二维激光切割机的动态分形球面雕刻工艺*

李 斌，黄频波，徐如涛，钟希欢

(1.成都航空职业技术学院 航空维修系，四川 成都 610100；2.贵阳万江航空机电有限公司，贵州 贵阳 550018)

二维激光切割机的动态分形球面雕刻工艺*

李 斌1，黄频波1，徐如涛1，钟希欢2

(1.成都航空职业技术学院 航空维修系，四川 成都 610100；2.贵阳万江航空机电有限公司，贵州 贵阳 550018)

采用分形图形方法研究二维激光切割机的球面雕刻工艺，几何推导了球面等高量化后的分形尺寸，数值重建了等高量化后的三维台阶球面轮廓仿真图，在分形理论基础上，提出动态分形方法以降低量化阶数过大所产生的不利影响。结果表明，二维激光切割机用该方法进行3D球面雕刻具有一定的可行性。

二维激光切割机；动态分形；球面雕刻；量化阶数

激光加工技术是将高能量的激光束通过聚焦光学系统，使激光焦点照射到材料表面，利用激光产生的热效应实现对工件热加工的技术方法。由于其具有加工对象广泛、加工精度高、加工速度快和工效高等特点，自问世以来受到国内外学者的关注，并在工业精密加工领域不断深入发展[1-6]。激光加工3D曲面需要将激光器与先进的光学系统及自动化机构相结合来实现；其自动化机构要求具有多自由度多轴配置以及Z轴的高推进行程以满足工件的纵向加工深度以及加工宽度。球面加工是3D曲面加工中最平常的，而这种曲面往往也是需要购置多轴激光精密机床进行加工，这使得制造成本代价昂贵。因此，本文选择低成本的二维激光切割机，借鉴二元光学器件制作中的分形数字掩膜理论[7-11]，将三维高频曲面图形进行N阶量化得到一系列图形输入序列，在低自由度下模拟球面雕刻。此外，考虑到N阶分形会使得量化能级一旦确定，则要求Z轴推进以消除离焦锥形效应带来的激光切割深度不足以及加工宽度精度低等问题。本文在分形理论基础上，提出动态分形雕刻方法，即采用n(n

1 理论分析

根据数字掩膜理论，三维曲面的形成是由激光的激光能量分布所决定，其表达式为：

E(x,y)=I(x,y)t(x,y)

(1)

式中，E(x，y)是3D曲面所需的激光能量；I(x，y)和t(x，y)分别是激光强度和停留时间；x和y是空间坐标。

对于普通激光切割机或者雕刻机，一旦确定激光能级，即I(x,y)=I是定值，则3D曲面完全取决于停留时间在空间坐标的复杂分布。这种时间分布在本质上就是需要多自由度的自动化机构来实现，但恰恰普通激光切割机不具备高性能的自动化机构，因此激光切割机一般只能根据图形输入实现平面雕刻而无法实现三维曲面一次成型。然而，分形数字掩膜技术指出高频曲面图形可以进行N阶量化后得到N幅低频分形图形，其总的激光能量分布表达式为停留时间与相应低频分形图形光强分布之积的和，即：

(2)

式中，Ii(x,y)是低频数字图形的光强分布；ti(x,y)是对应低频数字图形的停留时间。

事实上，由于N无法趋近无穷，在加工中必然存在量化误差。对于球面一般有等距量化和等高量化。量化球冠几何关系如图1所示，对于等距量化，它要求有不同的台阶高度，这意味着N幅图形输入有不一样的激光能级以及长时间的测试取值，而且得到的台阶式球面误差较大。若激光光强I(x,y)恒定，则式2可变成：

(3)

式中，I是确定的量化光强。

假定I在恒定运行速度Δt条件下刚好对应单位加工深度Δh，则对于等高量化有：

(4)

得到等高量化后在水平方向上每一个环带半径ri，即为第i幅低频圆形图形尺寸为：

(5)

图1 N阶量化球面示意图

由于分形加工通常只有1个量化能级仍需要Z轴长程推进，否则因加工深度的局限而仅能制作小尺寸球面零件，同时考虑到激光的离焦后锥形效应对线宽精度影响，因此环带半径需根据实际测试适当补偿。此外，球面图形用N幅输入图形，可能在实际加工过程中会出现圆心不能很好重合，即存在定标误差累积影响球面加工外观；因此，采用动态分形方法提出n=log2N幅分形图形来加工球面。总的激光能量为：

(6)

球面分形图形中各环带激光能量分布见表1。

表1 球面分形图形中各环带激光能量分布

根据等高量化有N-1阶台分形阶，可以得到

(7)

式中，IΔt是单位激光量，对应的是1个单位台阶高度Δh。

由N=2n则上式变形可以写成：

(8)

从式8可知，选择n=log2N，代表着N幅分形图形可由n幅二进制分形图形所描述。同时，通过式8可以归纳出各幅动态分形图形激光切割时间的规律为tn=2n-1，这表示在恒定运动速度Δt条件下，需设置n幅分形图形中的能级强度以保证各幅图形的加工深度等于2i-1Δh(i=1、2、…、n)。

2 数值模拟分析

模拟参数设置为：球面结构高度H=16 mm，底面半径R2=32 mm，曲率半径R1=48 mm。若球面结构采用等高量化且量化阶数为N=16，则可以得到单位量化台阶高度△h=1 mm。使用MATLAB软件，根据计算得到的16环带直径和台阶高度数据重建出量化后台阶球面轮廓，如图2所示。根据量化分形理论，可以知道量化阶数越大，越能逼近真实的球面轮廓。16个同心圆如图3所示，台阶球面结构剖面如图4所示。

图3 16个同心圆

图4 台阶球面结构剖面

由图3和图4可知，对于等高量化，N取越大，各环带的间距会随着直径的增大急剧地变小。这就表示在实际加工过程中，不能一味地增大量化阶数N而不考虑激光切割机的极限线宽。因此，量化阶数N存在一个由极限线宽所决定的上限。虽然从理论上讲，数字分形技术利用N幅分形输入图形可以实现3D球面成型,但实际加工的高轮廓精度使得量化阶数N仍然会比较大，这可能导致出现一些问题。量化阶数N大，意味着台阶深度Δh小，则Z轴步进小且难以控制，若激光停留时间恒定，则需要将切割机能级强度设定在一个很低水平范围内。此外，阶数N大，说明需要输入很多幅分形图形，一方面非常耗时效率低，而另一方面各分形输入图形存在非相干性误差，比如环带的中心可能不重合，这样的累积误差会对球面加工精度造成很大的影响。故采用动态分形方法降低分形图形数目。

如图5和图6所示，原先需要输入16幅分形图，采用动态分形只用4幅输入图形就可以叠加加工球面结构；但每一幅输入图形需要激光停留的时间是不一样的。4幅图形的停留时间依次是前一幅图形的2倍。第1幅图形的停留时间可以称为单位停留时间，这是因为它刚好加工1个单位台阶深度。换而言之，假定激光切割机的运行速度恒定，这样每一幅动态分形图形都需要根据实际材料设置不同能级强度，而第1幅的能级强度恰恰可以加工1个台阶深度，此后每幅的能级强度能加工的深度是前一幅的2倍。动态分形的好处在于不仅降低了图形输入数目和累积误差，提高了加工效率，而且采用的是逐级增大的能级强度，意味着需要Z轴的推进行程小。

图5 动态分形掩膜技术加工台阶球面示意图

图6 4幅分形图叠加加工16台阶球面

3 试验验证

试验设备为激光切割机，切割时激光头只沿x和y方向运动。材料为有机玻璃。选择切割速度为1 000 mm/min，并选择不同的激光能量切割有机玻璃。测量切割深度，得到数据见表2。由表2可知，一般情况下，切割深度与激光功率成正比。

表2 切割速度为1 000 mm/min时，不同激光能量的切割深度

球面参数R1=48 mm，R2=32 mm，分成4层叠加加工，16个同心圆半径r1～r16值见表3。第1层雕刻加工r1～r2，r3～r4，r5～r6…r15～r16共8个环带区域。第2层雕刻加工r2～r4，r6～r8，r10～r12，r14～r16共4个环带区域。

表3 H=16 mm时的各圆半径值 (mm)

叠加雕刻加工后的有机玻璃实物如图7所示，从侧面图可以看出，球面轮廓的曲线基本完整。

a) 侧面图 b) 正面图

4 结语

论文采用分形图形方法将球面零件量化，为球面激光加工提供一种低自由度加工新方法，同时为二维普通激光切割机实现3D球面成型提供可能方案。研究表明，分形图形方法中的量化阶数N大，意味着输入图形数目多，以及台阶深度Δh小，会影响到时效和加工精度。动态分形方法在本质上是分形方法的二进制描述，若采用动态分形方法可以降低输入图形的数目，采用渐增的能级减小Z轴推进行程。此外，在实际加工过程中，应考虑激光的极限线宽和离焦效应，否则会影响到激光分形加工的精确性。

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*成都航空职业技术学院科研基金项目(061303Y)四川省教育厅资助科研项目(13ZB0053)

责任编辑彭光宇

DynamicFractalSphericalProcessingResarchof2DLaserCuttingMachine

LI Bin1，HUANG Pinbo1，XU Rutao1，ZHONG Xihuan2

(1.Chengdu Aeronautic Polytechnic，Chengdu 610100，China；2.Guiyang Wanjiang AviationElectrical Mechanical Co., Ltd.，Guiyang 550018，China)

Spherical work-piece of 2D laser cutting machine is analyzed by the fractal graph method. with equal high quantization, fractal geometric dimensions are deduced, and stepping spherical contour is also numerically reconstructed. In order to reduce the adverse impact of large quantitative order number, proposes dynamic fractal method based on the fractal method and theoretically illustrating its processing mechanism and characteristics.The results show that the 2D laser cutting machine to engraving 3D sphere has certain feasibility in this way.

2D laser machine, dynamic fractal, spherical engrave, quantitative order

TG 249

：A

李斌(1973-)，女，讲师，硕士，主要从事材料成型工艺和数值模拟等方面的研究。

2014-12-22