平面向量在高中数学中的应用

文/王原光

平面向量在高中数学中的应用

文/王原光

平面向量作为数学工具，是代数和几何的纽带，是中学数学知识网络中的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介。向量和图象、函数、三角、数列、不等式、平面几何等基础知识结合，应用数形结合和化归与转化等思想方法，将几何知识和代数知识有机地结合在一起，能为多角度地展开解题思路提供广阔的空间。本文从六个方面说明了平面向量在高中数学中的应用。

平面向量;数学思想方法;应用

近年来，我国把坐标和向量、概率分布、导数等陆续纳入三年制高中教学大纲，无疑是国家数学课程改革的一个正确方向，也向教育先进国家靠拢迈出了坚实的一步。

坐标与向量，作为现行中学数学教材各成员中的“宠儿”，与其它数学知识有密切的联系，应用起来非常方便，很讨人喜欢。以下根据本人的教学实践以及组织数学课外兴趣小组活动的经历，与各位同仁谈谈平面向量如何体现它的工具与纽带的作用。

一、向量在图形上的应用

向量源于图形，它和几何的关系本是“鱼水”关系。许多几何问题，都可借向量简单解决。

例1、已知平面上的一个三角形ABC，在已知平面上有一点P，设AP的中点是Q，BQ的中点是R，CR的中点是S.证明只有唯一的一点P使得S=P，另外，设这点为P0时，求△ABC和△P0BC的面积比。

因此，S△ABC:S△P0BC=21k:3 k=7:1.这里，向量加法和定量比分点起了关键的定位作用，具有其它方法所没有的优越性。

用向量法解几何题，通常分三步进行:

首先，将几何问题的条件和结论转化为向量问题，用向量语言表示;然后，设置基本向量，将问题中的相关向量用“基本向量”表示出来;最后，通过“基本向量”进行推理、运算，得出求解结论。其中“基本向量”选取是否恰当，直接影响问题解决的难易程度，这是解题过程中一个关键要素。

至于向量在空间图形上的应用的好处，教材和各种资料已有较多的论述，各类问题都有专门的讨论。比如证明共线(面)问题、平行问题、垂直问题、角和距离的求解，以及存在性等问题几乎都可以用向量来解决，这里就不再举例了。

二、向量在函数中的运用

三、向量在证明不等式中的应用

设非零向量→a，→b的夹角为θ，则︱→a·→b︱=︱→a︱·︱→b︱·︱Cosθ︱。故→a·→b≤︱→a·→b︱≤︱→a︱·︱→b︱。该不等式结果简单，但应用广泛，现举例如下。

该题证法极多，但构造向量来证明不失为一种好方法。

传统的不等式的证明要用到分析、综合的各种“技巧”，而向量法却回避了这些高“技巧”，较为简单地解决了这些令人头痛的问题。

四、向量在三角中的应用

当把向量坐标形式表示，且引进三角函数于坐标中时，向量与三角就交溶为一体了。近年来各省份的高考、模拟考题，经常出现这类问题，应引起足够重视。

以上用到了向量的数量积定义，坐标表示下的模公式，内积公式以及三角恒等变形，体现了综合利用三角知识和向量知识解题的能力。这种方法也比传统的解三角形方法更简易。

五、向量在数列中的应用

在向量坐标化的情况下，如果考虑的是向量序列，那么向量的问题实际便成了数列的问题。

这类问题的关键是利用向量的概念或运算转化为数列问题，再用数列的有关知识解之。

六、向量在解析几何中的应用

解析几何的许多问题，常常用向量语言来叙述。因此，首先要正确运用向量概念把原文“翻译”过来;以便看出所论问题的实质。

(2)设以原点O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过M，且取最小值时，求椭圆的方程。

事实上，向量与解析几何的结合也是高考命题的趋势，也应引起重视，从上例可以看出，除了要读懂“向量语言”外，就是一个运用向量和解析几何知识综合解决问题的过程。

最后，要强调的是，向量具有工具性作用，用它可证明许多重要公式。如利用向量的内积，可证明公式Cos(α－β)= CosαCosβ+SinαSinβ

同样，可利用单位向量和数量积证明解三角形必须的三大定理——射影定理、正弦定理和余弦定理。

综上所述，向量象一贴强有力的粘合剂，把各部分知识连成一个有机的整体。由于这一点，我们在教学中至少要做以下工作:(1)让学生掌握向量的基本概念和基本运算，在此基础上学会运用向量语言;(2)了解向量知识与其它数学知识的交汇作用，应用向量知识尽量简便地分析和解决问题;(3)经常去对照有关问题的向量解法和传统解法，把“向量思想”、“向量法”纳入基本数学思想或数学方法，并在教学实践中逐步归纳、总结、完善向量思想，学会举一反三。这无论对他们应考和将来的深造，都是有益的。

(作者单位:长汀一中)

［1］［日］圣文社编《大学入学考试·数学试题选》人民教育出版社。1979，12

［2］［日］矢野健太郎著《数学解题技巧》(第二卷上册)黑龙江人民出版社。1983，10

［3］《新概念教材·奥赛全解》(高一数学)南方出版社2005，5

［4］《2005全国各省市高考模拟试题汇编·数学》西藏人民出版社2005，7

王原光，男，中学一级教师，研究方向:高中数学教学。