一道三角形题的纠错教学与思考

郝志永

一、考情分析

问题：已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a2 + b2 < c2，且sin2C -（1）求角C的大小；（2）的取值范围.

解三角形是高考试题中相对比较简单的题目，出错率达60%，针对这种现象，笔者用投影仪展示出如下题目：

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a = b cos C + c sin B.（1）求角B；（2）若b = 2，求△ABC面积的最大值.

通过对这道高考题目的批改，只有一名同学没有全对，所以效果不错. 现将这节课的纠错过程整理出来，供读者参考. 二、教学回放

（一）问题分析

师：上文解三角形题. 如何理解题目中的条件a2 + b2 < c2.

生1：结合余弦定理cos C = < 0，可以推出角C为钝角.

师：很好，其实还可以结合余弦定理进一步推导出三边的关系，哪名同学补充一下？

生2：因为余弦定理中的分母2ab 大于零，所以当a2 + b2 > c2时C为锐角，当a2 + b2 = c2时C为直角，当a2 + b2 < c2时为钝角.

师：生2 利用三角形的边长恒为正数这一条件，把分式的判断转化为分子的判断，同学们如何求的取值范围？

生3：因为是比值关系，所以符合正弦定理的边角互化，利用正弦定理把边的比值转化成三角函数的比值，再结合辅助角公式，利用三角形内角和为180°，确定出角A的取值范围，进而得到答案.

师：不错，结合的非常好，同学们还有哪些思路呢？

生4：利用三角形的边长大于零，结合均值不等式（均值不等式的首要条件是a > 0，b > 0）就可以求出答案.

师：这两种解题方法在解题过程中出现不少失误，那么我们一起分析一下解题过程.

（二）纠错分析

1.第一问纠错分析

师：同学们，生9的解法怎么樣？

生10：生9方法非常好，利用余弦定理，结合均值不等式，看着思路也没有错，但为什么答案不一样呢？

师：大家可以考虑一下对生5解法进行补充或纠正，使之正确.

生11：问题出在没有考虑到在三角形中，两边之和大于第三边，即a + b > c，所以 > 1.

师：说的很好，不仅指出问题，而且解决了问题. 我们这节课主要是研究了一些同学的错误解法，认真总结经验与教训，希望能对今后的学习有帮助.

3. “纠错”应用

通过本堂课的学习把“会而出错”的错点克服掉，是纠错分析后的一次应用，更是对本堂课的深层理解.