病传播方式的深入了解及流行病学者的统计数据分析，疾病传播方式采用非线性接触率的研究疾病变化规律更符合实际问题，模型的结果更有一般性.根据传染特征不同非线性接触率有多种形式，如βSpIq，饱和发生率.CAPASSO等提出了某些烈性疾病（如霍乱，狂犬病）的发生率与生存环境等因素有关，用非线性接触率描述疾病传播过程更符合实际的.文研究了具有非线性接触率的传染病模型的全局动力学性质，给出无病平衡点与地方病平衡点全局稳定性充分条件，讨论了模型的分支问题，许多传染病具有潜伏期（如乙肝，肺结核），在此期间感染者症状不明显，不能忽略这类人群对疾病的传播效应，文研究带有非线性接触率的SEIS，SEIV传染病模型的稳定性问题，通过分析无病平衡点与地方病平衡点的全局渐近稳定性的充分条件，给出了易感者及染病者最终变化趋势，本文兼顾了两方面的特征，在已有的具有双线性发生率SIR模型基础上，建立了具有非线性接触率βSI（1+al）和潜伏期的SEIR传染病模型，研究模型的动力学性质.

1 模型的建立

KOROBEINIKOV研究了带有非线性发生率f（S，I）的SIR，SIRS传染病模型，没有考虑潜伏者人群对疾病的影响，给出模型基本再生数和全局渐近稳定的条件，在此模型基础上，考虑人口为常数输入，有因病死亡因素，潜伏者存在，非线性接触率具有形式βSI（1+αI）的，建立了如下SEIR传染病模型其中：S（t），E（t），I（t），R（t）分别表示t时刻的易感者、潜伏者、染病者、康复者；A表示人口的输入率；β表示接触率；μ表示自然死亡率；θ表示从潜伏者到染病者的染病率（1/θ表示潜伏期）；δ表示从染病者到康复者的治愈率；d表示因病死亡率；并且假设∧，α，β，μ，θ，δ，d都是正常数，N=S+E+I+R表示总人口数.

由生态意义模型（1）将在R4+中研究.将模型（1）4个方程相加得

则得到

由于模型（1）的前3个方程与R（t）无关，因此可以考虑如下模型

模型（2）的可行域为

是模型（2）的不变集.

2 主要结果

2.1 平衡点存在性

模型（2）的平衡点满足下列方程

由式（3）的第3个方程得E=堕±丛±盟，，将其代人式（3）的第2个方程得

当I=0时，由式（3）解得无病平衡点Po=（会，0，0）.

将其代人式（3）的第一个方程，解得如下关于，的一元二次方程

当Ro >1时，式（5）存在唯一正根（7）特征根均为负，则Po是局部稳定的.当Ro>1时，式（7）有一个正特征根，故Po是不稳定的.证毕.

定理3 当R01+丛1=l时，无病平衡点P。

肛是全局渐近稳定的，

证明：设L= OE+（β+μ）I，将L沿模型（2）求导得

2.3分支存在分析

微分方程

引理1 若方程（8）的雅可比矩阵有一个零特征根，其余特征根都有负实部且满足下列条件，则

1）当a>0，b>0时，若β

2）当α<0，b<0时，若β

3）当a>0，b<0时，若β

4）当a<0，b>0时，若β

当a<0，b>0时，在x=0处出现的分支称为前向分支；当a>0，b>0时，在x=0处出现的分支称为后向分支.

定理4 当μ>β'时，模型（2）在PO处产生后向分支；当μ<β'时，模型（2）在Pn处产生前向分支，其中

证明：当Ro=1时，由式（7）可解得模型（2）在Po点处雅可比矩阵J（Po，β'）对应特征方程的特征值为

设W=（w1，w2，w3）T是矩阵J（Pn，β'）的右特征向量，满足J（Po，β'）W=0，即有

设V=[v1，v2，V3]是矩阵J（Pn，'β）的左特征向量，满足VJ（PO，β'）=0，同理可解得

由式（3）可计算模型（2）在无病平衡点Pn处的二次偏导数

其它的二次偏导数均为零.

由式（9）、式（10）及式（11）可以计算