小学毕业数学总复习指导

李莉等

摘 要：小学毕业数学总复习应从数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四个方面入手，把知识系统整理。教师要系统、全面、有针对性地指导学生做好复习。

关键词：小学数学；总复习；指导

中图分类号：G623.5 文献标识码：B 文章编号：1009-010X（2015）11-0026-15

第一部分 数与代数

一、数的认识

（一）目标链接

第一学段：

1.在现实情境中理解万以内数的意义，能认、读、写万 以内的数，能用数表示物体的个数或事物的顺序和位置。

2.能说出各数位的名称，理解各数位上的数字表示的意义；知道用算盘可以表示多位数。

3.理解符号<、>、= 的含义，能用符号和词语描述万以内数的大小。

4.在生活情境中感受大数的意义，并能进行估计。

5.能结合具体情境初步认识小数和分数，能读、写小数和分数。

6.能结合具体情境比较两个一位小数的大小，能比较两个同分母分数的大小。

7.能运用数表示日常生活中的一些事物，并能进行交流。

第二学段：

1.在具体情境中，认识万以上的数，了解十进制计数法，会用万、亿为单位表示大数。

2.结合现实情境感受大数的意义，并能进行估计。

3.会运用数描述事物的某些特征，进一步体会数在日常生活中的作用。

4.知道 2、3、5 的倍数的特征，了解公倍数和最小公倍数；在 1～100 的自然数中，能找出 10 以内自然数的所有倍数，能找出 10 以内两个自然数的公倍数和最小公倍数。

5.了解公因数和最大公因数；在 1～100 的自然数中，能找出一个自然数的所有因数，，能找出两个自然数的公因数和最大公因数。

6.了解自然数、整数、奇数、偶数、质（素）数和合数。

7.结合具体情境，理解小数和分数的意义，理解百分数的意义；会进行小数、分数和百分数的转化（不包括将循环小数化为分数）。

8.能比较小数的大小和分数的大小。

9.在熟悉的生活情境中，了解负数的意义，会用负数表示日常生活中的一些量。

（二） 要点链接

1.概念

【自然数】表示物体个数的1、2、3、4、5、…都是自然数。一个物体也没有用0 表示，0 也是自然数。最小的自然数是0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。自然数是整数的一部分。一个自然数有两个方面的意义：一是表示物体的个数，称为基数。如，5朵小花中的“5”是基数；二是表示事物的次序，称为序数。如，第5 个学生中的“5”是序数。任何非0 的自然数都是由若干个“1”组成，所以“1”是自然数的单位。

【奇数、偶数】在自然数中，是2 的倍数的数叫做偶数（0 也是偶数），不是2 的倍数的数叫做奇数。

【因数、倍数】如果a×b=c（a、b、c 均为不是0 的自然数，即正整数）那么c 就是a 和b 倍数，a 和b 就是c 的因数。倍数和因数是相互依存的。如，3×6=18，18 是3 的倍数，18 也是6 的倍数，3 是18 的因数，6 也是18 的因数。而不能说18 是倍数，3、6 是因数。

【2、3、5 的倍数的特征】个位上是0、2、4、6、8 的数是2 的倍数。各个数位上的数的和是3 的倍数，这个数就是3 的倍数。个位上是0 或5 的数是5 的倍数。个位上是0 的数，这个数既是2 的倍数又是5 的倍数。

【质数】如果一个自然数只有1 和它本身两个因数，这样的数叫做质数（也叫素数）。在偶数（0 除外）中，只有2 是质数。

【合数】如果一个自然数除了1 和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。最小的合数是4。

【质因数】每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数都叫做这个合数的质因数。

【分解质因数】把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

【计数单位】一（个）、十、百、千、万、……亿、十亿、……是整数的计数单位，小数的小数部分的计数单位从左向右依次是十分之一、百分之一、千分之一、……等。

【小数的意义】把整数“1”平均分成10 份、100 份、1000 份……这样的一份或几份是十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。

【小数的性质】小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。利用小数的性质可以将小数末尾的“0”去掉，把小数化简；也可以根据需要在小数的末尾添上“0”，还可以将整数改写成小数部分是0 的小数形式。

【十进制计数法】每相邻的两个计数单位之间的进率都是10，这样的计数方法就叫做十进制计数法。小数部分每相邻的两个计数单位之间的进率也是10。

【数位】计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置，叫做数位。

【分数的意义】把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。分数根据分子与分母的大小关系可以分为真分数和假分数。分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于1 或等于1。带分数是大于1 的假分数的另一种表示形式。

【分数单位】一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一；分子是几，它就有几个这样的分数单位。

【分数基本性质】分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0 除外），分数的大小不变。利用分数的基本性质可以将分数约分或者将几个分数通分。

【公因数、最大公因数】几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

【公倍数、最小公倍数】几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

【互质数】公因数只有1 的两个数，叫做互质数。

【最简分数】如果一个数的分子和分母的公因数只有1，这样的分数叫做最简分数。

【百分数】表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数，也叫做百分率或百分比。分数与百分数的关系：分数既可以表示一个数量，也可以表示两个数的比；而百分数只表示一个数占另一个数的百分比，不能表示具体的数量。分数后面可以加单位，而百分数后不能带单位。

【正数、负数】像16、2000、38、6.3…这样的数叫做正数。正数都比0 大。像-5、-100、-5.2…这样的数叫做负数。负数都比0 小。0 既不是正数也不是负数。正数大于负数。

【整数】像…-3、-2、-1、0、1、2、3、…这样的数统称整数。整数是由正整数、0 和负整数组成的，0 既不是正整数也不是负整数。正整数都大于0，负整数都小于0。整数的个数是无限的。没有最小的整数，也没有最小的负整数，没有最大的整数，也没有最大的正整数。最大的负整数是-1，最小的正整数是1。

2.方法

【百分数与分数和小数的互化方法】

■

【分解质因数的方法】

用塔式分解法分解质因数、用短除法分解质因数。

（三） 思维链接

1.易考点一：数的改写、求近似数

典型题例：五亿零七十六万四千写作（ ），改写成以“亿”为单位的数是（ ），省略亿位后面的尾数约是（ ）。

[分析]此题是对数的读法、写法、改写、省略方面知识的综合考查，先按整数的写法写出此数，在亿级写“5”，在万级写“76”，在个级写“4000”，百万位、千万位上没有数用“0”占位，从而写出500764000。第二个空，把写出的数改写成以“亿”为单位的准确数时，整数部分是5，后面的数不能省略，末尾的零可以省略，所以第二空应填5.00764 亿。第三个空，需要将500764000 “四舍五入”到亿位，即500764000≈5 亿。通过此题我们发现，“改写”是求准确值，结果用“=”连接；而“省略”一般是用“四舍五入法”求近似值，结果用“ ≈”连接。

2.易考点二：小数、分数、比、百分数的互化

典型题例： （ ）÷4=■=（ ）：20=0.75=（ ）%

[分析]本题考查的是小数、分数、比、百分数的互化及分数、比的基本性质等知识。复习时要注重横向复习、纵向梳理，分析知识间的内在联系，建立知识结构，形成知识网络。首先应明确它们之间的关系，分数的基本性质与比的基本性质在本质是一致的，可以统一起来，将原题变换为：

■=■ =■=■=■

再根据分数的基本性质求解。

3.易考点三：分数的意义

典型题例 “把一根3m 长的铁丝平均分成5 段，每段是这根的铁丝的■，每段长■米。”

[分析]此题考查的是分数的意义，求每段占全长的几分之几，就是把单位“1”平均分成5 段，取其中的一段，所以每段占全长的■；求每段长多少米，是把3米平均分成5份，求其中的1份是多少米，所以用3÷5=■米。通过本题可以得出规律：求每段占全长的几分之几，用单位“1”除以段数；求每段的长是多少，用具体长度除以段数。

4.易考点四：求最大公因数和最小公倍数

典型题例：如果m、n是不为0的自然数，且 m÷n=1……1，那么mn的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。

[分析]此题在考查最大公因数与最小公倍数知识的同时，又考查了除法算式各部分间的关系，通过m÷n=1……1可知m= n×1+1= n+1，即说明mn是两个相邻的自然数，因此，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。

5.易考点五：百分数的意义

典型题例：一堆煤用去30%，还剩70%吨。（ ）

[分析]百分数只表示一个数占另一个数的百分比，不能表示具体的数量，所以百分数后不能带单位，此题是错的。

二、数的运算

（一）目标链接

第一学段：

1.结合具体情境，体会整数四则运算的意义。

2.能熟练口算20以内的加减法和表内乘除法，能口算简单的百以内的加减法和一位数乘除两位数。

3.能计算两位数和三位数的加减法，一位数乘两位数和三位数、两位数乘两位数的乘法，两位数和三位数除以一位数的除法。

4.认识小括号，能进行简单的整数四则混合运算（两步）。

5.会进行同分母分数（分母小于10）的加减运算以及一位小数的加减运算。

6.能结合具体情境，选择适当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用。

7.经历与他人交流各自算法的过程。

8.能运用数及数的运算解决生活中的简单问题，并能对结果的实际意义作出解释。

第二学段：

1.能计算三位数乘两位数的乘法，三位数除以两位数的除法。

2.认识中括号，能进行简单的整数四则混合运算（以两步为主，不超过三步）。

3.探索并了解运算律（加法的交换律和结合律、乘法的交换律和结合律、乘法对加法的分配律），会应用运算律进行一些简便运算。

4.在具体运算和解决简单实际问题的过程中，体会加与减、乘与除的互逆关系。

5.能分别进行简单的小数和分数（不含带分数）加、减、乘、除运算及混合运算（以两步为主，不超过三步）。

6.能解决小数、分数和百分数的简单实际问题。

7.在具体情境中，了解常见的数量关系：总价=单价×数量，路程=速度×时间，并能解决简单的实际问题。

8.经历与他人交流各自算法的过程，并能表达自己的想法。

9.在解决问题的过程中，能选择合适的方法进行估算。

10.能借助计算器进行运算，解决简单的实际问题，探索简单的规律。

（二）要点链接

1.概念

【加法】把两个数合并成一个数的运算。

【减法】已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。

【乘法】求几个相同加数的和的简便运算。

【除法】已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算。

【倒数】乘积是1的两个数互为倒数。

2.法则

【整数加法计算法则】相同数位对齐，从个位加起，哪一位上的数相加满十就向前一位进一。

【整数减法计算法则】相同数位对齐，从个位减起，哪一位上的数不够减就从前一位退一作十再减。

【小数加、减法计算法则】先把小数点对齐（也就是把相同数位上的数对齐），再按照整数加、减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点，点上小数点。（得数的小数部分末尾有0，一般要把0 去掉。）

【分数加、减法计算法则】同分母分数相加减，分母不变，只把分子相加减；异分母分数相加减，先通分，然后按同分母分数加、减法的法则进行计算。

【整数乘法计算法则】把两个因数的数位对齐；从个位起，依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数，乘到哪一位，乘得的积的末位就要和第二个因数的哪一位对齐；把几次乘得的积加起来。（整数末尾有0 的乘法：可以先把0 前面的数相乘，然后看各因数的末尾一共有几个0，就在乘得的积的末尾添几个0。）

【整数除法计算法则】从被除数的最高位除起，先看除数有几位，再用除数试除被除数的前几位，如果前几位比除数小，就多取一位再除；除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面；如果哪一位不够商1，就在哪一位的上面写0。（每次除后余下的数必须比除数小）

【小数乘法计算法则】先按整数乘法的法则计算，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。得数的小数部分末尾有0，一般要把0去掉。

【小数除法计算法则】除数是整数时，按照整数除法的法则进行计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面补0，再继续除。除数是小数时，先看除数中有几位小数，就把除数和被除数的小数点同时向右移动几位，数位不够时用0 补足；然后按照除数是整数的小数除法进行计算。

【分数的乘法计算法则】分数乘分数，把分子相乘的积作为分子，把分母相乘的积作为分母，能约分的要约分。分数乘整数，用分子乘整数的积作分子，分母不变。

【分数除法计算法则】除以一个不等于0 的数，等于乘这个数的倒数。

【积的变化规律】在乘法里，一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）若干倍，积也扩大（或缩小）若干倍。

【商不变性质】在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。

【分数的基本性质】分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。这叫做分数的基本性质。

3.方法

【四则运算顺序】四则运算分为两级：加法和减法是第一级运算；乘法和除法是第二级运算。在没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先做第二级运算，再做第一级运算；在有括号的算式里，要按照先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的顺序运算。

【解决问题的分析方法】一是综合法，从已知入手，利用已知信息看能解决什么问题，逐步深入，直到求出所求的未知数量的方法。二是分析法，从所求的问题入手，逐步找出解决问题所需要的条件，依次推导，直到最后所需的条件恰好题目中已经给出，从而解决问题。

【解决问题的一般步骤】第一步，要审清题意，并找出已知条件和所求问题；第二步，分析数量关系，确定先算什么，再算什么，最后算什么；第三步，列式计算；第四步，检验；第五步，写出答语。

【乘积模型】最重要的两个乘积模型是：单价×数量=总价；速度×时间=路程。类似的还可以总结出：单产量×数量=总产量；工作效率×工作时间=工作总量等。

（三）思维链接

1.易考点一：口算

典型题例： 20×■÷20×■

【分析】此题的正确答案是0.36，学生易错算成：原式=12÷12=1。在进行此部分内容的复习时，教师应注重培养学生良好的运算习惯，如“一看、二想、三算、四查”的习惯；还要培养学生的口算能力、重视口算的方法、掌握口算的技巧。

2.易考点二：四则混合运算

典型题例：（64+35）-60÷3

【分析】此题的正确答案是80，学生易错算成：

（64+35）-60÷3

=99-60÷3

=39÷3

=13

究其原因，一是审题能力不够，二是没有良好的运算习惯。

3.易考点三：运用运算定律进行简便计算

典型题例，错例如下：

①82×101=8282（列竖式计算，没有用简便方法计算）

②25×（40+0.4）=25×40+0.4=1000.4

③0.73×6.5+73%×3.5=4.745+2.555=7.3

④12÷（3/4+2/3）=12÷3/4+12÷2/3=34

[分析]①不理解简算的算理。做题时不要生搬硬套公式a×（b+c）= a×b+a×c。例如，82×101，可以理解为“101个82等于100个82加上1个82”，所以82×101=82×（100+1）=82×100+82×1=8282。②要注意强化简算的技能。一是平时让学生通过计算熟练牢记常用的特殊数的运算结果，如：25×4=100、125×8=1000、1/5=0.2=20%、2/5=0.4=40%等等，从而培养学生的数感，提高简算的技能。二是要增加变式练习，培养学生举一反三的能力，如0.73×6.5+73%×3.5=0.73×6.5+0.73×3.5=0.73×（6.5+3.5）=0.73×10=7.3。三要加强易错题的对比练习，提高学生的甄别能力，避免出现运算定律的泛化运用，如12×（3/4+2/3）和12÷（3/4+2/3）的计算方法的比较。③养成简算的习惯。看到题不要急于去做，而要先思后行，养成“一看、二想、三算、四查”的好习惯，即先想一想能不能运用简便方法、怎么简算，再动笔去做，最后检查有没有抄错数、运算符号对不对、简算方法对不对，从而养成良好的简算习惯。

4.易考点四：求百分率

典型题例：某实验室进行种子发芽试验，种了102粒全部发芽，则发芽率是102%。（ ）

[分析]此题是求发芽率，应根据发芽率的公式，即：

发芽率=■×100%=■×100%=100%，所以此题错。建议学生一要牢记常见的求百分率的公式，如：

出勤率=■×100%

合格率=■×100%

成活率=■×100%

大豆的出油率=■×100%

二要找准两个关键的数：总数和要求的百分率所对应的数，最后不要忘乘100%。

5.易考点五：分数的基本性质

典型题例： 2/3的分母增加12，要使分数的大小不变，分子应（ ）。

A.增加12 B.减少12 C.扩大5倍

[分析]此题是考查分数的基本性质，不管分母或分子增加还是减少，都应紧扣分数的基本性质来做题，即分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。此题中分母增加12后是15，也就是3乘5得到的，根据分数的基本性质，分子也应该乘5。本题正确答案C，易错答案A。

三、常见的量

（一）目标链接

1.在现实情境中，认识元、角、分，并了解它们之间的关系。

2.能认识钟表，了解24 时记时法；结合自己的生活经验，体验时间的长短。

3.认识年、月、日，了解它们之间的关系。

4.在现实情境中，感受并认识克、千克、吨，能进行简单的单位换算。

5.能结合生活实际，解决与常见的量有关的简单问题。

（二）要点链接

1.概念

【量】量是事物的一种属性，像长度、面积、体积、时间、质量等都是量。量都是可以被计量的，量的多少必须用标准的量作单位计量后，才能知道是多少。如，用克为单位来量一袋盐的质量，就得到数500。

【计量】在测量物体的大小、长短、轻重、运动的快慢等时，要把测定的量与一个作为标准的量相比较，这就是计量。计量在历史上叫度量衡，其含义是关于长度、容积、质量、速度等的测量。

【计量单位】除了本版块介绍的货币单位、质量单位、时间单位外，与几何知识有关的测量单位，如，长度单位、面积单位、体积（容积）单位将在后面《图形与几何》的“测量”版块详细介绍。

【名数】在表示一个量时，要用数值加计量单位的形式表示，数后面带有计量单位叫做名数。如，3（数）元（单位）就是单名数，而2 吨300 千克这样的就是复名数。

2.方法

【24 时记时法与普通记时法】记时法有两种：一种是国家有关部门采用的从0 时～24 时连续计时的24 时记时法；一种是从夜里0 时～中午12 时为一段，从中午12时～夜里24（0）时为一段的普通记时法。这样，通常说的下午1 时就是13 时，依次类推，晚上11 时就是23 时。

【平年、闰年】公历年份是4 的倍数的一般都是闰年，但公历年份是整百数的，必须是400 的倍数才是闰年。如2000 年是闰年，2096 年是闰年，但2100 年不是闰年，要到2104 才是闰年，也就是说通常是四年一闰，而2096 年要经过8 年才到下一个闰年。

【各月的天数】一年中大月（每月31 天）有1、3、5、7、8、10、12 月。小月（每月30 天）有4、6、9、11 月。2 月既不是大月，也不是小月。平年2 月28 天，闰年2 月29 天。平年全年365 天，闰年全年366 天。

由此发现：一年之中连续的大月是7 月和8 月；上一年的12 月和下一年的1 月也是连续的大月。一年之中没有连续的小月。每一年的下半年的天数是相同的，都是184 天。而每一年的上半年的天数不一定是相同的，平年上半年181 天，闰年上半年182 天。

（三）思维链接

1.易考点一：单名数之间的改写

典型题例： 5.8 升=（ ）毫升 30厘米=（ ）米

28千克=（ ）吨=（ ）克

[分析]名数之间进行改写在填空题中比较常见，平时我们应该学会把握规律，准确改写。如单名数之间的改写：把高级单位的名数改写成低级单位的名数要用高级单位的数乘两个单位间的进率，5.8 升=5.8×1000 毫升=5800 毫升。把低级单位的名数改写成高级单位的名数要用低级单位的数除以两个单位之间的进率。30 厘米=30÷100=0.3 米。

2.易考点二：复名数与单名数之间的改写

典型题例： 4 吨6千克=（ ）千克

7450 公顷=（ ）平方千米（ ）公顷

2.8平方米=（ ）平方米（ ）平方分米

4.15 时=（ ）时（ ）分

[分析]复名数与单名数之间的改写：把高级单位的复名数改写成低级单位的单名数，用高级单位的数乘进率再加上低级单位的数。4 吨6千克=4×1000+6千克=4006千克。把低级单位的单名数改写成高级单位的复名数，用低级单位的数除以进率，得到的商是复名数的高级单位的数，余数是低级单位的数。7450 公顷=（ ）平方千米（ ）公顷，方法是7450÷100=74……50，所以7450 公顷=（74）平方千米（50）公顷。第四道属于易错题，做题时容易出现4.15时=（4）时（15）分的错误，产生错误的原因是将0.15时化成分时，乘的是100，而不是它们之间的进率60。

3.易考点三：填合适的单位

典型题例： 一枚1角硬币大约重1（ ）。

一瓶可口可乐的容量是400（ ）。

小明的身高是160（ ）。

一间教室的面积是60（ ）。

[分析]计量物体的重量要用质量单位，液体的体积要用升和毫升，求身高则要用长度单位米、分米、厘米。此题的正确答案是：一枚1角硬币大约重1克、一瓶可口可乐的容量是400毫升、小明的身高是160厘米，一间教室的面积是60平方米。建议学生应熟记一些常见的量，如一袋盐是500克、一大瓶可乐是2升等等。

四、式与方程

（一）目标链接

1.在具体情境中能用字母表示数。

2.结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示。

3.能用方程表示简单情境中的等量关系（如，3x+2=5，2x-x=3），了解方程的作用。

4.了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程。

（二）要点链接

1.概念

【等式】表示相等关系的式子叫做等式。

【方程】含有未知数的等式叫做方程。

【方程的解】使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

【解方程】求方程的解的过程，叫做解方程。

【等式的性质】等式的两边同时加上或减去同一个数，等式仍成立。等式的两边同时乘或除以相同的数（0除外），等式仍成立。

2.方法

【列方程解决实际问题的一般步骤】第一步，弄清题意，找出未知数并用x表示；第二步，找出题中的等量关系，并根据等量关系列出方程；第三步，解方程，求出未知数的值；第四步，检验并写出答语。

（三）思维链接

1.易考点一：方程的概念

典型题例：判断：

1.所有的方程都是等式，而等式不一定是方程。（ ）

2.含有未知数的式子叫做方程。（ ）

[分析]此题是在考查方程的概念，应让学生学会对概念进行对比分析，并明确：判断一个式子是不是方程，必须具备两个条件：一是等式，二是含有未知数。如30+3=33 是等式，但不是方程。而2x+3=5 是方程也是等式。

2.易考点二：等式的性质

典型题例：在○中填符号，在□中填数字使等式成立。

如果8x=56，那么8x+4=56○□

[分析]此题重点考查对等式基本性质的应用，等式的左边加上4，右边也加上4，等式才能成立。

3.易考点三：解方程

典型题例： x-0.43=5.62

[分析]此题重点考查利用等式的性质解方程。根据等式的性质，方程的左右两边要同时加上0.43。

正确答案：x-0.43=5.62

解：x+0.43-0.43=5.62+0.43

x=6.05

易错答案：x-0.43=5.62

解：x+0.43-0.43=5.62-5.62

x=0

提醒：解方程时，左右两边要同时发生相同的变化。

4.易考点四：列方程解应用题

典型题例：公园里的松树和杨树一共120棵，其中松树的棵树是杨树的2倍。松树和杨树各多少棵？

[分析]找等量关系是列方程解决问题的关键，我们可以抓题目中的关键语句 “松树的棵树是杨树的2倍”，可知“松树的棵树=杨树的棵树×2”。设杨树的棵树为x，以此来列方程解答。

提醒：列方程时，一般设较小数为x。

五、比和比例

（一）目标链接

1.在实际情境中理解比及按比例分配的含义，并能解决简单的问题。

2.通过具体情境，认识成正比例的量和成反比例的量。

3.会根据给出的有正比例关系的数据在方格纸上画图，并会根据其中一个量的值估计另一个量的值。

4.能找出生活中成正比例和成反比例关系量的实例，并进行交流。

（二）要点链接

基本概念

【比】两个数相除又叫两个数的比。

【比的前项、后项、比值】在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商叫做比值。比值是一个具体的数，因此可以用整数、分数或小数表示。

【比的基本性质】比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。

【比例】表示两个比相等的式子叫做比例。如，3：5=6：10。

【比例的项】在比例中，组成比例的四个数叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的內项。

【比例的基本性质】在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。如在上面的比例中3×10=5×6。

【解比例】求比例中的未知项，叫做解比例。

【正比例和反比例】两种相关联的量，有的成比例，有的不成比例。如果两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，当这两种量中相对应的两个数的比值一定时，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。当这两种量中相对应的两个数的积一定时，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示一个定值，则正比例关系可以表示为■=k（一定）；反比例关系可以表示为xy=k（一定）。如：①单价一定时，数量越多总价就越多，数量越少总价就越少，但总价/数量=单价（一定）。因此，单价一定时，数量和总价成正比例关系。②总价一定时，单价越多数量就越少，单价越少数量就越多，而单价×数量=总价（一定）。因此，总价一定时，单价和数量成反比例关系。

（三）学法链接

1.对比梳理，沟通联系，形成网络

在数学王国里，比和除法、分数之间的关系密不可分又有所区别，因此理清三者之间的联系和区别非常重要。

■

在“比”这部分内容中，很多知识之间都存在着相通之处。如：比的基本性质与商不变的性质、分数的基本性质是相通的，求比值与求商、化简比与约分、按比例分配与求一个数的几分之几是多少也都有相通之处。因此，在复习这些内容时，应注意加强知识间的联系和对比分析，通过全面的回顾、整理、类比、对照，使知识得以融会贯通，形成知识网络。

2.理清思路，掌握方法，形成技能

求比值和化简比往往容易发生混淆，复习时应注意对比分析，理清思路，掌握方法。

【求比值】要根据比值的意义，用前项除以后项，其结果是一个数，可以是整数、小数或分数。

【化简比】根据比基本性质把两个数的比化成最简单的整数比，其结果是一个比（比的前项和后项是互质数），可以写成分数形式，但不能写成小数或整数。如，6：3=2/1或6：3=2：1，如果写成6：3=2就不是化简比，而是求比值了。

（四）思维链接

1.易考点一：写出两个量之间的比

典型题：某班有男生30人，女生24人。男生人数和女生人数的比是（ ： ），女生人数和全班人数的比是（ ： ）。

分析：解答这类题要注意看清楚是把哪两个量相比，就用对应的数相比，并且结果要化成最简整数比。所以男女生人数的比为30：24，化简后为5：4。第二问因为全班人数没有直接给出，所以先要求出全班人数，用30+24=54（人）。再求女生人数与全班人数的比为24：54，化简为4：9。也可以利用第一问的结果，把男、女生人数分别看成几份去推理。男、女生人数比为5：4，即男生人数占5份，女生人数占4份，因此全班人数为5+4=9（份），这样女生人数与全班人数的比为4：9。

2.易考点二：化简比、求比值

典型题：化简比：3/4：5/8 3.8kg：190g

分析：化简比即把一个比化成最简整数比。第一题，根据比的基本性质，让比的前项和后项同时乘8，比值不变。所以3/4：5/8=（3/4×8）：（5/8×8）=6：5。第二题中比的前项和后项单位不同，首先应统一为相同单位，然后再利用比的基本性质，将其化成最简整数比。即

■

典型题2：化简比并求比值：0.12：2.5

分析：化简比要利用比的基本性质，让比的前项和后项同时乘100，变成整数，再同时缩小相同的倍数，变成最简整数比。求比值则可用化简比的前项除以后项，得到的结果即为比值。这里注意，最简整数比可以写成a：b的形式，也可以写成a/b的形式，比值可以是整数、小数、或分数的形式。

■

3.易考点三：判断两个比是否成比例

典型题：0.5：24和1.5：3.6

分析：判断两个比是否能组成比例，要看它们的比值是不是相等。所以，可以分别求出两个比的比值。0.5：24=1/48，1.5：3.6=5/12，1/48≠5/12，所以，这两个比不能组成比例。也可以利用比例的基本性质（在比例里，两个外项的积等于两个內项的积）进行判断。因为0.5×36=18，24×1.5=36，两个积不相等，因此这两个比不能组成比例。

4.易考点四：利用比例的基本性质填空或解比例

典型题： ■：3 =x：24

分析：根据比例的基本性质，內项积等于外项积，则有3x=■×24，解得x=3。

5.易考点五：判断成正、反比例关系

典型题1：“填空：小林从家到学校的步行速度和所用时间成（ ）比例。”

分析：判断成正、反比例关系的方法概括起来是“一找二看三判断”。一找变量。分析数量关系，确定哪两种量是相关联的量。二看定量。分析这两种相关联的量，看它们之间的关系是商一定，还是积一定。三判断。如果商一定就成正比例；如果积一定就成反比例；如果商或积都不是定量，就不成比例。此题中隐含着小林从家到学校的距离是固定不变的，因为小林步行的速度×所用时间=小林从家到学校的距离（一定），因此，小林从家到学校的步行速度和所用时间成正比例。

典型题2：“填空：如果x=■，那么x和y成（ ）比例；如果6x=y（x、y均不为0），那么x和y成（ ）比例。”

分析：此题中都需要把原式进行变形。x=■可以变形为xy=5，因为x和y的积一定，所以x和y成反比例。6x=y可以变形为y/x=6，因为x和y的商一定，所以x和y成正比例。

典型题3：“判断：一本书已看的页数和未看的页数成反比例。”

分析：此题“看的页数”和“未看的页数”虽然是相关联的量，但它们之间是和一定，不是商或积一定，所以不成比例。

6.易考点六：比和比例的应用

典型题：一种农药是把药粉和药水按1：20配成的，要配制10.5千克的这种农药，需要药粉和水各多少千克？

分析：解决本题的方法有：

（1）用分数方法解答。把两种量的比转化成部分量占单位“1”的比率，从而将本题转化成分数实际问题。解题过程如下：药粉：10.5×1/1+20=0.5（千克），水：10.5×20/1+20=10（千克）。

（2）归一法。把比看作是分得的份数，先求出总份数，然后用“总量÷总份数”求出每份的量（归一），再用“每份的量×各部分量所对应的份数”求出各部分量。解题过程如下：药粉：10.5÷（1+20）=0.5（千克），水：0.5×20=10（千克）。

（3）用比例知识解答。根据两个量的化简比与实际质量的比的相等关系，列出比例解答。解题过程如下：解：设需要药粉x千克。x/10.5=1/1+20，解得：x=0.5，则水的质量：10.5-0.5=10（千克）。或解：设需要水y千克。y/10.5=20/1+20，解得：y=10，则水的质量：10.5-10=0.5（千克）。

五、探索规律

（一）目标链接

探索给定情境中隐含的规律或变化趋势。

（二）要点链接

【探索规律】重点在于使学生在具体情境中，通过观察、计算、操作、思考等方式，了解蕴涵在问题情境中的规律，学会思考问题的方法，获得数学的基本思想。

【数列问题】按照给出的按一定规律排列的数列，接着往下填数。这里的规律有：数字的重复、增加（或减少）相同的数、增加（或减少）递增（或递减）的数、乘（或除以）相同的数、其它规律（如，斐波那契数列等）。有的问题是将规律隐含在字母或图形之中，但实质仍然是数列问题。

【排列问题】从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。如，用3、6、9三个数字可以组成哪些不同的三位数？

【组合问题】从给定个数的元素中取出指定个数的元素，不考虑排序。如，有四个小朋友，每两人都要握一次手，一共要握几次手？

【推理问题】由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程。如，抽屉原理（把十支笔任意放进九个抽屉里，不论怎样放，至少有一个抽屉放有两支或两支以上的笔。）

【交叉问题】两个或三个数量所涉及到的对象有交叉关系。这类问题可以借助集合圈表示、解决。如，在学校春季运动会上，六（1）班同学参加了两项比赛。有18日参加田径比赛，10日参加篮球比赛。其中，同时参加这两项比赛的有8人。六（1）班共有多少人参加学校春季运动会？

【代换问题】用一种量来代替和它相等的另一种量。如，△+○=16，△=○+○+○，△=？○=？

【统筹问题】从优化的角度在解决问题的多种方案中寻找最优的方案。如，华罗庚的沏茶问题，工序：烧水（8分钟）；洗水壶（1分钟）；洗茶杯（2分钟）；接水（1分钟）；找茶叶（1分钟）；沏茶（1分钟）。怎样安排才能最快喝上茶？

【植树问题】关键是找准棵数与间隔数之间的关系，特别要注意根据不同的情况（两端都植、两端都不植、只植一端、圆形的一周植树等）总结规律。

【数字编码】体会生活中常见的数字编码中数字表示的意义，并尝试借助数字编码进行有序管理。如，给班级的同学编学号。

【鸡兔同笼】中国古代的数学名题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中记载：“今有雉兔同笼，上有三十五头， 下有九十四足，问雉兔各几何？”解决的办法有多种，如尝试法、列表法、假设法、列方程法等。通过鸡兔同笼问题让学生感受到尝试是数学探索的一种有效途径，同时是对学有余力的学生进行方程模型思想的启迪。

（三）学法链接

探索规律与其他内容不同，它侧重于渗透数学思想，侧重于寻求解决问题的策略，侧重于数学思维的发展，因此复习这部分内容，应注重理解、体会和感悟。

1.把握“数学思想”，以简驭繁

数学思想看上去抽象复杂，看其实是有规律可循的。如，解决“等量代换问题”的关键是用一种量替换另一种量，以减少未知量，简化问题，其中也蕴含了“推理思想”。解决“排列问题”的关键是有序排列组合，不重复、不遗漏。“统筹问题”的关键是抓住主要环节，把可以同时做的几件事情有序安排，同步进行，从而节约时间提高效率。“植树问题”的关键是找准棵数与间隔数之间的关系，同是一条线段，如果两端都栽，则棵树=间隔数+1，如果只栽一端，则棵树=间隔数，如果两端都不栽，则棵树=间隔数-1。如果是首尾相接的封闭曲线，则棵树=间隔数……可见，每一类数学思想都有其内在的规律、要领，把握这些规律、要领，才能化繁为简，以简驭繁。

2.运用“数学规律”，实践提高

如，学过植树问题后，将这一模型运用于现实生活。引导学生思考：1000米长的小路，每隔50米栽一个路灯杆（两头都栽），需要栽几个路灯杆？在一条长3米的细绳上晾被单，每5分米晾一个被单，并用夹子夹住，共需要几个夹子？使学生将植树问题的模型与现实生活联系起来，更好地理解模型，提高解决问题的能力。

（四）思维链接

1.易考点一：代换问题

典型题：小明把720毫升果汁倒入一个大杯和6个小杯，正好都倒满。已知大杯的容量是小杯的3倍，大杯和小杯的容量各是多少毫升？

分析：这里可以把1个大杯替换成3个小杯，与6个小杯合起来，就是9个小杯能盛720毫升果汁，进而求一个小杯的容量为720÷（6+3）=80（毫升），那一个大杯的容量就是80×3=240（毫升）；也可以把3个小杯替换成1个大杯，这样6小杯就替换成了2个大杯，与1个大杯合起来，变成3个大杯盛720毫升果汁，那1个大杯的容量为720÷（2+1）=240（毫升），一个小杯的容量为240÷3=80（毫升）。

2.易考点二：统筹问题

典型题：星期天妈妈要做好多事情，擦玻璃要20分钟，收拾厨房要15分钟，洗衣服的领子、袖口要10分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要40分钟，晾衣服要10分钟。妈妈干完所有这些事情最少用多长时间？

分析：如果按照题目告诉的几件事，一件一件去做，要95分钟。要想节约时间，就要想想在哪段时间里闲着，能否利用闲着的时间做其他事。最合理的安排是：先洗脏衣服的领子袖口，接着打开全自动洗衣机洗衣服，在洗衣服的40分钟内擦玻璃和收拾厨房，最后晾衣服，共需10+40+10=60（分钟）（见下图）。

■

所以，妈妈干完所有这些事情最少用60分钟。

3.易考点三：鸡兔同笼问题

典型题：鸡兔同笼，有12个头，38条腿。鸡兔各有多少只？

分析：解决本题的方法有：

（1）列表法

■

用列表的方法得出鸡有5只，兔有7只。

（2）假设法

假设这12只都是鸡，则腿的数量应为12×2=24（条），比实际的腿数少38-24=14（条），因为每只兔子少算了2条腿，所以可以算出兔子的只数为14÷2=7（只），那么鸡的只数为12-7=5（只）。

也可以假设这12只都是兔子，则腿的数量为12×4=48（条），比实际的腿数多了48-38=10（条），因为每只鸡多算了2条腿，所以可以算出鸡的只数为10÷2=5（只），那么兔子的只数为12-5=7（只）。

（3）列方程解答

解：设兔有x只，则鸡有（12-x）只。列方程为4x+2×（12-x）=38，解得x=7，那么鸡的只数就是12-7=5（只）。

也可以解：设鸡有y只，则兔有（12-y）只。列方程为2y+4×（12-y）=38，解得y=5，那么兔的只数就是12-5=7（只）。

第二部分 图形与几何

一、图形的认识

（一）目标链接

第一学段：

1.认识长方体、正方体、圆柱和球，能正确的分类。

2.初步认识长方形、正方形、三角形和圆，能从立体图形中找出这些图形。

3.知道角有组成，角的大小与两角边的长短无关，能辨认角，能在物品图上找到角，并画角。会辨认直角、锐角、钝角。

4.认识长方形、正方形、平行四边形，掌握长方形、正方形的异同）

第二学段：

1.能区分直线、线段和射线，能按要求画指定长度的线段。认识角，会读写角，能用量角器测量角的度数。

2.认识垂线和平行线，会用直尺和三角板按要求画垂线、平行线，长方形和正方形。

3.认识三角形各部分名称，会画三角形的高。认识直角三角形、锐角三角形、等腰三角形和等边三角形，了解等腰三角形和等边三角形的特点。了解三角形内角和是180度，能根据两个已知角的度数求出另一个角的度数。

4.知道平行四边形对边平行，对角相等，知道正方形和长方形都是特殊的平行四边形。

5.认识梯形和梯形的特征，了解直角梯形和等腰梯形。

6.能把组合图形分成几个基本图形 。了解多边形的边数与分割成的三角形的个数、内角和之间的数学规律。

7.知道长方体、正方体各部分的名称，了解长方体、正方体的特征以及长方体、正方体之间的关系。

8.认识圆及扇形，并能借助一定的工具画一个圆。

（二）要点链接

1.概念

【直线】直线没有端点，可以向两端无限延伸，长度无法测量。过一点可以画无数条直线，过两点只能画一条直线。

【射线】射线只有一个端点，可以向一端无限延伸，长度无法测量。从一点出发可以画无数条射线。

【线段】线段有两个端点，长度可以测量。两点间的所有连线中，线段最短。

【角】从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。角的大小与两边张开的大小有关，与两边的长短无关。

【三角形】由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。

【四边形】由四条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做四边形。四边形具有不稳定性。

【平行四边形】两组对边分别平行的四边形。

【长方形】对边平行且相等，四个角都是直角的四边形。

【正方形】四条边都相等，四个角都是直角的四边形。

【梯形】只有一组对边平行的四边形。

【圆】当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一端点所画出的一条封闭曲线就是圆。

【圆心】圆中心的一点叫做圆心。

【半径】连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。

【直径】通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。

【扇形】由圆的两条半径与这两条半径所夹的圆心角所对的弧围成的图形。

【长方体】长方体是由 6 个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。

【正方体】正方体是由 6 个完全相同的正方形围成的立体图形。正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体。

【圆柱】圆柱有三个面，底面是两个相等的圆，侧面是一个曲面，两个底面之间的距离叫做高。沿圆柱的高将圆柱的侧面展开后是一个长方形。

【圆锥】圆锥有两个面，底面是一个圆形，侧面展开是一个扇形。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。

2.图形的特征及关系

【三角形的三条边之间的关系】三角形任意两边的和大于第三边。

【三角形的三个角之间的关系】三角形内角和是 180度。

【三角形的特性】三角形具有稳定性。

【圆的特性】在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径也都相等，直径是半径的 2 倍。圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。

（三）思维链接—典型习题分析

1.易考点一：直线、线段和射线的特征

典型题例：直线不能测量长度，但是线段和射线可以量出长度。（ ）

【分析】此题是在考察直线、线段和射线的特征，复习时应使学生明确，直线和射线是无限长的，无法测量长度，线段是有限长的，可以量出长度。

2.易考点二：角的特征

典型题例：角的两条边越长，角就越大。

【分析】抓住“角的大小是由两条边叉开的大小决定的，叉开的越大角越大，叉开的越小角越小，与角的长短无关”这个特征。

3.易考点三：平行线的概念

典型题例：不相交的两条直线叫做平行线。

【分析】抓住“平行线”的概念中“在同一平面内”这个前提条件来进行判断。

二、测量

（一）目标链接

第一学段：

1.在实践活动中体会并认识厘米、分米、米，能进行简单的换算。

2.知道周长的含义，能指出并测量物体表面的周长。掌握长方形、正方形的周长公式，能正确计算长方形、正方形的周长。

3.建立千米、毫米的长度概念，会进行简单的单位换算。能恰当的选用长度单位进行测量和表示物品的长度。

4.认识面积的含义，了解把图形平均分成若干小方格进行面积比较的方法。知道平方厘米、平方分米、平方米等面积单位，会进行简单的换算，会用某个面积单位测量物品表面和图形的面积。

第二学段：

1.探索并掌握平行四边形、三角形、梯形的面积公式，会用公式计算它们的面积。

2.能运用学过的面积公式计算组合图形的面积，体验算法的多样化。并能解决生活中的实际问题。

3.了解“公顷”“平方千米”土地面积的单位，知道平方千米、公顷、平方米之间的关系，能解决土地面积换算的问题。

4.知道表面积，会计算长方体、正方体的表面积，并能解决生活的实际问题。

5.了解体积的意义，感受1立方米、1立方分米、1立方厘米的实际意义，并能进行简单的体积单位换算，利用体积计算公式解决生活中的实际问题。

6.通过操作，了解圆的周长与直径的比为定值，掌握圆的周长公式，探索并掌握圆的面积公式，并能解决简单的实际问题。

（二）要点链接

1.概念

【周长】封闭图形一周的长度。

【面积】物体的表面或封闭图形的大小。

【表面积】物体表面的总面积。

【体积】物体所占空间的大小。

【容积】仓库或容器所能容纳物体的体积叫做容积。

2.概念之间的关系

【体积和容积的异同点】

◆容积单位一般用体积单位。当容器所容纳的物体是液体时，常用升、毫升作单位。

◆容积的计算方法与体积的计算方法相同，但要从容器的里面测量相关数据，而计算体积要从容器的外面测量相关数据。

【测量的单位及进率】

■

（三）思维链接—典型习题分析

1.易考点一：面积与周长的区别

典型例题：“半径是 2cm 的圆的周长和面积相等”。

【分析】周长是指封闭图形一周的长度，面积是物体的表面或封闭图形的大小。周长和面积是两个本质不同的概念，它们之间无法进行比较。

2.易考点二：三角形与等底等高平行四边形面积之间的关系

典型例题：“三角形的面积等于平行四边形的面积的一半”。

【分析】在“三角形和平行四边形等底等高”这个前提下，“三角形的面积等于平行四边形的面积的一半”这条结论才成立。

3.易考点三：圆的面积与圆的直径、圆的周长关系

典型例题：圆的周长是12.56厘米，圆的面积是（ ）平方厘米。

【分析】涉及公式的变形及组合运用。要求圆的面积必须知道圆的半径，所以，根据圆的周长公式先求出圆的半径，即r=C÷2π，12.56÷3.14÷2=2（厘米），然后根据圆的面积公式进行计算。3.14×22=12.56（平方厘米）。

4.易考点四：面积单位平方千米、公顷、平方米之间的关系

典型例题：5公顷=（ ）平方米

7平方千米=（ ）公顷

【分析】厘清1公顷就是边长为 100 米的正方形的面积， 1 公顷=100 米×100 米=10000 平方米， 类推1 平方千米=1000 米×1000 米=1000000 平方米，1 平方千米=100 公顷。

5.易考点五：割圆后形成的长方形与圆周长、面积之间的关系

典型例题：一个半径是 2cm 的圆等分成 32 份后，拼成了一个近似的长方形，这个近似长方形的周长是多少？这个近似长方形的面积是多少？

【分析】经历 “割圆术”探索“圆的面积”的过程，就会清楚上图中的近似长方形的长是圆的周长的一半，宽是圆的半径，所以这个近似长方形的周长等于圆的周长加上两条半径的长，近似长方形的面积就是圆的面积。

6.易考点六：体积（容积）公式在实际生活中的应用

典型例题：一个长方体仓库，从里面量长 9 米，宽 6 米，高5 米。如果放入棱长为 2 米的正方体木箱，可以放进多少个正方体木箱？

【分析】解题时要考虑长、宽、高分别可容纳几只木箱，不能直接用仓库的体积除以木箱的体积。应该用9÷2=4（个）……1（米），6÷2=3（个），5÷2=2（个）……1（米），用4×3×2=24（个）。

三、图形的运动

（一）目标链接

1.能辨认和找出生活中的平移、旋转现象，能辨认简单图形平移后的图形。

2.了解“对称”的含义，能找出生活中的对称现象，初步认识轴对称图形。

（二）要点链接

1.概念

【平移】在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。

【旋转】在平面内，将一个图形绕一个定点，沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。

【轴对称图形】如果一个图形沿着一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

2.概念的特征

◆平移不改变图形的形状和大小。决定平移后图形位置的关键有两个：一是平移的方向；二是平移的距离。

◆旋转不改变图形的形状和大小。决定旋转后图形位置的关键有两个：一是旋转的方向；二是旋转的角度。

◆把一个图形的各边都同时按一定的比放大或缩小。图形的放大与缩小，只改变图形的大小，不改变图形的形状。

（三）思维链接—典型习题分析

1.画出一个图形经过平移或旋转以及补全一个轴对称图形。

【分析】平移或旋转以及补全一个轴对称图形都是在方格纸上进行的。

2.画出一个图形经过平移后的图形。

【分析】只要求图形沿水平或竖直方向平移，关于旋转只要求图形绕着一点旋转 90度，不要求图形沿其它方向平移或绕着一点旋转任意角度。

3.根据对称轴补全轴对称图形。

【分析】画出关键点平移、旋转、轴对称之后的对应点，再连线。

四、图形与位置

（一）目标链接

第一学段：

1.能辨认从不同方向（前面、后面、左面、右面）

2.能根据具体的事物、图片和照片，直观辨认从不同角度观察到的简单物体。能够辨认从前面、侧面和上面观察立体实物所看到的平面图形。

第二学段：

1.能辨认、描述、判断从不方位观察由两个实物组成的物体所看到的图形到的简单物体。能按要求搭成立体图形。

2.体会用角度来描述物体方向的作用，会测量角并用角度描述物体所在的方向。会看简单的路线图，能根据路线图说出行走的方向和路线。

（二）要点链接

1.概念

【描述物体的相对位置】用“上、下、左、右、前、后”描述的是物体的相对位置，它与观察者和参照物有关。主要用来描述现实空间中物体的位置。

【描述物体的绝对位置】用“东、南、西、北”描述的是物体的绝对位置，它不受观察者的影响，只与参照物有关。既可以用来描述现实空间中物体的位置，也可以用来描述平面上物体的位置。用方向来描述平面上物体位置时，图形中表示的方向通常是“上北下南、左西右东”，图中一般要标出。

【用方向和距离描述物体的位置】一是确定观测点，二是方向，三是距离。

【用数对描述物体的位置】用数对描述平面上物体的位置，横排为行，竖排为列。确定第几列，一般从左向右数；确定第几行，一般从前往后数（方格纸上从下往上数）。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用“，”隔开，再加上小括号。

【比例尺】图上距离与实际距离的比，叫做一幅图的比例尺。

2.公式

图上距离：实际距离=比例尺或图上距离/实际距离=比例尺

变形公式有：

（1）图上距离=实际距离×比例尺

（2）实际距离= 图上距离/比例尺

【路线图】从初始点出发到达终点的行径。描述路线图的过程中观测点不断变化，随之需要确定的方向、也不断变化。

（三）思维链接—典型习题分析

1.易考点一：找准观测点确定方位

典型例题：上海在北京南偏东约30度的方向上，北京在上海的（ ）偏（ ）约（ ）的方向上。

【分析】上海在北京南偏东的方向，是以北京为观测点。而“北京在上海的什么方向上”，这就需要以上海为观测点，从而得出北京在上海的北偏西约30度的方向上。

2.易考点二：根据数对找位置

典型例题：大门（3，0） 猩猩馆（0，3），在图上找出它们的位置。

【分析】大门（3，0）与猩猩馆（0，3）容易混淆，根据数对描述物体位置的规则：先列后行，大门（3，0）表示的是第3 列第0 行，应该在最下面的水平线上。猩猩馆（0，3）表示的是第0 列第3 行，应该在最左面的竖直线上。

3.易考点三：比例尺问题

典型例题：在一幅比例尺是1：5000000 的地图上，（1）量得甲城到乙城的距离是3.4cm。甲城到乙城的实际距离是多少？（2）丙城到丁城的实际距离是260km。丙城到丁城的图上距离是多少？

【分析】解决本题要清楚比例尺1：5000000 所表示的含义，即地图上1cm 的距离相当于地面上5000000cm 的实际距离，即50千米。

第（1）题，甲城到乙城的实际距离是3.4×50=170（km）。

第（2）题，求260千米里面有几个50千米就需要画几厘米，所以求图上距离用260÷50=5.2（cm）。

第三部分 统计与概率

一、简单数据统计过程

（一）目标链接

1.经历简单的收集、整理、描述和分析数据的过程（可使用计算器）。

2.会根据实际问题设计简单的调查表，能选择适当的方法（如调查、试验、测量）收集数据。

3.认识条形统计图、扇形统计图、折线统计图；能用条形统计图、折线统计图直观且有效地表示数据。

4.体会平均数的作用，能计算平均数，能用自己的语言解释其实际意义。

5.能从报纸杂志、电视等媒体中，有意识地获得一些数据信息，并能读懂简单的统计图表。

6.能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测，并能进行交流。

（二）要点链接

1.基本概念

【简单数据统计过程】一般要经历四个阶段：收集数据、整理数据、描述数据、分析数据。

【收集数据】指收集原始数据。收集数据的方法很多，可以通过调查、测量、实验得到数据，也可以通过查阅书刊、上网查询等方法得到数据。

【整理数据】就是把收集到的原始数据进行整理。可以分类整理，也可以分段整理。整理的过程中，可以采用画“正”字或者画“√”的方法进行计数。

【描述数据】就是将整理好的数据展示出来。可以制成统计表，也可以制成统计图，但要结合具体的问题和具体的内容来选择。

【分析数据】就是解释统计的结果，并能根据统计的结果作出简单的判断和预测。

2.各类统计图、统计量的特点

【条形统计图】通过条形的高低来表示数量的多少的统计图。它能够清楚地表示数量的多少，有利于数量的比较。

【折线统计图】以折线的上升或下降来表示统计数量的增减变化情况的统计图。它不仅能表示出数量的多少，还能够反映数量的增减变化情况。

【扇形统计图】用整个圆面积表示总数，用圆内的各个扇形的面积表示各部分占总数的百分数的统计图。它用单位“1”表示总数，能够清楚的反映出各部分占总数的百分比。

【平均数】是刻画一组数据集中趋势的一个统计量。平均数的求法是将一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数得到的商。它的大小和每个数据都有关系，任何数据的变化都会引起平均数的变化。一组数据的极大或极小数据对平均数影响较大。

（三）学法链接

1.要善于根据具体情况选择合适的统计方法

三类统计图在表示数据上各有不同的特点和优势，在选择统计图时，要根据具体的问题和统计的侧重点选择合适的统计图。如，要反映学校图书馆各类书的数量选用（条形）统计图比较合适，要反映全校近视学生人数同全校学生人数之间的关系，选用（扇形）统计图比较合适，要反映病人一天的体温变化情况选用（折线）统计图比较合适。

2.鼓励学生从统计图中获取尽可能多的有用信息

读统计图，首先要使学生能读出统计图中直接包含的信息，然后透过这些信息，要逐步能读出信息“背后”所隐含的内容，逐步提高读图和解决实际问题的能力。

3.鼓励学生将所学知识融会贯通，有效解决问题

如，扇形统计图可以清楚地看出各部分与总数的百分比。此时如果知道总数量就可以求部分量，反过来如果知道部分量，就可以求总数量。根据各部分量占总数的百分比，还可以求部分量与部分量之间的关系。这些内容都与百分数乘除法之间有着密切的联系，要能将所学知识沟通联系，逐步提高解决问题的能力。

（四）思维链接

1.易考点一：根据情境选择合适的统计图

典型题：下面的信息资料中，最适合用条形统计图表示的是（ ）。

A.各种消费情况与家庭总收入的关系

B.8月份气温变化情况

C.某学校各学科教师人数情况

分析：解答此题，要熟悉各类统计图的特点。条形统计图可以清楚地看出各种数量的多少，便于互相比较。折线统计图不仅可以看出数量的多少，而且可以清楚地看出数量增减变化的情况。扇形统计图可以清楚地看出各部分与总数的百分比。因此，选项A适合选用扇形统计图，选项B适合选用折线统计图，只有选项C适合选用条形统计图。

2.易考点二：求平均数

典型题：在“中国梦”少儿演讲比赛上，八位评委给某位小选手的评分是：9.6、9.4、9.0、9.1、9.5、9.6、9.7、9.5。这组数据的平均数是多少？如果按照“去掉一个最高分，去掉一个最低分，再计算平均分的评分方法来计算，平均分是多少？你认为这样做是否有道理？为什么？

分析：根据“平均数=总数量÷总个数”的方法，可以求出第一问，应为（9.6+9.4+9.0+9.1+9.5+9.6+9.7+9.5）÷8=9.425（分）。第二问，去掉一个最高分9.7，去掉一个最低分后9.0，此时只剩下6个数，因此这时的平均分应为（9.6+9.4+9.1+9.5+9.6+9.5）÷6=9.45（分）。这样做避免了极值对平均数的影响，在现实生活中，可以使比赛更加公平，结果更加合理。

3.易考点三：综合应用所学知识解决实际问题

典型题：下面的统计图和统计表记录了小明家上月部分费用的支出情况，请把表格填写完整。

■

分析：此题的突破口在于图表中“水电、通信、电视费”一项所提供的信息。根据这项内容在统计图中圆心角的度数可以推算出，该项支出占总支出的百分比为：90°÷360°×100%=25%。再根据这项支出的实际金额375元，可以求出“1”，即合计支出金额为375÷25%=1500（元）。然后可根据总支出金额及伙食费所占的百分比，求出伙食费支出金额为1500×35%=525（元）。最后求其他费用所占的百分比为1-25%-35%=40%，则这项支出的具体金额为1500×40%=600（元）。

二、随机现象发生的可能性

（一）目标链接

这部分内容安排在第二学段，目标要求为：

1.感受简单的随机现象；能列出简单的随机现象中所有可能发生的结果。

2.感受随机现象结果发生的可能性是有大小的，能对一些简单的随机现象发生的可能性大小作出定性描述，并能进行交流。

（二）要点链接

【确定现象】有一些现象的结果是可以预知的，包括一定会发生的现象和不可能发生的现象，把这类现象称为确定现象。通常用“一定”或“不可能”来描述这类现象。

【随机现象】有一些现象的结果是否发生是不能预先确定的，把这类现象称为随机现象。

（三）思维链接

1.易考点一：列举出简单随机现象中所有可能发生的结果

典型题：袋子里有红、黄、蓝皮球各2个，从中任意摸出2个，可能的结果有（ ）种，列举出来。

分析：从中任意摸2个，如果颜色相同，则可能是2红、2黄、或2蓝；如果颜色不同，则应两两搭配，可能是红黄、红蓝、黄蓝，所以共有6种可能的情况。在解决此问题时，要按序思考，就能做到不重复、不遗漏。

2.易考点二：可能性的大小

典型题1：口袋里有3个红球、2个白球、6个黑球，这些球除颜色外其他完全相同。从中任意摸出1个球，结果有（ ）种可能，摸到（ ）球的可能性最大，摸到（ ）球的可能性最小。

分析：由于口袋里有三种颜色的球，因此任意摸1个，结果有3种可能。可能是红球、可能是白球，也可能是黑球。由于黑球最多，白球最少，因此，摸到黑球的可能性最大，摸到白球的可能性最小。

典型题2：在1、2、3、4、5这五个数字卡片中任意摸两张，将摸到的两个数相加，和是奇数的可能性大还是和是偶数的可能性大？

分析：要回答这个问题，首先需要把摸到的两个数所有可能的结果都列举出来，由于比较多，借助表格可以将所有的结果有序排列出来，这样更便于比较可能性的大小。如下表：

■

通过列表可以看出，两数相加的和所有可能的结果共有25种，其中和是奇数的有12种结果，和是偶数的有13种结果，因此，和是偶数的可能性大。

第四部分 综合与实践

一、目标链接

（一）经历有目的、有设计、有步骤、有合作的实践活动。

（二）结合实际情境，体验发现和提出问题，分析和解决问题的过程。

（三）在给定目标下，感受针对具体问题提出设计思路，制定简单的方案解决问题的过程。

（四）通过应用和反思，进一步理解所用的知识和方法，了解所学知识之间的联系，获得数学活动经验。

二、要点链接

【综合与实践】是一类以问题为载体，以学生自主参与为主的学习活动。在学习活动中，将综合运用“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”等知识和方法解决问题。

三、思维链接

易考点：综合应用所学知识解决问题

典型题：如图，有一个正方形池塘，在它的四角A、B、C、D处有四棵大树。现在要把池塘的面积扩大一倍，但是，这四棵树不能移动，也不能使它们淹在水中，而且扩大后的池塘还是正方形，试作图说明该怎么办。

■

分析：这道题要运用“图形与几何”中所学内容，充分发挥自己的创造力加以解决。既然池塘的面积要扩大一倍，同时，这四棵树还不能移动，也不能使它们淹在水中，而且扩大后的池塘还是正方形，那就可以把这四棵树安排在正方形的每条边中点上。利用树和树之间的空间来拓展面积。

解答为：

■

现在将这个图形划分为几部分，从图中知道S1=S2=S3=S4=S5=S6=S7=S8，因此，图形的面积扩大了一倍。