椭圆中两个三角形最大面积问题

江边

椭圆（或圆）由于是封闭曲线，因此椭圆（或圆）中隐含的最值问题比较多，是数学研究与教学可供开发的重要资源之一，本文给出椭圆中的两个三角形最大面积问题及其解答，以飨读者.

问题1 给定椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），M（m，0）（m>0，m≠a）是x轴上的一定点，过M引直线交C于两不同点A、B，O为原点，求三角形AOB的面积S△AOB的最大值.

图1

解 （1）当m>22a时，如图1，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为x=ty+m（t为参数），代入C的方程整理得

（a2+b2t2）y2+2b2mty+b2（m2-a2）=0. ①

由直线AB与C有两不同交点知Δ>0，等价于

4b4m2t2-4b2（a2+b2t2）（m2-a2）>0

4a2b2（a2+b2t2-m2）>0

a2+b2t2-m2>0.

由于y1、y2为方程①的两实根，则由韦达定理知

y1+y2=-2b2mta2+b2t2，      ②

y1y2=b2（m2-a2）a2+b2t2.     ③

由②、③式可得

AB=（x1-x2）2+（y1-y2）2

=（1+t2）（y1-y2）2

=（1+t2）[（y1+y2）2-4y1y2]

=1+t2·4b4m2t2（a2+b2t2）2-4b2（m2-a2）a2+b2t2

=2ab1+t2a2+b2t2·a2+b2t2-m2.

又O到直线AB的距离d=m1+t2，所以

S△AOB=12·AB·d

=abma2+b2t2-m2a2+b2t2.

令u=a2+b2t2-m2（u>0），则a2+b2t2=u2+m2，于是由二元均值不等式得

S△AOB=abmuu2+m2≤ab2，

故当且仅当u=ma2+b2t2=2m2t=±2m2-a2b时S△AOB取得最大值ab2.

图2

（2）当0<m≤22a时，a2≥2m2，a2>m2，由（1）的解答知S△AOB=abma2+b2t2-m2a2+b2t2，由此式知当t=0（即直线AB⊥x轴，如图2）时，三角形AOB的面积S=

bma2-m2a.下面证明④式成立：

S△AOB≤S     ④

abma2+b2t2-m2a2+b2t2≤bma2-m2a

a2a2+b2t2-m2≤a2-m2·（a2+b2t2）

a4（a2+b2t2-m2）

≤（a2-m2）（a2+b2t2）2

t2[b2（a2-m2）t2+a2（a2-2m2）]

≥0.     ⑤

由于在a2≥2m2的前提下，⑤式显然成立，从而④式成立，故当0<m≤22a时，当且仅当t=0（即直线AB⊥x轴）时S△AOB取得最大值bma2-m2a.

由此，得到如下结论：

结论1 给定椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），M（m，0）（m>0，m≠a）是x轴上的一定点，过M引直线交C于两不同点A、B，O为原点，三角形AOB的面积为S△AOB，则

（1）当0<m≤22a时，S△AOB的最大值为bma2-m2a;

（2）当m>22a时，S△AOB的最大值为ab2.

说明 可以证明：当m≥22a时，过点M作椭圆C′：x2a2+y2b2=12（a>b>0）的切线，交椭圆C于两点A、B，则三角形AOB的面积S△AOB=ab2.

问题2 给定椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），M（0，m）（m>0，m≠b）是y轴上的一定点，过M引直线交C于两不同点A、B，O为原点，求三角形AOB的面积S△AOB的最大值.

图3

解 （1）当m>22b时，如图3，设A（x1，y1），B（x2，y2），

直线AB的方程为y=kx+m（k为斜率），代入C的方程整理得

（a2k2+b2）x2+2a2mkx+a2（m2-b2）=0.  ⑥

由直线AB与C有两不同交点知Δ>0，等价于

4a4m2k2-4a2（a2k2+b2）（m2-b2）>0

a2k2+b2-m2>0.

由于x1、x2为方程⑥的两实根，则由韦达定理知

x1+x2=-2a2mka2k2+b2，⑦

x1x2=a2（m2-b2）a2k2+b2.⑧

由⑦、⑧式可得

AB=（x1-x2）2+（y1-y2）2

=（k2+1）（x1-x2）2

=（k2+1）[（x1+x2）2-4x1x2]

=k2+1·4a4m2k2（a2k2+b2）2-4a2（m2-b2）a2k2+b2

=2abk2+1a2k2+b2·a2k2+b2-m2.

又O到直线AB的距离d=mk2+1，所以

S△AOB=12·AB·d

=abma2k2+b2-m2a2k2+b2.

令u=a2k2+b2-m2（u>0），则a2k2+b2=u2+m2，于是由二元均值不等式得

S△AOB=abmuu2+m2≤ab2，

故当且仅当u=ma2k2+b2=2m2k=±2m2-b2a时S△AOB取得最大值ab2.

图4

（2）当0<m≤22b时，b2≥2m2，b2>m2，由（1）的解答知S△AOB=abma2k2+b2-m2a2k2+b2，由此式知当k=0（即直线AB⊥y轴，如图4）时，三角形AOB的面积S=amb2-m2b.

下面证明⑨式成立：

S△AOB≤S⑨

abma2k2+b2-m2a2k2+b2≤amb2-m2b

b2a2k2+b2-m2≤b2-m2·（a2k2+b2）

b4（a2k2+b2-m2）≤（b2-m2）（a2k2+b2）2

k2[a2（b2-m2）k2+b2（b2-2m2）]≥0.⑩

由于在b2≥2m2的前提下，⑩式显然成立，从而⑨式成立，故当0<m≤22b时，当且仅当k=0（即直线AB⊥y轴）时S△AOB取得最大值amb2-m2b.

由此，得到如下结论：

结论2 给定椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），M（0，m）（m>0，m≠b）是y轴上的一定点，过M引直线交C于两不同点A、B，O为原点，三角形AOB的面积为S△AOB，则

（1）当0<m≤22b时，S△AOB的最大值为amb2-m2b;

（2）当m>22b时，S△AOB的最大值为ab2.

说明 可以证明：当m≥22b时，过点M作椭圆C′：x2a2+y2b2=12（a>b>0）的切线，交椭圆C于两点A、B，则三角形AOB的面积S△AOB=ab2.

最后需指出的是，本文研究的问题的前提条件是定点M位于椭圆的对称轴上，比较特殊，若M是椭圆所在平面上的任意一定点（M不在椭圆上且不为椭圆的中心），则问题中的△AOB的最大值又如何？这个一般性的问题留给有兴趣的读者继续探讨.

参考文献

[1] 姜坤崇.椭圆中一个三角形最大面积问题[J].中学数学杂志，2014（5）.