拔河中力学问题的讨论

湖北省武汉市黄陂区汉口北高级中学 靖声伟

一、拔河比赛的物理模型

在拔河比赛中，两队选手可看作两个倾斜体，与地面间有夹角。这两个倾斜体通过轻绳相连，构成连接体。对于绳长而言，人的身高差异是极小的，因此可认为绳是与地面平行的。

图（1）拔河比赛的物理模型

如图（1）所示，设有甲乙两人拔河，甲乙的肩高分别为h1、h2，与地面的倾角分别为θ1、θ2，绳长为s，绳与地面的夹角为θ。

对甲进行受力分析，得：

设甲与地面之间的动摩擦因数为μ1，甲与绳之间的动摩擦因数为 ，甲的手对绳的握力为N1，有：

乙的受力情况和甲对称。

二、比赛胜负的影响因素

（一）绳上张力

将队员的手腕简化看作一个圆柱体，绳缠绕在圆柱体上。

图（2）弯曲绳上张力变化

如图（2）(A)所示，1、2分别为绳与圆柱体的两个切点，T1、T2分别代表切点1、2处绳的张力。设绳与圆柱体间的静摩擦因数为μ0。

如图（2）(B)所示，在绕于圆柱体的轻绳上任取一微小绳段(绳元)ds，ds对应于圆心角dθ。设绳两端的张力分别为T和T+dT，圆柱体对绳绳元ds的弹力为dN，静摩擦力为df 。

在绳元ds的法向有：

在绳元ds的切向有：

由于dθ为极小值，则：

用1代换则①、②化为：

又因为：

所以：

由③、⑤消去dN,得：

对⑥积分，得切点2处的最大张力为：

如果将轻绳在圆柱体上绕两圈，dθ=4π，，由⑧可得，用T=10N的力可抵抗另一端的力。由此可见，在拔河比赛中，若脚与地面之间有足够大的摩擦力，队员将绳缠绕在自己的手腕上可以抵抗绳的另一端更大的拉力。

（二）摩擦力

1.手与绳之间的摩擦力

设甲的手与绳之间的最大静摩擦力为fmax，乙的手与绳之间的最大静摩擦力为fmax'。若甲的握力大，握得较紧，则有:

乙的手与绳之间的最大静摩擦力略大于滑动摩擦力即。所以：

因此，在绳开始滑动之后，虽然甲乙两人对轻质绳的拉力依然是大小相等的，但甲是静摩擦力，而且甲还有能力施展出更大的静摩擦力；而乙是滑动摩擦力，只要乙手的握力不能再增大，这个滑动摩擦力就不会增大。甲将取胜。

2.脚与地面之间的摩擦力

如果手与绳之间有足够大的摩擦力，在其它条件相同的情况下，谁体重大，谁就可能获胜。设甲的脚与地面之间的最大静摩擦力为乙的脚与地面之间的最大静摩擦力为若甲的体重大，，则有:

乙的脚与地面之间的最大静摩擦力略大于滑动摩擦力，即所以：

乙会因为双脚向前滑动而输掉比赛。

3.人体倾斜角度

图（3）身体倾斜角

如图（3）所示，地面对人的摩擦力与绳子对人的摩擦力是平行的，

它们不在同一条直线上。这样，在这对力的作用下，就会对人有一个向前翻转的力矩。为了抵消这个转动效应，在比赛时，队员就必须与竖直平面有一定的夹角。如果我们想赢得比赛，首先要保证自己不向前翻倒。

以地面对人的支点为转轴，根据物体平衡的条件列出一组表达式：

设h1与h2的比值会随着人的姿态变化而稍有变化, 为了便于研究，忽略k的变化。则上式可化为:

由①式可知：

在α∈（0°～90°）范围内，若角度α增大，tanα的值也增大。由于mg是定值，k也是定值，所以只有随着α角增大而变大。

再以手与绳的接触点为转轴，根据平衡条件同样可得:

当f1=μmg(μ为地面和脚之间的动摩擦因数)时，地面对人的摩擦力达到最大值。此时:

当手对绳子的作用点与重心在同一平面时，k=1,则:

这时的角α的值叫做摩擦角,用Φ来表示。

只要偏角α≤Φ，脚底就不会在地面上滑动，这种现象称为“自锁”。若后仰时的偏角大于摩擦角，即α＞ Φ ,则:

根据tanφ＝μ可知，由于μ＜1，则必然tanφ＜1，摩擦角φ必定小于45°。

在拔河比赛中甲队员鞋底与地面的摩擦系数是则:

φ约为30°。

此时甲队员的后仰偏角α就不应超过30°,否则脚底就会打滑。

4.实际因素

实际拔河比赛中决定胜负的因素是多方面的。在理想情况下，选择摩擦因数较大的地面、鞋子以及绳子、手套，选择握力、体重较大的选手，对比赛的胜利有至关重要的作用。只要条件和方法相同，就会不分胜负。但事实上没有完全相同的两个事物，拔河比赛中两队总会有些差异的。即使开始时差不多，但时间稍长，就会有差别，从而产生出胜负。拔河比赛开始时，往往出现双方僵持不下的局面，而后来总会分出胜负，就是这个道理。

三、总结

综上所述，要想获得拔河比赛的胜利，必须注意几点：一是选择摩擦因数较大的鞋子、手套、绳索，选派体重大的队员参赛。二是在摩擦角范围内，尽可能地增大后仰偏角可以获得较大的静摩擦力。三是后面的队员将绳缠绕在自己的手腕上可以抵抗绳的另一端更大的拉力。四是决定拔河比赛胜负的力是两个静摩擦力：手与绳之间的静摩擦力、脚与地面之间的静摩擦力。