让错误的“正确答案”变正确

俞建栋

一、缘 起

在小学数学各种习题中，我们几乎很难碰到一题让学生做错也让教师教错的习题. 然而，2次的六年级教学经历，还真有这么一题几乎让大多数师生都上当的习题. 在人教版六下年级的练习中，有这么一题：

“为庆祝元旦，三（1）班同学做小红旗. 现在有一张长1.4米，宽0.9米的长方形卡纸，最多可以做这样的小红旗多少面？”

2011年，第一次碰到时，学生的答案几乎就两种63面和56面（具体分析后面展开）. 在课堂上与学生分析后一致认为是56面是正确的. 正当大家都认为没有疑义的时候，班级中平时思维最活跃的沈同学站起来说：“我认为最多可以剪出60个”，并演示了他的画法，虽然他的解释没有让学生一下子明白，但给了我启示. 事后，我验证了他的想法完全正确，并把他的想法用六年级能理解的角度进行了分析，让学生都感意外. 但更让人意外的事，回到办公室后，与同年级的教师交流，发现其他同年级的数学教师教的都是56面这一答案. 后来，我还把这一题编入了六下的典型错例. 2014年，我又换了一所学校，并又经历了一次六年级，发现还是这样一個“老故事”：让大多数学生和同年级的教师都认为正确的错误答案“56面”.

二、错例再现

以上就是学生作业中出现最多的两种答案，第一种师生分析后都认为是错误的，而第二种却是让师生都认为正确的错误答案.

三、错因分析

学生访谈：

师：说说看到这道题目你第一反应是怎么去解决它？

生1：我当初做这道题目时，想想是求最多，所以就用“大面积除以小面积”，第一步就是把长方形和三角形的面积求出来，然后再用长方形的面积去除以三角形的面积.

师：（疑惑）以前我们铺地砖问题，是用过这个方法，但有的时候是不是要考虑边长啊……

生1：（恍然大悟）哦，对的，我忽略了三角形的边长和长方形的边长之间的长短关系，9除以2除不通的，会产生多余的. 所以这种方法是错误的.

生2：是的，我就是不用大面积除以小面积，用实际的边长除以边长的. 而且我是先把2个三角形拼成正方形，然后用长方形的长和宽分别除以正方形的边长，算算一排能放几个，能放几排. 然后算出有多少个三角形.

师：哦，其实第二名同学的想法已经非常不错了，考虑到三角形可以拼成正方形，然后通过算正方形的个数，但其实这题中三角形拼成正方形除了2个来拼外，还可以用4个来拼，你能想到吗？（如右图）

生：好像可以的.

师：那这个正方形的边长是多少呢？

生：……（显然学生对4个三角形拼成的这个正方形的边长无从下手. ）

原因分析：

1. 第一种错误显然学生用了长方形的面积除以三角形的面积，没有考虑到数学问题和生活实际问题的区别.

2. 第二种错误显然是错误率高得惊人，我们大多数老师都可能不会发现这个错误. 因为我们在分析时注意了把两个三角形拼成边长为2的正方形，而想到4个这样的三角形还可以拼成一边长约为3的正方形，这个是很多学生和教师没有想到的.

3. 从知识的角度来说，4个这样的三角形还可以拼成一边长约为3的正方形需要勾股定理来验证，有一定的难度，没有老师的点拨学生一时想不出来. 在访谈和实际教学中如何让理解这个大正方形的边长约为3也成为解这道题的难点. 其实通过访谈和分析，我认为学生已经较好地掌握了图形分割的基本模型. 两种方法都是计算图形分割的常用方法，而且当边长正好成倍数关系时，这两种方法的计算结果是一致的，但当遇到非整除情况用“去尾法”取整数，所以其实错解2是学生到目前知识水平中最熟悉的和能理解的方法，之前遇到的题型也基本是这种类型的. 那么本题中另一种解法，是编者的无心插柳，还是有意为之呢？

四、教学改进

1. 帮助学生理解“大面积÷小面积”这种方法在生活实际面积问题时有局限性，如果边长刚刚不是整倍数时，就会有多余，需要用剪拼的方法来思考问题. 除面积问题外，生活中在包装问题、分组问题等运用到的进一法或去尾法也是相同的道理.

2. 可以把题中“最多可以做这样的小红旗多少面？”改为“可以做这样的小红旗多少面？”降低题目的要求，突出解题策略的多样性，同时也更符合教材的编写意图和让不同的学生在数学上得到不同的发展的教学理念. 也让小学阶段师生都比较理解的认可的错误的正确答案“56面”变成真正的正确.

3. 重点让学生动手操作或画图的方法尝试若干个等腰直角三角形如何拼成正方形，并说说这个正方形的边长是多少？从实践的情况来看，大多数的学生都得到右图的第一种情况2个三角形拼成正方形. 访谈分析其主要原因，首先是思维定式，显然这种情况平时拼的次数最多，最容易计算；其次右图中的第二种情况，部分学生能够想到，但对于边长是多少的问题显然面露难色，直接放弃. 所以，如何让学生理解4个三角形拼成的正方形的边长是多少成为解决本题的一个关键. 因此，在教学中我们可以这样去引导：首先让学生尝试算一算这个正方形的面积是多少？然后估计一下这个正方形的边长接近多少？巧妙的让学生分析4个三角形拼成的正方形面积是8，进而推算正方形的边长就小于3，因为如果是3的话面积就是9了，最后得出这个正方形的边长接近3但小于3. 这样的引导，显然避免了需要用初中勾股定理去计算精确值，既适应学生的认知水平，又灵活的体验到估算的应用价值，也不影响最后的结论得出. 这也是我前面所说比课本例题更巧妙的地方.