投影与视图常见题型解析

“投影与视图”主要包括投影（平行投影、中心投影）以及物体的三种视图.通过立体图形与三视图、展开图的相互转换，可以很好地培养同学们对空间与图形的认识能力和空间想象能力，为高中阶段学习立体几何奠定良好的基础.掌握好有关这部分知识的几种基本题型，就可以在考试时以不变应万变.

题型一 ： 由几何体判断其三视图

判断一个几何体的三视图时，要有一定的想象能力，想象从正面、侧面和上面来看它分别是什么图形，然后通过仔细观察、比较、分析，确定其三视图.

1.如图1，下列几何体各自的三视图中，只有两个视图相同的是（ ）.

图1

A.①③ B.②③ C.③④ D.②④

解答：①正方形的主、左和俯视图都是正方形；②圆锥的主、左视图是三角形，俯视图是圆；③球体的主、左和俯视图都是圆形；④圆柱的主、左视图是长方形，俯视图是圆；只有两个视图相同的几何体是圆锥和圆柱.故选D.

2.如图2，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、BB1、BC的中点，沿EG、EF、FG将这个正方体切去一个角后，得到的几何体的俯视图是（ ）.

A. B.

C. D.

解答：从上面看易得1个正方形，但上面少了一个角，在俯视图中，右下角有一条线段.

故选B.

题型二 ： 由三视图确定原几何体的构成

由三视图描述几何体（或实物原型），一般先根据各视图想象从各个方向看到的几何体的形状，然后综合起来确定几何体（或实物原型）的形状，再根据三个视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系，确定轮廓线的位置以及各个方向的尺寸.

3.由一些相同的小立方块搭成的几何体的三视图如图3所示，则拼成该几何体的小立方块的数量有（ ）.

图3 图4

A.3块 B.4块 C.6块 D.9块

解答：由主视图左边有2层可以判定俯视图A，B（如图4）位置上最高的一个有2层；由主视图右边有1层，可以判定俯视图C位置上有1层；从左视图左边是2层，可知A有2层；由左视图右边有1层，又可知B必须有1层.所以，搭成该几何体的小立方块共有2+1+1=4（块）.故选B.

4.如图5，下面给出的三视图表示的几何体是（ ）.

图5

A.圆锥 B.正三棱柱

C.正三棱锥 D.圆柱

解答：根据主视图和左视图为矩形可判断出是柱体，根据俯视图是正三角形可判断出这个几何体应该是正三棱柱.故选B.

题型三 ： 根据三视图进行计算

根据三视图进行计算要抓住各种空间几何体的结构特征，认识各种空间几何体的三视图和直观图，通过三视图和直观图判断空间几何体的结构，在此基础上掌握好空间几何体的表面积和体积的计算方法.

5.如图6是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中的a=（ ）.

解：由正六棱柱的主视图和左视图，可得到正六棱柱的边长为2，求a的值可结合俯视图来解答，如图7；

作AD⊥BC，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，

∴在直角△ABD中，∠ABD=30°，AD=1，

故选B.

6.如图8是一个几何体的三视图.

（1）写出这个几何体的名称；

（2）根据所示数据计算这个几何体的表面积；

（3）如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请求出这个路线的最短路程.

图8

解：（1）根据三视图的有关知识，可判断出该几何体是圆锥；

（2）S表面积=S扇形+S圆

即该几何体的全面积为16πcm2；

（3）如图9，将圆锥侧面展开，得到扇形ABB′，则线段BD为所求的最短路程.

设∠BAB′=n°.

题型四 ： 平行投影的综合应用

物体在太阳光下的影子被看成是平行投影，同一时刻，不同物体的高度之比与其对应的影子的长度之比相等，这是相似三角形应用中的一个很重要的内容.在日常生活中，很多问题可利用平行投影的这个特殊性质进行解决.

7.如图10，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（ ）

A.4.5米 B.6米 C.7.2米 D.8米

图10 图11

解：如图11，GC⊥BC，AB⊥BC，∴GC∥AB.

故选B.

解：如图13，过点C作CE⊥BD于E，

∵AB =40米，∴CE =40米.

∵阳光入射角为30°，∴∠DCE =30°.

∴DB=BE+ED =1+23=24米.

答：新建楼房最高约24米.