高中函数的对称性问题

（河北省怀安县柴沟堡第一中学076150）

高中函数的对称性问题

王丽云

（河北省怀安县柴沟堡第一中学076150）

在新课标高中数学中，对教材分析、函数的性质，其着重点是单调性、奇偶性、周期性，而在考试测验中，把高考中的函数对称性、连续性、凹凸性也进行了考查。主要研究了函数的对称性以及对称轴的选择。本文结合实践从以下几个方面阐述一下如何提高解决高中阶段函数对称性问题的措施。

高中数学对称性应用

一、对称性的定义

（一）对称性的定义

1.函数轴对称。对于函数的轴对称，我们通常的教法就是让学生找到一条可以将图像完全对折的直线，这个图像就是轴对称的函数，而这条直线就是这个函数的一条对称轴。

2.中心对称。对于一个函数的图像，若以一个点为中心去旋转，即180度角。在这样的情况下得到了一个图像，把这个图像和原函数的图去比较，若重合在一起。那么，它就是一个中心对称的函数，我们把这个点称为函数的对称中心。

（二）函数对称性条件

根据定理1：若函数y=f（x），其图像是关于原点O对称，则其充要条件是f（x）+f（－x）= 0，那么这个函数是奇函数。

而定理2：若函数y=f（x，其）图像是关于y轴对称，则其充要条件是f（x）=f（－x），那么这个函数是偶函数。

对于定理3：若函数y=f（x），其图像是关于直线x=a对称，则充要条件是f（a+x）=f（ax）即f（x）=f（2a－x）

而定理4：若函数y=f（x），其图像是关于点（a，0）对称，则其充要条件是f（a+x）=－f（ax）即f（x）=－f（2a－x）

所以，根据以上推理可以得到结论，即若函数y=f（x），其图像是关于点A（a,b）对称，则其充要条件是f（a+x）－b=－[f（a－x）－b]，证明其成立的过程如下：设点P(x,y)是y=f（x）图像上任一点，因为点P（x,y）是关于点A（a,b）的对称，点P′（2a－x，2b－y）是在y=f（x）图像上的点，所以，2b－y=f（2a－x），即y+f（2a－x）=2b，所以，f（x）+f（2a－x）=2b；而设点P(x0,y0)是y=f（x）图像上任一点，那么，y0=f（x0），因为f（x）+f（2a－x）=2b，所以f（x0）+f（2a－x0）=2b，即2b－y0=f（2a－x0）。所以，点P′（2a－x0，2b－y0）也是y=f（x）图像上的一点，而对于点P是关于点A（a,b）对称与点P。

（三）常见函数的对称性

我们比较常见的函数，存在对称性的有以下几种。

1.常数函数。对于这种函数，其属于轴对称和中心对称函数，在其直线上的任何一点都是它的对称的中心，而把垂直于这个直线的直线叫做它的对称轴。

2.一次函数。对于这类函数，也是轴对称、中心对称函数，在直线上的任何一点都是它对称的中心，而垂直与这个直线的直线都叫做它的对称轴。

3.二次函数。对于这个函数，属于轴对称函数，不属于中心对称函数，则其函数方程是x=－b/（2a）。

4.反比例函数，对于这个函数来说，其属于轴对称、中心对称函数，把原点作为其对称的中心，即y=x；y=－x都是它的对称轴。

5.指数函数。对于这个函数，其不属于轴对称函数，也不属于中心对称函数。

6.对数函数。这个函数不属于轴对称、中心对称函数。

7.幂函数。在幂函数中，往往奇函数属于中心对称的函数，而对称中心为原点的点；在幂函数中，其偶函数为轴对称的函数，则对称轴为y轴；对于其他的幂函数，往往不是对称性的函数。

另外，还有正弦函数、正弦型函数、余弦函数、正切函数、对号函数、对号函数，以及三次函数、绝对值函数就不再一一叙述。

二、函数对称性应用举例

例1.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f (x+2)=－f(x),当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)=（？）

(A)0.5、(B)－0.5、(C)1.5、(D)－1.5

解：因为y=f(x)为定义在R上的奇函数，所以点（0，0）为一个对称中心；又因为f(x+2) =－f(x)=f(－x)，则f(1+x)=f(1－x)，所以，对于直线x=1为y=f(x)的对称轴，所以，y=f(x)为周期函数，其周期是2。

所以，f（7.5)=f（8－0.5）=f（－0.5）=－f（0.5）=－0.5，则选(B)。

所以，对于函数的对称性的考查，大部分和函数的周期性有关，只要学会了基本的、对称性的知识点，或者周期性的概念就可以解决这些有关的问题。

例2，已知f（x）=4^x/(4^x+1),求f(－4)+f(－3) +f(－2)+f(－1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)的值。对于这类问题，往往我们需要考虑的是其中两个自变量，即把其求和为0，看看这个函数值是不是一个定值，通过验证就知道结果。但是，在这里，存在一些隐含的条件，即函数的对称性。所以，我认为，首先去“配对”，按照对称性来说，往往考查的就是在函数之间的数值关系。

例3，如果函数y=f(x)，满足f(x+3)=f(2－x)和f(4+x)=f(5－x)，求该函数的最小正周期。

解：因为f(x+3)=f(2－x)=f(4+(－2－x)=f(5－(－2－x))=f(7+x)，所以，这个函数的周期是4。

所以，我认为，若把两个对称性的图合在一起，那么，在其中的符号就化为同号，这样就可以得到其周期性。

例4，如果函数y=3sin(2x+θ+π/4)，其中：0＜θ＜π，这个是奇函数，求θ的值。

解：因为2x+θ+π/4=kπ,而x=0，所以，θ+ π/4=kπ，按照要求的范围来分析，即θ=3π/4。

所以，我任为：对于所有的三角函数，其奇偶性就等同于对称性来分析，解题时，首要把所有的对称轴求出来，然后，把y轴作为一条对称轴，或者是把全部的对称中心找出来，则原点也是一个对称点。

例5，求函数f(x)=e^(x+1)与函数g(x)=ln(x+ 1)的对称轴方程。

解：因为f(x)=e^x和g(x)=lnx是相互的反函数，则是关于y=x而对称的，对于f(x)=e^(x+ 1)，是把f(x)=e^x按照要求向左移动了一个单位的，则g(x)=ln(x+1)是通过函数g(x)=lnx向左移动一个单位后的函数，所以，其对称轴随着向左移动了一个单位，则y=x+1。

例6，如果y=asinx+bcosx关于x=π/4对称，求直线ax+by+3=0的直线的斜率。

解：根据题意可知，其是关于x=π/4而对称的，则f(0)=f(π/2)，把这个函数代入，则可以求出a与b之间的关系。

所以，对于对称性，往往就是关于对称中心或对称轴的问题，而在对称中的两个自变量，其函数值存在紧密的关系。

总而言之，函数贯穿于高中数学，通过用函数来解决高中数学中的许多问题，这是高中数学核心所在，而函数的基本性质，在高考中占有一定的分值，这是一个重点、热点。所以，我们要求学生学会函数对称性的知识，对于学生解决函数问题来说很有意义。

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（责编 张景贤）