对一道数学竞赛试题的思考

以下是2015年第26届“希望杯”全国数学邀请赛高二初试题，笔者仔细研读，根据已知条件、目标函数形式上的特点，从不同视角给出了解法，以达到发散思维，训练思维的目的.

题目 若正数a，b满足2a+b=1，则a2-2a+b2-b的最小值是    .

视角1 换元法

解法1 设2-2a=x，2-b=y，由a，b是正数知，x，y>1，易知

a=2-x2，b=2-y，将上式代入2a+b=1，整理得x+y=3，即x3+y3=1.

将a=2-x2，b=2-y代入a2-2a+b2-b得a2-2a+b2-b=1x+2y-32，

1x+2y-32=（1x+2y）·x3+y3-32=y3x+2x3y-12≥2y3x2x3y-12=223-12.

当且仅当y3x=2x3y，即22-2a=2-b时等号成立，所以最小值为223-12.

评析 换元法是高中数学解题中的一种重要方法，换元的方法多种多样，千差万别，目的是将复杂的问题简单化，将抽象的问题形象化、分式问题整式化，无理问题有理化，这需要我们具备较强的观察能力、逻辑思维能力、联想能力，本题中通过巧妙的换元，将其适当的化简，并利用均值不等式求得其最值.

视角2 几何观点

解法2 由2a+b=1知，a=1-b2，b=1-2a，所以a2-2a+b2-b=14·b-1a-1+12·ba+12，

由a，b>0，2a+b=1，知a∈（0，12），b∈（0，1），易知b-1a-1∈（0，2），ba+12∈（0，2）.

令x=b-1a-1，y=ba+12，x，y∈（0，2），解得a=1-12yy-x+1，b=32y-12xyy-x+1，由2a+b=1，知23x+23y+xy=43，解得y=169x+23-23，x∈（0，2），对y求导数得y′=169（x+23）2，其原函数图象如图1所示，

图1         图2

此时a2-2a+b2-b=14x+12y，为此，本题转化为目标函数是Z=14x+12y的线性规划问题，由线性规划知识知，当目标函数与函数y=169x+23-23的图象相切时（如图2），目标函数有最小值.设切点为P（x0，y0），则切线斜率为y′=169（x+23）2x=x0，因目标函数

Z=14x+12y的斜率为-12，所以y′=-169（x0+23）2=-12，解得x0=423-23，y0=223-23，即Z=14x+12y与曲线在点P（423-23，223-23）相切，所以Z=14x+12y有最小值Zmin=223-12.

解法3 令x=a2-2a，y=b2-b，则a=2x1+2x，b=2y1+y，则4x1+2x+2y1+y=1，以下同解法2.

图3

评析 运用线性规划知识解决最值问题形象直观，同时也很好地体现了数形结合的思想，本解法中：如图3，设A（1，1），B（-05，0），P点在线段2a+b=1上，a，b>0上，因此，目标函数14b-1a-1+12ba+12转化为求14kAP+12kBP的最小值，如果直接求，较为困难，因此，需要将问题适当转化，即换元.

本解法对于求解线性规划中目标函数为pk1+qk2（其中p，q为给定实数，k1，k2为斜率）这一类新题型提供了很好的思路，即换元，从而将目标函数转化为直线，问题便迎刃而解.

视角3 函数思想

解法4 由b=1-2a，a∈（0，12），知a2-2a+b2-b=2-5a+6a22+2a-4a2，令g（a）=2-5a+6a22+2a-4a2，

则g′（a）=-2（7-20a+4a2）2+2a-4a22.

当a∈（0，5-322）时，g′（a）<0，此时，g（a）单调递减，当a∈（5-322，12）时，g′（a）>0，此时，g（a）单调递增.所以gmin（5-322）=223-12.即a2-2a+b2-b的最小值为223-12.

评析 利用函数单调性求最值是处理最值问题的常用方法，简单易于操作，本题中采用代入消元法将目标函数由二元化为一元，从而将问题转化为一元函数求最值.

视角4 方程思想

解法5 令a2-2a+b2-b=t，显然t>0，则2a+2b-3ab=t（2-2a）（2-b），将b=1-2a，a∈（0，12）代入上式得

6+4ta2-（5+2t）a+2-2t=0，此式可以看成关于a的一元二次方程，则该方程有实根，从而Δ=（5+2t）2-4（6+4t）（2-2t）=36t2+36t-23≥0，解得t≥223-12，所以a2-2a+b2-b的最小值为223-12.

评析 函数与方程思想是高中数学的重要思想方法，对于2次整式，或者一次分式求最值运用判别式法简单易于操作，应该要求每个学生必须掌握.

视角5 “1”代替

解法6 由2a+b=1，知2-2a+2-b=3，显然2-2a3+2-b3=1，所以

12-2a+22-b=（12-2a+22-b）（2-2a3+2-b3）=1+2（2-2a）3（2-b）+（2-b）3（2-2a）≥1+223.

所以a2-2a+b2-b=-32+12-2a+22-b≥223-12.

评析 “1”在中学数学中有着重要的应用，sin2x+cos2x=1主要是方便对式子变形，而其他等于1的整式或分式主要是为使用均值不等式创造条件.本题充分利用结论（x+y）（px+qy）≥p+q+2pq来求得其最值.

视角6 从高观点角度分析

解法7 （拉格朗日数乘法）构造拉格朗日函数L（a，b，λ）=a2-2a+b2-b-λ（2a+b-1），令La=12（1-a）2-2λ=0;

Lb=2（2-b）2-λ=0;

Lλ=-（2a+b-1）=0;

联立上述三个方程解得a=5-322，b=32-4，λ=127-182.从而得

a2-2a+b2-b=223-12，所以a2-2a+b2-b的最小值为223-12.

评析 拉格朗日数乘法实际上是借助于求多元函数极值点求函数的最值，通常用来求限制条件下的最值问题，操作简单，也是通式通法，在竞赛解题中经常用到.

视角7 数列观点

解法8 由2a+b=1=2·12知，b，12，2a成等差数列，设其公差为d，则b=12-d，2a=12+d，a=14+d2，所以a2-2a+b2-b=12×1+2d3-2d+1-2d3+2d，整理得

a2-2a+b2-b=-12+13×3+2d3-2d+23×3-2d3+2d≥223-12.所以a2-2a+b2-b的最小值为223-12.

视角8 三角换元

解法9 令2a=sinθ，b=cosθ，θ∈0，π2，代入a2-2a+b2-b，整理得

a2-2a+b2-b

=1-cos2θ2+2cos2θ+cos2θ2-cos2θ

=-12+23×2-cos2θ2+2cos2θ+13×2+2cos2θ2-cos2θ

≥223-12.

所以a2-2a+b2-b的最小值为223-12.

评析 因为三角函数公式多，思路广以及三角函数本身的单调性、有界性，从而为求解函数的最值带来便利.本题通过三角换元，将二元问题一元化，进而利用均值不等式求解，同时本题也可以充分利用0≤cos2θ≤1，运用函数的单调性求解.

视角9 方程组思想

解法10 由2a+b=1知，a=1-b2，b=1-2a，所以a2-2a=12×1-b2-2a.

设

1-b=X（2-2a）+Y（2-b），则1-b=2X+2Y-X2a-（Y-1）b-b，由2a+b=1知X=Y-1，

2X+2Y-X=1.

解得X=-13，Y=23，所以1-b=-13（2-2a）+23（2-b），进而12×1-b2-2a=-16+13×2-b2-2a.

同理可得1-2a2-b=-13+23×2-2a2-b，

所以a2-2a+b2-b=-12+13×2-b2-2a+23×2-2a2-b≥223-12.

视角10 柯西不等式|m|·|n|≥|m·n|

解法11 设m=（12-2a，22-b），n=（2-2a，2-b），由柯西不等式知1+2≤312-2a+22-b，由此可得12-2a+22-b≥3+223.

所以a2-2a+b2-b=-32+12-2a+22-b≥223-12.

追本溯源 笔者发现，若将a2-2a+b2-b变形得-32+12-2a+22-b，则该题是第23届“希望杯”全国数学邀请赛高一初试题的一道变式题，原题是：若正数a，b满足a+b=2，则1a+1+1b+1的最小值是    .由此，两道题就异曲同工了.同时，解法2对于求解线性规划中目标函数为pk1+qk2（其中p，q为给定实数，k1，k2为斜率）这一类新题型提供了很好的思路，即换元.

数学解题历程是一项富有挑战性的过程，因为艰辛，所以难忘.一题多解，不仅可以丰富学生的解题视野，增强处理数学问题的能力，同时也可以进一步构建学生已有的知识体系.以上解法涉及函数、向量、三角函数、不等式、直线和双曲线、方程组等诸多知识，用到了构造、换元等重要方法，渗透了数形结合、函数与方程等核心思想.

作者简介 李波，男，1991年7月生，中教一级.发表论文数篇.