浅谈高中函数单调性的教学

（河北高阳中学071500）

浅谈高中函数单调性的教学

苏漪（河北高阳中学071500）

函数是高中数学课程中的一个核心概念，函数单调性作为高中函数的第一个性质，对后续函数性质的学习具有不可替代的作用和意义。笔者对函数单调性教学进行探讨，针对目前函数单调性教学存在的问题，提出相应的教学思路和教学建议。

高中数学函数单调性

一、函数单调性的概念

一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数;如果对于属于I内某个区间上任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f（x1)＞f（x2），那么就说f(x)在这个区间上是减函数。

二、从数学知识的角度认识函数单调性

函数单调性概念是函数概念的进一步学习，对它的学习是建立在函数概念的基础之上的，所以“函数单调性”并不是客观存在的东西，它是从大量的函数的具体事例中，经过了分化、类比等多次抽象、概括出来的函数这类数学对象所具有的本质属性。因此，它具有高度抽象性。

数学符号由符号形式和符号内容两部分组成，一种是符号内容能被符号的形式充分暗示出来的概念，如平行、垂直等；另一种是符号内容不能由符号形式表示的概念，如函数、复数等。然而，函数单调性又恰恰属于符号内容不能被符号形式暗示出来的概念，对它的学习需要进行更多的数学思维活动。

函数单调性的表达方式具有多样性，它不仅能用表格、图像表示，还能用符号语言表示，甚至还可以用自然语言描述。因此，学习函数单调性这部分内容，不但要求学生能进行单一“数”或“形”的运算，还要求学生进行“数”与“形”相结合的运算。对于高一阶段的学生而言，把观察函数图像得到的结论转化成形式化的数学符号语言无疑是一种思维上的挑战。

三、高中函数单调性研究的必要性

《普通高中数学课程标准》明确提出：理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴含的数学思想和方法，以及在后续学习中的作用。可见，课程标准非常重视数学概念的教学，尤其是对数学概念本质和数学思想方法的理解。例如，课标对函数单调性的要求：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质。

函数单调性的不管是教学方式，还是学习方式，特别是其研究方法对函数后续性质的学习具有良好的示范作用。由此可见，对函数单调性的教学进行研究是非常有必要的。

四、函数单调性教学现状和存在的问题

《普通高中数学课程标准》强调概念教学的基础性与重要性，但通过访谈调查和案例研究发现：教师按照字面意思讲解函数单调性定义的情况仍然存在；部分教师尝试引导学生探索概念的形成过程，但教师在这个过程中忽视学生的独立思考和建构；忽视研究函数性质的思想方法的渗透等“重知识，轻过程”情况仍然存在。然而，一线教师很向往解决课堂教学中出现的这些问题，也不断尝试用探究的方法让学生经历函数单调性概念形成的思维构造过程，但结果不尽如人意，仍有待突破。

五、对高中函数单调性教学提出的具体建议

（一）数形结合，优化思维过程

高中函数单调性的概念是形与数结合的概念，所以教学应该采用“形”和“数”相结合的方式，优化学生的思维过程，让学生全面地初步获得概念。与此同时，还需要注意提供的正面实例必须是不同形式的能反映函数单调性本质属性的典型例子，还要利于学生从图像（形）和表格（数）两个角度对函数单调性进行观察、探究。

（二）巧妙设置探究问题

在函数单调性符号化的过程中，需要以学生为主体，结合学生已有的经验设计出能够引导学生思维参与的问题，使学生真正经历思维构造的过程，最终建构起函数单调性的概念。

（三）教学方式多样化

函数单调性是一个复杂而抽象的概念，在概念的探究的过程中，可以融入概念形成和同化两种方式，因为大量实例可以让学生先直观感知新概念，在经过同化使得新概念与原有概念发生认知冲突，使学生真正经历这种不愤不启、不悱不发的状态，进而引导学生得到形式化的新概念。在这个新概念建构的过程中，既有感性认识，又有理性认识，在有限的课堂教学时间里，极大限度地帮助学生理解概念的本质。

（四）多角度理解概念

在概念形成之初，学生对概念的理解是不深刻的，因此，教师应及时帮助学生理解概念，而不是急着去讲解函数单调性的判断方法、证明步骤等。首先，用新获得的概念去分析概念引入时所提供的实例，加深学生对新概念的认识。其次，利用变式练习来突出概念的本质属性，采用多种形式的正反结合的例子让学生明确概念的外延。此外，在后续学习指数、对数函数等时，有目的地引导学生深刻认识函数单调性概念。例如，可以让学生用描点——连线的方法作出函数图像，这种操作使得学生在函数单调性的图像、表格、形式化的符号语言之间不断地进行转换，丰富学生对函数单调性概念的认识，加深学生对概念本质的理解。

总之，函数是高中数字的重点内容，而单调性又是函数的重点内容。它又可以和许多非函数问题有机地结介在一起。所以，我们在教学中应有意识地让学生应用函数单调性的知识、方法、技能解决新的、综合性的问题，从而提高学生的观察、分析、运算、推理能力，培养学生的创新能力以及良好的数学修养。

中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京:人民教育出版社，2003.

（责编 赵建荣）